高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》分类汇编及答案

【最新】《矩阵与变换》专题解析(2)
一、15
1．解关于x 、y 的方程组(1)20
24160
x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.
【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】
将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)20
24160
x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =
则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
()()()24212242111
24
2m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,
()()()421611221
16422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,
()()()162222412216
y D m m
m m m m =
=----+-=-
当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m =
=-，4
1y D m y D m
-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．
当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，
当1m =时，原方程组为210
24160x y x y +-=⎧⎨++=⎩
，无解．
【点睛】
本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．
2．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360
260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩
的解满足0x y >>，求实数k
的取值范围.
【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0
0x y D >>⎧⎨≠⎩
列出关于k 的不
等式组，解出即可. 【详解】
由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.
由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018
6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
，
由于00
D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408
k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80
2508408k k k k k ⎧
⎪+≠⎪
-⎪>⎨
+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．解方程组()320
21mx y x m y m
+-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.
【答案】()1,3 【解析】 【分析】
计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】
由题意可得()()236232
1
m D m m m m m =
=--=+--，23
21
x D m m m =
=---，
()()224222
y m D m m m m
=
=-=-+.
①当0D ≠时，即当2
60m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩
.
x y >
Q ，则()()()2
2221
33m m m ->--，即()2
21
30
m m ⎧-<⎪⎨
-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320
232x y x y -+-=⎧⎨
-=-⎩
，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，
x y >不能总成立；
③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203
30
2x y x y ⎧
+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩
，该方程组无解.
综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
4．不等式2
1101
x x
b
a x
a
->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】1
2
a =-，1
b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】
将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】
2111
x x b a x
a
-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）
x +b ＞0，
∵不等式的解为1＜x ＜2，
∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，
由韦达定理可知：11212ab a
b a +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩
，整理得：2a 2+3a +1＝0，
解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 1
2
=-，b ＝﹣1． 【点睛】
本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
5．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()1
21
x g a
x x +-=
-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-.
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.
（2）
01x
x
>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.
（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求
()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.
当72x ≥时，不等式可化为72
2710
x x x ⎧≥⎪
⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥；
当7
2x <时，不等式可化为72
7210x x x ⎧<⎪⎨⎪--+≥⎩
，故83x ≤. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3
⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U .
（2）
01x
x
>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，
因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-
在()0,1上恒成立，而7
7x
-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-. （3）()1
211
2x g x x ax a x a +=
=-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，
即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，
由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=， 所以527225x x -≤---≤，当且仅当7
2
x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-. 【点睛】
解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及
a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
6．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b .
（1）求字母b 的代数余子式的展开式；
（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】
【分析】
（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-即可求解；
（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】
（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b ，
所以字母b 的代数余子式的展开式为：
()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-
222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-
（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b
=， 由正弦定理：sin sin c C b B
= 所以
sin sin c C b c b B a b
-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】
此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.
7．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
，并对解的情况进行讨
论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】
22242244,2,21
1
y x m m m m D m D m m D m m m
m
m
m
++=
=-=
=-++=
=-
当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解2
12m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
；
当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.
综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】
本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.
8．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .
(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组. 【答案】(1) 1
323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩
；(2) 见解析
【解析】 【分析】
(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；
(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】
解：(1) 由题意可得PQ=13m
m m ⎛⎫ ⎪
-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫
⎪-⎝⎭
，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫
⎪+⎝⎭
，即得1
323mx y mx my m +=-⎧⎨
-=+⎩
； (2) 由题意可得行列式1
(3)3m D m m m m
=
=-+-，1
(3)231x D m m m
=
=--++- ,1
2(3)323
y m
D m m m m -=
=++
①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12
x m y ⎧
=⎪
⎨⎪=-⎩；
②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解； ③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x t
y t =⎧⎨=-⎩
(t ∈R ).
【点睛】
本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.
9．证明：（1）
1
112
2
212
a b a a a b b b =； （2）
12
121
1
222
2
a ka
b kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据行列式的运算，分别化简得1
1121222a b a b b a a b =-，12122112
a a
a b a b b b =-，即可求解；
（2）根据行列式的运算，分别化简得
1212
122122a ka b kb a b a b a b ++=-，1
1
12212
2
a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】
（1）根据行列式的运算，可得
1
1121222a b a b b a a b =-，12
122112
a a a
b a b b b =-， 所以
1
112
2
212
a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得
1212
12212222
()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，
又由
1
112212
2
a b a b a b a b =-，所以121211
2222a ka b kb a b a b a b ++=.
