微专题11 牛顿运动定律应用之两类动力学问题

微专题11 牛顿运动定律应用之两类动力学问题
【核心方法点拨】
1．已知物体的受力情况，求解物体的运动情况
解这类题目，一般是应用牛顿第二定律求出物体的加速度，再根据物体的初始条件，应用运动学公式，求出物体的运动情况．
2．已知物体的运动情况，求解物体的受力情况
解这类题目，一般是应用运动学公式求出物体的加速度，再应用牛顿第二定律求出物体所受的合外力，进而求出物体所受的某个力．
【微专题训练】
【西藏日喀则区第一高级中学2017届高三上学期期中考试】有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是60°，45°和30°，这些轨道交于O点．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是( )
A．甲最先，乙稍后，丙最后B．乙最先，然后甲和丙同时到达
C．甲、乙、丙同时到达D．乙最先，甲稍后，丙最后
【答案】B
如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同—个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y、x轴的切点．B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心．现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，如所用时间分别为t A、t B、t C，则t A、t B、t C，大小关系是()
A．t A＜t C＜t B
B．t A＝t C＝t B
C．t A＝t C＜t B
D．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系
【答案】C
如图所示，一倾角θ＝37°的足够长斜面固定在水平地面上．当t ＝0时，滑块以初速度v 0＝10 m/s 沿斜面向上运动．已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A ．滑块一直做匀变速直线运动
B ．t ＝1 s 时，滑块速度减为零，然后静止在斜面上
C ．t ＝2 s 时，滑块恰好又回到出发点
D ．t ＝3 s 时，滑块的速度大小为4 m/s
【解析】设滑块上滑时的加速度大小为a 1，由牛顿第二定律可得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1，
解得a 1＝10 m/s 2，上滑时间t 1＝v 0a 1＝1 s ，上滑的距离x 1＝12
v 0t 1＝5 m ，因tan θ＞μ，mg sin θ＞μmg cos θ，滑块上滑到速度为零后，向下运动，选项B 错误；设滑块下滑时的加速度大小为a 2，由牛顿第二定律可得mg sin θ－μmg cos θ＝ma 2，解得a 2＝2 m/s 2，经1 s ，滑块下滑的
距离x 2＝12
a 2t 22＝1 m ＜5 m ，滑块未回到出发点，选项C 错误；因上滑和下滑过程中的加速度不同，故滑块全程不是匀变速直线运动，选项A 错误；t ＝3 s 时，滑块沿斜面向下运动，此时的速度v ＝a 2(3 s －1 s)＝4 m/s ，选项D 正确．
【答案】D
(2016·山东潍坊高三期中)有一系列斜面，倾角各不相同，它们的底端相同，都是O 点，如图所示。

有一系列完全相同的滑块(可视为质点)从这些斜面上A 、B 、C 、D …各点同时由静止释放，下列判断正确的是( )
A ．若各斜面均光滑，且这些滑块到达O 点的速率相同，则A 、
B 、
C 、
D …各点处在同一水平线上
B ．若各斜面均光滑，且这些滑块到达O 点的速率相同，则A 、B 、
C 、
D …各点处在同一竖
直面内的圆周上
C ．若各斜面均光滑，且这些滑块到达O 点的时间相同，则A 、B 、C 、
D …各点处在同一竖直面内的圆周上
D ．若各斜面与这些滑块间有相同的动摩擦因数，滑到达O 点的过程中，各滑块损失的机械能相同，则A 、B 、C 、D …各点处在同一竖直线上
【解析】根据mgh ＝12
mv 2，小球质量相同，达O 点的速率相同，则h 相同，即各释放点处在同一水平线上，A 项正确，B 项错误；以O 点为最低点作等时圆，可知从A 、B 点运动到O 点时间相等，C 项正确；若各次滑到O 点的过程中，滑块滑动的水平距离是x ，滑块损失
的机械能为克服摩擦力做功，为W f ＝μmg cos θ·x cos θ
，即各释放点处于同一竖直线上，D 正确。

