2022届广西省高三上期教育质量诊断性联合考试数学

2022届广西省高三上期教育质量诊断性联
合考试数学
填空题
(数学（文）卷?2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试第16题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.
【答案】21
【解析】设的对应边边长分别里，里，
里
故正确答案为.
解答题
如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．
（1）求证：；
（2）若，的中点为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：证明线线垂可寻求证明线面垂直，取取中点，连接，，利用条件证明平面.以为坐标原点，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值.
试题解析：
（1）证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连接，，则，，从而
平面，．
（2）解：由（1）知，，又满足
所以，平面．
如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，因为，，
所以取．
设平面的法向量为，因为，
，
同理可取．
则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
选择题
直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性可得
，故选D.
选择题
设，满足约束条件则的最大值为（）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又表示区域内的点与原点间连线的斜率，由图知连线的斜率最大，即，故选A．
选择题
复数的实部与虚部分别为（）
A. ，
B. ，
C. ,
D. ,
【答案】A
【解析】试题分析：∵，∴的实部与虚部分别为,故选A．
选择题
设向量若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得
，故选C.
填空题
已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆
的交点的个数为__________．
【答案】4
【解析】
由上图可得交点个数为4.
选择题
已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式
对恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于定义在上的偶函数在上递减，则
在上递增，又
，则可华化为：
，即对恒成立，则
，所以：且对同时恒成立.
设，，则在上递增，在上递
减，.
设，，在上递减，
.
综上得：的取值范围是.
选择题
2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄?传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，的爱看比例分别为，，，，．现用这5个年龄段的中间值代表年龄段，如12代表，代表，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】前4个数据对应的，（把百分数转化为小数），而
，，，
，当
，.
选择题
设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故选A.
选择题
下列集合中，是集合的真子集的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：因为，所以由真子
集的概念知集合的真子集是，故选D．
解答题
选修4-5：不等式选讲
已知，为不等式的解集．
（1）求；
（2）求证：当，时，．
【答案】（1）．（2）详见解析
【解析】解：（1）
当时，由，得，舍去；
当时，由，得，即；
当时，由，得，即．
综上，．
（2）因为，，∴，，
所以．解答题
已知函数，，其中，为常数．（1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有2个零点，有6个零点，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：结合极值点导数为零及导数的几何意义求出切线方程；函数零点问题是导数的一个应用方面，首先搞清函数零点个数的三种判断方法，其一：的图象与轴交点的横坐标；其二：方程的根；其三：函数与的图象的交点的横坐标；本题根据函数存在2个零点，转化为方程有2个不同的实根，解出，再根据有6个零点，求出范围.
试题解析：（1）∵，∴，∴，即．
又，∴，∵，
∴所求切线方程为，即．
（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，
设，则，令，得；
令，得，，∴的极小值为．
∵，∴由的图象可知．
∵，∴令，得或，即或，
而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，
∴且，∴，∴．
填空题
若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】设长方体的长、宽、高分别为，则，由于体积为4，则，长方体的体对角线长为，则球的表面积
（当且仅当
时取等号）.
选择题
已知，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
解答题
已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．
（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】试题分析：（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果；
（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为，的次数的取值是，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.
试题解析：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件，则
.
（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为.
由题意可得可取，则有,
.
所以的分布列为:
故(或).
填空题
的展开式中的系数为__________．
【答案】
【解析】利用通项公式，令，，则展开式中的系数为.
选择题
将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（）
A. B. 的图象关于对称
C. D. 的图象关于对称
【答案】B
【解析】由已知可得，故选B.
选择题
某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据几何体三视图可以看出原组合体的上面一个四棱锥，
下面为圆柱的一半(如图所示)，其体积一个四棱锥的体积和一个半圆柱的体积之和：.
解答题
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线：（）与圆交于点、，求线段
的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：(1)利用即可得到极坐标方程；（2）在圆的极坐标方程中令，得到利用即可.
试题解析：（1）可化为，故其极坐标方程为.……5分
（2）将代入，得，
， (10)
分
解答题
某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．
（1）确定此看台共有多少个座位；
（2）求数列的前项和，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：此看台的座位数符合等差数列定义，转化为
等差数列去解决，该等差数列首项为2，公差为1，根据等差数列的
通项公式写出答案，但注意实际问题的要求，注明的取值范围；第
二步为错位相减法求和，要求运算熟练准确.
试题解析：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，
∴（）．
∴此看台的座位数为．
（2）∵，
∴，
∴，∴，
∴．。