平面向量的夹角和余弦定理

平面向量的夹角和余弦定理
平面向量的夹角是数学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间
的夹角大小和方向关系。

在研究平面向量之间的运算和性质时，夹角
的概念十分实用。

而余弦定理是计算三角形边长或夹角的公式之一，
与平面向量的夹角有着密切的关系。

夹角的定义:
给定两个非零的平面向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下条件: a·b = |a|·|b|·cosθ
其中，·表示两个向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模或
长度，cosθ表示夹角θ的余弦值。

夹角的计算方法:
根据上述定义，我们可以通过向量的坐标或分量来计算夹角。

假设
向量a和b的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则夹角θ的计算公式为: cosθ = (a₁·b₁ + a₂·b₂) / (√(a₁² + a₂²) · √(b₁² + b₂²))
夹角的性质:
1. 夹角θ的范围是0到π之间，单位是弧度。

2. 两个向量平行时，夹角θ为0或π；垂直时，夹角θ为π/2或3π/2。

3. 夹角θ的余弦值cosθ的正负表示向量a和b之间的方向关系。

当cosθ>0时，说明a和b的夹角小于90°，即锐角；当cosθ<0时，说明a
和b的夹角大于90°，即钝角；当cosθ=0时，说明a和b的夹角为90°，即直角。

余弦定理:
由夹角的定义可得出余弦定理，用来计算三角形边长或夹角。

假设
有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。

根
据余弦定理，有以下等式成立:
c² = a² + b² - 2ab·cosC
此公式可以用来计算三角形的边长，也可以用来计算夹角。

应用举例:
以下是一个应用平面向量夹角和余弦定理的例子：
例1：已知向量a = (3, 4)和向量b = (5, -2)，求它们之间的夹角θ。

解：根据夹角的计算公式，可以得到：
cosθ = (3·5 + 4·(-2)) / (√(3² + 4²) · √(5² + (-2)²))
= (15 - 8) / (√(9 + 16) · √(25 + 4))
= 7 / (5·√5)
将cosθ代入夹角的定义中，可以计算出夹角θ的值。