【答案】ACD
某次滑雪训练中，运动员(可视为质点)站在水平雪道上第一次利用滑雪杖对雪面的作用获得水平推力F ＝84 N 而从静止向前滑行，其作用时间为t 1＝1.0 s ，撤去水平推力F 后经过时间t 2＝2.0 s ，他第二次利用滑雪杖对雪面的作用获得同样的水平推力，作用距离与第一次相同．已知该运动员连同装备的总质量为m ＝60 kg ，在整个运动过程中受到的滑动摩擦力大小恒为F f ＝12 N ，求：
(1)第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的速度大小及这段时间内的位移；
(2)该运动员第二次撤去水平推力后滑行的最大距离．
【解析】解析 (1)运动员第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的加速度为a 1＝F －F f m
＝1.2 m/s 2 第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的速度大小
v 1＝a 1t 1＝1.2 m/s
位移x 1＝12
a 1t 21＝0.6 m (2)运动员停止使用滑雪杖后做匀减速直线运动，加速度大小为a 2＝F f m
＝0.2 m/s 2 第一次撤去水平推力后经过时间t 2＝2.0 s 速度变为
v 1′＝v 1－a 2t 2＝0.8 m/s
第二次利用滑雪杖获得的速度大小为v 2，则
v 22－v 1′2＝2a 1x 1
第二次撤去水平推力后滑行的最大距离
x 2＝v 222a 2
＝5.2 m. 【答案】(1)1.2 m/s 0.6 m (2)5.2 m
(2014·新课标全国Ⅰ·24)公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离．当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰．通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s ．当汽车在晴天干燥沥青路面上以108 km/h 的速度匀速行驶时，安全距离为120 m ．设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因数为晴
天时的25
.若要求安全距离仍为120 m ，求汽车在雨天安全行驶的最大速度． 【解析】设路面干燥时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ0，刹车时汽车的加速度大小为a 0，安全距离为s ，反应时间为t 0，由牛顿第二定律和运动学公式得
μ0mg ＝ma 0①
s ＝v 0t 0＋v 202a 0
② 式中，m 和v 0分别为汽车的质量和刹车前的速度．
设在雨天行驶时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，依题意有μ＝25
μ0③ 设在雨天行驶时汽车刹车的加速度大小为a ，安全行驶的最大速度为v ，由牛顿第二定律和运动学公式得
μmg ＝ma ④
s ＝vt 0＋v 2
2a
⑤ 联立①②③④⑤式并代入题给数据得
v ＝20 m/s(72 km/h)
【答案】20m/s
(2015·山东德州五校高三联考)如图所示，楼梯口一倾斜的天花板与水平地面成37°，一装潢工人手持木杆绑着刷子粉刷天花板，工人所持木杆对刷子的作用力始终保持竖直向上，大小为F ＝10 N ，刷子的质量为m ＝0.5 kg ，刷子可视为质点，刷子与天花板间的动摩擦因数μ＝0.5，天花板长为L ＝4 m ，取g ＝10 m/s 2，试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)刷子沿天花板向上的加速度大小；
(2)工人把刷子从天花板底端推到顶端所用的时间。

