江苏南通2023年高三上学期期初质量监测数学试题及答案

2023-2024学年（上）高三期初质量监测
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1． 已知全集U R ，集合 16A x x ≤≤， =33B x x ，
则图中阴影部分表示的集合为 A ． 36x x ≤≤ B ． 13x x ≤
C ． 13x x ≤
D ．
31x x ≤ 2． 复数
5i
34i
的虚部为 A ．3i 5
B ．3i 5
C ．35
D ．35
3. 已知函数
23
1
()2
x ax f x
在区间[01]，上是减函数，则a 的取值范围是 A ．(2] ， B ．(0] ，
C ．[2) ，
D ．[0) ，
U
B
A
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第
9题～第12题，共20分）、非选择题（第13题～第22题，共90分）三部分。

本次考试满分为150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填
在答题卡上。

3．请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确。

4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在 其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

4. “ln ln x y ”是“33
x y ”的
A ．充分且不必要条件
B ．必要且不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
5.
函数()cos )f x x x 的图象大致为
A
B
C
D
6． 已知函数2()ln f x a x x ，若曲线()y f x 在点(1(1))f ，
处的切线方程为30x y b ，则a b
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1
7. 已知e a ，3b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a b c
B ．a c b
C ．b a c
D ．b c a
8． 记函数2
()f x x ax 在区间 01，
上的最大值为()g a ，则()g a 的最小值为 A ．3 B 1
C ．14
D ．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 任何一个复数i z a b （其中，a b R ）都可以表示成：(cos isin )z r 的形式．法
国数学家棣莫弗发现： *(cos i sin )(cos i sin )()n
n n z r r n n n N ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是
A ．2
2z z B ．当1r ，3
时，3
1z O
x
π -π
1
-1
O
x
π -π
1
-1
O
x
y
π -π
1
-1
O
x
y
π -π
1
-1
C ．当1r ，3
时
，
12z D ．当1r ，4
，且n 为偶数时，复数n z 为纯虚数
10．已知0a ，0b ，且1a b ，则
A ．14
ab ≥
B ．22
12
a b ≥
C
．22a b ≥
D ．
14
9a b
≥ 11．已知函数()f x 为R 上的奇函数，(1)f x 为偶函数，则
A ．(2)()0f x f x
B ．(1)(1)f x f x
C ．(2)(2)f x f x
D ．(2023)0f
12．已知函数()e x f x x a 有两个零点12x x ，
，且12x x ，则 A ．1
0e
a
B ．
2
1
x x 随a 的增大而减小 C ．12x x 随a 的增大而增大 D ．12x x 随a 的增大而增大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．写出满足a b 且
11
a b
的一组数对()a b ，
． 14．若命题“2[13]10x x ax ，
，”是假命题，则实数a 的最大值为 ． 15．已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为
5730
12n
k k ，其中0k 为树木最
初生长时的碳-14含量，n 为树龄（单位：年）．通过测定发现某古树样品中碳-14含量为00.6k ，则该古树的树龄约为 万年．（精确到0.01）（lg30.48lg50.70 ，） 16．已知函数20()lg 0x x f x x x ，
≤，，，
关于x 的方程22()(1)()220f x m f x m m 有4个
不同的实数解，则实数m 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
已知集合
2
202，
A x
B x x x x a . （1）若2a ，求A B ；
（2）若x A R 是x B 的充分且不必要条件，求a 的取值范围.
18．（12分）
已知函数2()25f x x ax ．
（1）若函数()f x 的定义域和值域均为[1]a ，
，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间(2] ，
上单调递减，且对任意的12[11]x x a ，，，总有 12()()9f x f x ≤成立，求实数a 的取值范围．
20．（12分）
已知函数32()(0)f x ax bx cx a 的极小值为2 ，其导函数()f x 的图象经过
(10)A ，，(10)B ，两点．
（1）求()f x 的解析式；
（2）若曲线()y f x 恰有三条过点(1)P m ，
的切线，求实数m 的取值范围．
已知函数()ln f x x a x ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：当0a 时，22()f x a a ≥．
22．（12分）
已知函数()e cos x f x a x x ． （1）若1a ，证明：()0f x ≥；
（2）若()f x 在区间(0) ，
上有两个极值点，求a 的取值范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40
数学参考答案
