河南省郑州一中2013-高二下学期期中考试数学(文)试题

郑州一中网校2013—2014学年（下）期中联考
高二文科数学试题
命题人：马莉
说明：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．
2、将第I 卷的答案代表字母和第II 卷的填空题的答案填在第II 卷的答题表（答
题卡）中．
参考数值和公式 1．独立性检验临界值
2．回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中1
12
2
2
1
1
()()ˆ()
n n
i
i
i i i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx
====---==
--∑∑∑∑
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．复数1i
等于（ ）
（A ）i - （B ）1- （C ）1 （D ）i
2．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ） （A ）总偏差平方和 （B ）残差平方和 （C ）回归平方和 （D ）相关指数2R
3．设i 是虚数单位，若复数10
()3i
a a -∈-R 是纯虚数，则a 的值为（ ） （A ）3-
（B ）1-
（C ）1
（D ）3
4．用反证法证明命题“已知a b ∈R 、，若2
2
0a b +=，则a b 、全为0”时，其假设正确的是（ ）
（A ）a b 、至少有一个不为0 （B ）a b 、至少有一个为0 （C ）a b 、全不为0 （D ）a b 、中只有一个为0
5．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0
x x =是函数()f x 的极值点．因为3
()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是函数
3()f x x =的极值点．以上推理中（ ）
（A ）大前提错误 （B ）小前提错误 （C ）推理形式错误 （D ）结论正确
6．已知每一吨铸铁成本y （元）与铸件废品率%x 建立的回归方程为ˆ856y
x =+，下列说法正确的是（ ）
（A ）废品率每增加1%，平均每吨成本增加64元 （B ）废品率每增加1%，平均每吨成本增加8% （C ）废品率每增加1%，平均每吨成本增加8元 （D ）废品率每增加1%，平均每吨成本为56元
7．在平面上，若两个正三角形的边长之比1:2，则它们的面积之比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它们的体积之比为（ ）
（A ）1:4 （B ）1:6 （C ）1:8 （D ）1:9
8．数列1-，3，7-，15，（ ），63，…，括号中的数字应为（ ） （A ）33
（B ）31-
（C ）27-
（D ）57-
9．框图中错误的是（ ） （A ）k 未赋值 （B ）循环结构有错 （C ）s 的计算不对 （D ）判断条件不成立
10．设P =Q =R =P Q R ，，的大小顺序是（ ）
（A ）P Q R >> （B ）P R Q >>
（C ）Q P R >>
（D ）Q R P >>
11．已知0a b c ++=，则ab bc ac ++的值为（ ）
第9题图
（A ）大于0 （B ）小于0 （C ）不小于0
（D ）不大于0
12．已知点列如下：1234567(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)P P P P P P P ，，，，，，，
8910111213(2,3)(3,2)(4,1)(1,5)(2,4)(3,3)P P P P P P ，，，，，，
……，则60P 的坐标为（ ） （A ）(3,8)
（B ）(4,7)
（C ）(4,8)
（D ）(5,7)
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．研究身高和体重的关系时，求得相关指数2R ≈ ，可以叙述为“身高解释了76%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的24%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．
14．复数z 满足(12i)43i z +⋅=+，那么z = ． 15．已知11
1()1()23
f n n n *=+
+++
∈N ，经计算得3
(2)2
f =，(4)2f >，5(8)2f >
，(16)3f >，7
(32)2
f >，推测当2n ≥时，有不等式 成立． 16．给出下列不等式:
①,a b ∈R ，且22
14b a +=，则1ab ≤；② ,a b ∈R ，且0ab <，则22
2a b ab
+≤-； ③ 0a b >>，0m >，则
a m a
b m b
+>+； ④ 4
||4(0)x x x
+
≥≠． 其中正确不等式的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知复数2
2
(232)(32)i z m m m m =--+-+．
（Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是：①实数； ②纯虚数．
（Ⅱ）当0m =时，化简252i
z z ++．
18．（本小题满分12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据：
x
3 4 5 6
y
2.5 3
4
4.5
（Ⅰ）请在给出的坐标系内画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；
（III ）已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（Ⅱ）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
19．（本小题满分12分）
为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
（Ⅰ）根据以上数据列出22⨯列联表；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？
20、（本小题满分12分）
（Ⅰ）ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列，求证：π
2
B <；（提示：可以利用反证法证明）
（Ⅱ）设0,0x y >>，求证：11
2
23
33
2
()()x y x y +>+．
请考生在第21、22、23题中任选一题作答，请将选做题号后的方框涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
21．（4-1几何证明选讲）如图，D E ，分别为ABC ∆边
AB AC ，的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于,F G 两点，
若//CF AB ，证明：
（Ⅰ）CD BC =； （Ⅱ）BCD ∆∽GBD ∆．
第21题图
22．(4-4坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中, 直线 l 的参数方程为
1
2x t y t =+⎧⎨
=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ
⎧=⎨=⎩ (θ为参数)． （Ⅰ）试求直线 l 和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求直线 l 和曲线C 的公共点的坐标．
23．（4-5不等式选讲）已知函数()|21||2|()3f x x x a g x x =-++=+，． （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当1
[,]22
a x ∈-时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．
请考生在第24、25、26题中任选一题作答，请将选做题号后的方框涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
24．（4-1几何证明选讲）如图，AB 为
O 的直径，直线CD 与O 相切于E , AD 垂
直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE BE ，．
证明：（Ⅰ）FEB CEB ∠=∠；
（Ⅱ）2
EF AD BC =⋅．
25． (4-4坐标系与参数方程)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为π(2,)4
，直线l 的极坐标方程为
πcos()4
a ρθ-=，且点A 在直线l 上．
第24题图
（Ⅰ）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）圆C 的参数方程为1cos ,
()sin ,
x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数，试判断直线l 与圆C 的位置
关系．
26．（4-5不等式选讲）已知实数,,x y z 满足21x y z ++=，设2222t x y z =++． （Ⅰ）求t 的最小值； （Ⅱ）当1
2
t =时，求z 的取值范围．。