【解析】(1)刷子运动过程中受力如图所示。

根据牛顿第二定律
F sin 37°－mg sin 37°－F f ＝ma ①
F cos 37°＝mg cos 37°＋F N ②
F f ＝μF N ③
由以上三式得a ＝2 m/s 2
(2)根据运动学公式有L ＝12
at 2 得t ＝2 s
【答案】(1)2 m/s 2 (2)2 s
如图所示，在海滨游乐场里有一种滑沙运动．某人坐在滑板上从斜坡的高处A 点由静止开始滑下，滑到斜坡底端B 点后，沿水平的滑道再滑行一段距离到C 点停下来．如果人和滑板的总质量m ＝60.0 kg ，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ＝0.5，斜坡的倾角θ＝37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g 取10 m/s 2.求：
(1)人从斜坡上滑下的加速度为多大？
(2)若由于场地的限制，水平滑道的最大距离BC 为L ＝20.0 m ，则人在斜坡上滑下的距离AB 应不超过多少？
【解析】(1)人在斜坡上受力如图所示，建立如图所示的坐标系，
设人在斜坡上滑下的加速度为a1，由牛顿第二定律得
mg sin θ－F f1＝ma1
F N1－mg cos θ＝0
由摩擦力计算公式得F f1＝μF N1
联立解得人滑下的加速度为
a1＝g(sin θ－μcos θ)＝10×(0.6－0.5×0.8) m/s2＝2 m/s2.
(2)人在水平滑道上受力如图所示，由牛顿第二定律得
F′f＝ma2
F′N－mg＝0
由摩擦力计算公式得F′f＝μF′N，联立解得人在水平滑道上运动的加速度大小为a2＝μg＝5.0 m/s2
设从斜坡上滑下的距离为L AB，对AB段和BC段分别由匀变速运动的公式得
v2B－0＝2a1L AB
0－v2B＝－2a2L
联立解得L AB＝50.0 m
【答案】(1)2.0 m/s2(2)50.0 m
(2015·山东省实验中学高三阶段性考试)如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。

若让该小木块从木板的底端每次都以v0的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板滑行的距离将发生改变。

已知重力加速度为g。

求：
(1)小木块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ＝60°角时，小木块沿木板向上滑行的距离；
(3)当θ＝60°角时，小木块由底端沿木板向上滑行再回到原出发点所用的时间。

【解析】(1)对木块受力分析，由平衡条件得
mg sin θ＝μF N①
F N ＝mg cos θ②
联立①②得：μ＝tan θ＝tan 30°＝33
③ (2)当小木块向上运动时，小木块的加速度大小为a 1，则
mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1，④
设小木块的位移为x ，则v 20＝2a 1x ⑤
联立③④⑤式代入数值解得x ＝3v 204g
(3)小木块向上运动时间为t 1＝v 0a 1＝3v 02g
当小木块向下运动时，小木块的加速度大小为a 2，则
mg sin θ－μmg cos θ＝ma 2，
可得a 2＝33g 由x ＝12a 2t 22，得t 2＝62·v 0g
则t ＝t 1＋t 2＝3（1＋2）v 02g
【答案】(1)33 (2)3v 204g (3)3（1＋2）v 02g
(2013·山东青岛一模)如图甲所示，木板OA 可绕轴O 在竖直平面内转动，某研究小组利用此装置探究物块的加速度a 与斜面倾角θ之间的关系．已知物块始终受到方向沿斜面向上、大小为F ＝8 N 的拉力作用，由静止开始运动，物块的质量m ＝1 kg ，通过多次改变斜面倾角θ，重复实验，用测得的数据描绘出了如图乙所示的a －θ关系图像．若物块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.2，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g ＝10 m/s 2.求：
(1)图线与a 轴交点坐标a 0； (2)图线与θ轴交点坐标θ1满足的条件(用代数式表示)；
(3)如果木板长L ＝2 m ，倾角θ＝37°，物块在F 的作用下从O 点由静止开始运动，要 使物块不冲出木板顶端，力F 作用的最长时间．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【解析】(1)对物块，θ＝0°时，有F －μmg ＝ma 0
解得：a 0＝6 m/s 2.
(2)当θ＝θ1时，物块的加速度恰好为零，有 F －μF N －mg sin θ1＝0 F N ＝mg cos θ1
以上两式联立解得：
cos θ1＋5sin θ1＝4.
(3)设F 最长作用时间为t ，有
F －mg sin θ－μmg cos θ＝ma 1
v ＝a 1t ，x 1＝12a 1t 2，
撤去F 后，有mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 2
v 2＝2a 2(L －x 1)
解得：t ＝9.5 s≈3.1 s.
【答案】 (1)6 m/s 2 (2)cos θ1＋5sin θ1＝4 (3)3.1 s。