分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1． 已知全集U R ，集合 16A x x ≤≤， =33B x x ，
则图中阴影部分表示的集合为 A ． 36x x ≤≤ B ． 13x x ≤
C ． 13x x ≤
D ．
31x x ≤ 【答案】A 2． 复数
5i
34i
的虚部为 A ．3i 5
B ．3i 5
C ．35
D ．35
【答案】C 3. 已知函数
23
1
()2
x ax f x
在区间[01]，上是减函数，则a 的取值范围是 A ．(2] ， B ．(0] ，
C ．[2) ，
D ．[0) ，
【答案】B
4. “ln ln x y ”是“33
x y ”的
A ．充分且不必要条件
B ．必要且不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】A
5.
函数()cos )f x x x 的图象大致为
A
B
O
x
π -π
1
-1
O
x
π -π
1
-1
U
B
A
C
D
【答案】B
6． 已知函数2()ln f x a x x ，若曲线()y f x 在点(1(1))f ，
处的切线方程为30x y b ，则a b A ．2 B ．1 C ．0 D ．1
【答案】B
7. 已知e a ，3b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a b c
B ．a c b
C ．b a c
D ．b c a
【答案】A
8． 记函数2
()f x x ax 在区间 01，
上的最大值为()g a ，则()g a 的最小值为 A ．3 B 1
C ．14
D ．1
【答案】A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 任何一个复数i z a b （其中，a b R ）都可以表示成：(cos isin )z r 的形式．法
国数学家棣莫弗发现： *(cos i sin )(cos i sin )()n
n n z r r n n n N ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是
A ．2
2z z B ．当1r ，3
时，3
1z C ．当1r ，3
时，122z D ．当1r ，4
，且n 为偶数时，复数n z 为纯虚数 【答案】AC
O
x
π -π
1
-1
O
x
π -π
1
-1
10．已知0a ，0b ，且1a b ，则
A ．14
ab ≥
B ．22
12
a b ≥
C
．22a b ≥
D ．
14
9a b
≥ 【答案】BCD
11．已知函数()f x 为R 上的奇函数，(1)f x 为偶函数，则
A ．(2)()0f x f x
B ．(1)(1)f x f x
C ．(2)(2)f x f x
D ．(2023)0f
【答案】BC
12．已知函数()e x f x x a 有两个零点12x x ，
，且12x x ，则 A ．1
0e
a
B ．
2
1
x x 随a 的增大而减小 C ．12x x 随a 的增大而增大 D ．12x x 随a 的增大而增大
【答案】ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．写出满足a b 且
11
a b
的一组数对()a b ，
． 【答案】(11) ，
（答案不唯一，00，a b 即可） 14．若命题“2[13]10x x ax ，
，”是假命题，则实数a 的最大值为 ．
15．已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为
5730
12
n k k ，其中0k 为树木最
初生长时的碳-14含量，n 为树龄（单位：年）．通过测定发现某古树样品中碳-14含
量为00.6k ，则该古树的树龄约为 万年．（精确到0.01）（lg30.48lg50.70 ，） 【答案】0.42
16．已知函数20()lg 0x x f x x x ，
≤，，，
关于x 的方程22()(1)()220f x m f x m m 有4个
不同的实数解，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】[10)(13] ，
， 四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
已知集合
2
202，
A x
B x x x x a . （1）若2a ，求A B ；
（2）若x A R 是x B 的充分且不必要条件，求a 的取值范围. 【解析】（1）由220x x ，解得(2)(1)0x x ，
所以或， ……2分 当时，
2204B x x x x ……4分 所以 20A B x x x 或. ……5分
（2）因为或，
所以 21A x x R ≤≤ . ……7分 由，得，
所以. ……8分 因为x A R 是x B 的充分不必要条件， 所以A B R ，
所以，解得，
故的取值范围为(10) ，
. ……10分 18．（12分）
{2A x x 1}x 2a {2A x x 1}x 2x a 22a x a 22B x a x a 22
21
a a 10a a
【解析】（1）因为()f x 定义域为R ，
又因为()f x 为奇函数， 所以(0)0f ，即
1
02
a ，得1a . ……2分 当1a 时，1e ()1+e x
x
f x ，
所以1e e 1
()()1+e e 1
x x x x f x f x
， 所以1a . ……4分 （2）22(2)(2)0f t t f t k 可化为22(2)(2)f t t f t k ，
因为 f x 是奇函数，
所以22(2)(2)f t t f t k （*）. ……6分 又由（1）知1e 2
()11+e 1+e x x x
f x ，
设12x x R ，
，且12x x ，则
211212122e e 22
()()1+e 1+e 1+e 1+e x x x x x x f x f x ，
因为12x x ，
所以21e e 0x x ，11+e 0x ，21+e 0x ， 所以12()()0f x f x ，即12()()f x f x
故()f x 是R 上的减函数， ……9分 所以（*）可化为2222t t t k . 因为存在实数t ，使得2320t t k 成立，
所以4120k ，解得1
3
k ．
所以k 的取值范围为
1
3
， ． ……12分