【点睛】
本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫
⋅=++ ⎪⎢
⎥⎣⎦⎝⎭
，，该运算的意义为点(),x y
在矩阵
a b
c d
⎛⎫
⎪
⎝⎭
的变换下成点()
ax by cx dy
++
，
，设矩阵
1
1
A
⎛
=
-⎭
()1已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q
的坐标为)2，试求点P的坐标；()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）1
4
⎫
⎪
⎭
（2
）存在，直线方程为：y x
=
或y=
【解析】
【分析】
()1设(),
P x y，由题意，得出关于x、y的方程，解之即得P点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：
()0
y kx b k
=+≠，该直线上的任一点(),
M x y
，经变换后得到的点
()
N x y
+-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k，b值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【详解】
()1设(),
P x y
由题意，有
1
2
4
x
x
y y
⎧
=
⎧⎪
+=
⎪⎪
⎨⎨
-=
⎪⎪
⎩=
⎪⎩
，
即P
点的坐标为
1
4
⎫
⎪
⎭
．
()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，
所以设直线方程为：()0
y kx b k
=+≠
因为该直线上的任一点()
,
M x y
，经变换后得到的点()
N x y
+-仍在该直线上
()
-=++
y k x b
即
)()
10
k x y b
--=，其中()0
y kx b k
=+≠
代入得
()
2220
k x b
+++=对任意的x∈R
恒成立()
220
20
k
b
+=
+=
⎪⎩
解之得
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
k
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
故直线方程为y x =
或y =． 【点睛】
此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．
11．已知向量102
11
2A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
先求得1
A -u r
，以及其特征多项式()f
λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】
设1A -u r a b c d ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则由A u r 1A -u r E =r
可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭， 解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=，
故得1A -u r 1? 12?
0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.
则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+==+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
12．变换T 1是逆时针旋转
2
π
角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；
（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】
试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.
试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， M 121⎡⎤
⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
， 设x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,
则M 00x y ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00
{y y x x y =-= 所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换
13．已知
=
是矩阵M=
属于特征值λ1=2的一个特征向量．
（Ⅰ）求矩阵M ； （Ⅱ）若
，求M 10a ．
【答案】（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M 10=
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）依题意，M=，从而，由此能求出矩阵M．
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M 的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M10．
（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，
M5=M3M2，M10=M5M5，由此能求出M10．
解：（Ⅰ）依题意，M=，
，
∴，
解得a=1，b=2．
∴矩阵M=．
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），
∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，
设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，
则，
∴，取x=1，得=，
∴，
∴M10==．
（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，
，
M5=M3M2==，
M10=M5M5==，
∴M10=．
点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．
14．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 求AB;
若曲线C 1;22
y =182
x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.
【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
（2）22
8x y += 【解析】
试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．
试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,
则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以22
00188x y +=，
从而22
188
x y +=，即228x y +=.
因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：
2
2
8x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．
15．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转2π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用
的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
求曲线22
1x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.
【答案】22
221x xy y -+= 【解析】 【分析】
旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，求出211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得到00
x y y y x =⎧⎨=-⎩，即得解.
【详解】
旋转变换矩阵10110M -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
记21110111011010M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00
x y
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，
面积00x x M y y ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩
，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩， 代入22001x y +=，得22
()1y y x +-=，
所以所求曲线的方程是2
2
221x xy y -+= 【点睛】
本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．已知矩阵1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，4123B ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，若矩阵M BA =，求矩阵M 的逆矩阵1M -． 【答案】1
311010125
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【解析】
试题分析：411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，所以1
311010125
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 试题解析：
B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
所以1
3110101255M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
．
17．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
. （1）求实数x ，y 的值；
（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.
【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】 （1）计算(
)1
AB
B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦
，根据()1
A A
B B -=，可得结果.
（2）计算矩阵A 的特征多项式()12
1f
λλλ
+-=
-，可得2λ=-或1λ=，然后根据
Ax x λ=r r
，可得结果.
【详解】
（1）因为1
7177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
所以()1
7175712723514721AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由()1
A A
B B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
所以5141
72103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨
⎨-==⎩⎩
（2）矩阵A 的特征多项式为：
()()()()12
12211f λλλλλλλ
+-=
=+-=+--
令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，
12222102x x x y x
y y x y
--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，
所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. ②当1λ=时，
12210x x x y x
y y x y
--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =
所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
因此，矩阵A 的特征值为2-和1，
分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于(
)1
A AB
B -=，第（2）问中，关键在于
()12
01f λλλ
+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.
18．已知矩阵14a b A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，属于特征
值5的一个特征向量为211a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦u u r 求矩阵A .
【答案】2314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一
个特征向量为211a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r ，故5a b +=，解得答案.
【详解】
矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，1114a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦u r u r
，故33-=a b ；
属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，21514a b a a ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦u u r u r
，故5a b +=， 解得23a b =⎧⎨=⎩，故2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.
19．已知矩阵4321M -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.
【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2）
34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r .
【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g ，即可求3M αr
．
【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-， 所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤
==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g
所以33
1349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平．
20．已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
变换后得到圆22
:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a = 【解析】 【分析】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax y
y x y
=+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案.
【详解】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax y y x y
=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22
(3)(32)13ax y x y ++-=，即(
)
2
22
92(36)1313a x a xy y ++-+=，
由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】
本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.。