已知函数2()25f x x ax ．
（1）若函数()f x 的定义域和值域均为[1]a ，
，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间(2] ，
上单调递减，且对任意的12[11]x x a ，，，总有 12()()9f x f x ≤成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）因为2()25f x x ax 的图象开口向上，且对称轴为(1)x a a
所以()f x 在[1]a ，
上单调递减， 所以max ()(1)62f x f a ，2min ()()5f x f a a ，
……2分 因为()f x 定义域和值域均为[1]a ，
， 所以2
6251a a
a ，
解得，2a . ……4分
（2）因为()f x 在区间(2] ，
上是减函数，所以2≥a ． ……5分 所以()f x 在区间[1]a ，
上单调递减，在区间[1]a a ，上单调递增， 所以2min ()()5f x f a a .
又因为2(1)(1)20f f a a a ≥，
所以max ()(1)62f x f a . ……8分 因为对任意的12[11]x x a ，
，，总有12()()9f x f x ≤成立， 所以(1)()9f f a ≤，
即22125(25)9a a a ≤，
整理得，2280≤a a ， ……10分 解得，24≤≤a ， 又因为2≥a ，
所以a 的取值范围为[24]，
. ……12分
已知函数32()(0)f x ax bx cx a 的极小值为2 ，其导函数()f x 的图象经过
(10)A ，，(10)B ，两点．
（1）求()f x 的解析式；
（2）若曲线()y f x 恰有三条过点(1)P m ，
的切线，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）2()32f x ax bx c ，1分
因为0a ，且()f x 的图象经过(10)A ，
，(10)B ，两点． 所以当(1)x ，
时，()0f x ，()f x 单调递增； 当(11)x ，
时， ()0f x ，()f x 单调递减； 当(1)x ，
时，()0f x ，()f x 单调递增． ……3分 所以()f x 在1x 处取得极小值， 所以(1)2f a b c ， 又因为(1)0f ，(1)0f ， 所以320a b c ，320a b c ， 解得1a ，0b ，3c ，
所以3()3f x x x ． ……6分
（2）设切点为00()x y ，
，则3
0003y x x ， 因为2()33f x x ，所以2
00
()33f x x ， 所以切线方程为32
000(3)33()()y x x x x x ， ……8分 将(1)P m ，
代入上式，得32
002330x x m ． 因为曲线()y f x 恰有三条过点(1)P m ，
的切线， 所以方程322330x x m 有三个不同实数解．
记32()233g x x x m ，则导函数2()666(1)g x x x x x ， 令()0g x ，得0x 或1.
列表：
所以()g x 的极大值为(0)3g m ， ()g x 的极小值为(1)2g m ，…10分 所以(0)0(1)0g g
， 解得32m .
故m 的取值范围是(32) ，
． ……12分 21．（12分）
已知函数()ln f x x a x ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：当0a 时，22()f x a a ≥．
【解析】（1）()ln f x x a x 的定义域为(0) ，
, ……1分 导函数()1a x a f x x x
， ……2分
当≤0a 时，()0≥f x ，()f x 在(0) ，
上单调递增； ……3分 当0a 时，令()0f x ，得x a ，令()0f x ，得0x a ，
所以()f x 在(0)a ，
上单调递减，在()a ，上单调递增. 综上，≤0a 时，()f x 在(0) ，
上单调递增； 0a 时，()f x 在(0)a ，
上单调递减，在()a ，上单调递增.……5分 （2）由（1）得，当0a 时，()f x 在(0)a ，
上单调递减，在()a ，上单调递增， 所以min ()()ln f x f a a a a . ……7分 要证22()f x a a ≥， 只需证22ln ≥a a a a a ，
即证ln 1≤0a a . ……9分
设()ln 1(0)a a a a ，导函数1
()1a a
，
令()0a ，解得1a .
所以当(01)a ，
时，()0a ，()a 单调递增； 当(1)a ，
时，()0a ，()a 单调递减． 所以max ()(1)0a . 所以()0a ≤， 所以ln 1≤0a a ，
所以22()≥f x a a . ……12分
22．（12分）
已知函数()e cos x f x a x x ． （1）若1a ，证明：()0f x ≥；
（2）若()f x 在区间(0) ，上有两个极值点，求a 的取值范围． 【解析】（1）()f x 的定义域为R .
当1a 时，()e cos x f x x x ， 令()e x g x x ，则导函数()e 1x g x .
当0x 时，()0g x ，()g x 在(0) ，
上单调递减； 当0x 时，()0g x ，()g x 在(0) ，上单调递增. 所以min ()(0)1g x g ，
所以e 1x x ≥. ……3分 又因为cos ≤1x ， 所以e cos ≥x x x ，
所以()0f x ≥． ……5分
（2）因为()f x 在(0) ，
上有两个极值点， 所以导函数()e sin 1x f x a x 在(0) ，
上有两个变号零点. ……6分
由()e sin 10x f x a x ，
得1sin e -x
x
a
.
设1sin ()(0)e x
x
h x x
-，，，……8分
所以导函数)1
cos 1sin 4()e e
x x
x x x h x
， 令()0h x ，解得2
x
. 当 02πx ，时，()0h x ，()h x 在 02
π
，上单调递减；
当 2x ，时，()0h x ，()h x 在
2 ，上单调递增. ……10分
又(0)1h ， 1()e h
， 02
h
，
故 10e a
，时，1sin e
-x x
a 在(0) ，
上有两个不同的实数解，
所以a 的取值范围为 1
0e
，. ……12分。