三角恒等变换的应用(第二课时)教案

2
2
2
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
体会诱导公式 的作用.
2(sin x cos cos x sin )
3
3
2sin(x ) 3
法四：
因为
x
3
(x
6
)
2
所以 cos(x ) cos( (x ) sin(x )
6
2
3
3
f (x) 2sin(x ) 3
“和差”与“积”，是指三角函数间的关
系而言，并不是指角的关系. 积化和差公
式的推导用了解方程组的思想.
2、和差化积
你能借助前面所学知识求出
f (x) cos(x ) cos(x )
3
3
的最大值吗？
f (x) cos(x ) cos(x )
3
3
cos x cos sin x sin (cos x cos sin xsin )
和差化积公式的推导
cos( ) cos( ) 2cos cos
分析：
如果 x ， y ， （换元法） 则
x y ， x y （解方程组）
2
2
cos x cos y 2 cos x y cos x y
2
2
两个余弦函数相加，可以写成积的形式
提出和差化积 的来源， 由特
cos( ) cos( ) 2sin sin
cos x cos y 2sin x y sin x y
2
2
sin( ) sin( ) 2sin cos
sin x sin y 2sin x y cos x y
2
2
sin( ) sin( ) 2cos sin
2
6
6
法二： f (x) cos( x) cos(x )
6
6
2cos 0cos(x ) 2cos(x )
6
6
x
2
,
2
,
x
6
2 3
,
3
巩固三角函数 最值的求法.
cos(
x
6
)
1 2
,1
下面的任务是由
x
2
,
2
,
x
6
2 3
,
3
，当 x 0, 即
6
x , cos(x ) 有最大值 1，
(1) sin 20 sin 40 cos 20 cos 40
(2)sin 20 sin 40 sin 80
巩固本节课知 识.
想..
数相乘，右边是两个同名函数相加或相
减. 公式所起作用是将积化成和或差的
形式，因此称为积化和差公式.
同样的办法：
提取出积化和
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
差公式的特点.
上面两个等式相加可得
sin( ) sin( ) 2sin cos
上面两个等式相加可得
cos( ) cos( ) 2cos cos
cos cos 1 cos( ) cos( )
2
（1）
上面两个等式相减可得
cos( ) cos( ) 2sin sin
sin sin 1 cos( ) cos( )
2
（2）
观察（1）、（2）两个等式，左边是同名函
3
2 3 4
例 2 求函数 f (x) sin(x ) sin(x ) 的周期
3
6
和最大值..
分析：发现是同名三角函数的和，而且系
数都是 1，可以运用和差化积公式.
解：由和差化积公式可知
(x )(x ) (x )(x )
f (x) 2sin 3
6 cos 3
6
2
2
2sin(x ) cos 12 4
6
6
和差化积公式 的应用.
所以 f (x) 的最大值是 2. .
法三：
f (x) sin(x ) cos(x )
3
6
sin x cos cos x sin cos x cos sin xsin
3
3
6
6
1 sin x 3 cos x 3 cos x 1 sin x
2
课题 学科 教材
三角恒等变换的应用（第二课时）教案
教学基本信息
三角恒等变换的应用（第二课时）
数学 学段： 高中
年 级
高一
书名:普通高中教科书 数学 必修第三册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019 年 7 月
教学目标及教学重点、难点 教学目标：能根据两角和（差）的正弦、余弦公式进行恒等变换，推 导出积化和差与和差化积公式，感受三角恒等变换公式的推导是一种 三角函数运算，发展学生的运算能力和推理能力. 教学重点、难点：积化和差与和差化积公式的推导，多角度思考问题.
2 sin(x ) 12
所以函数的周期为 2 ，最大值为
巩固和差化积 公式..
2.
小结：在使用积化和差、和差化积公式，
应注意两个角的和或差以后往往会出现
特殊角，所以“和积互化”是三角函数恒
等变形的一种基本手段.
例 3 求函数 f (x) sin(x ) cos(x ) ，
3
6
x
2
3
3
3
3
2cos x cos 3
cos x
所以函数的最大值是 1.
小结：
（1）.从角方面观察：
观察 x 与 x 恰好是 x 与 这两个角的和
3
3
3
与差.
（2）.从式子结构方面观察：在化简过程
中发现了 x 与 这两个角的同名三角函数 3
积的形式，整理后为 x 与 这两个角的余
3
弦积.
3
最大值. 分析：我们知道只能化简成一个
巩固积化和差 公式.
角的一个三角函数的一次式才可以求周
期.
例题
解：
f
(x)
1 2
sin( x
3
x)
sin( x3ຫໍສະໝຸດ x)1 2sin(2x
3
)
sin
3
1 sin(2x ) 3
2
34
函数 f (x) sin(x ) cos x 的周期 和最大值
诱导公式..
方程思想
cos( ) cos( )
积化和差 cos cos 1 cos( ) cos( )
2
加强正弦型函 数最值的求法.
总结
和差化积
cos cos 2cos cos
2
2
梳理公式的由 来.
作业
1.已知 sin( ) 1， sin( ) 0 ， 求 cos sin ，sin( )cos 的值. 2.求下列各式的值
x
2
,
2
,
x
3
6
,
5 6
根据正弦函数性质可知，当 x ,
32
即
x
6
,
sin( x
3
)
有最大值
1，
所以 f (x) 的最大值是 2.
小结：此题告诉我们化简的途径有很多， 和（差）正余弦
可以从式子结构入手，也可以从角之间关 公式及辅助角
系入手都可以达到化简的目的. 公式的复习.
观察已知角之 间的关系，使用
sin x sin y 2cos x y sin x y
2
2
小结：
殊到一般的数 学思想.
（1）.同为正弦或余弦的两个函数的和或
差可以写成积的形式，因此称作和差化
积..
（2）.使用了换元法推导和差化积的公
式. 换元法与方程
组思想的再次
体现.
例 1 求函数 f (x) sin(x ) cos x 的周期和
,
2
的最值.
分析：和差化积公式只对系数绝对值相等
体会转化的思 想.
且同为正弦或余弦的和与差才能直接使
用.
利用诱导公式将其中的一个化为与另一
个同名的函数.
法一：
f (x) sin(x ) cos(x )
3
6
sin(x ) sin(2 x)
3
3
2sin cos(x ) 2cos(x )
教学环 节
教学过程(表格描述) 主要教学活动
设置意图
引入
温故知新：
由和（差）角公
如果已知 cos( ) 1 ，cos( ) 3 ，你能
2
5
求出 cos cos 以及 sin sin 的值吗？
式引出方程的 思想.
新课 探究新知：
解方程组的思
1、积化和差公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin cos 1 sin( ) sin( )
2
上面两个等式相减可得
sin( ) sin( ) 2cos sin
cos sin 1 sin( ) sin( )
2
小结：积化和差公式的左边是正、余弦乘
积时，右边是正弦的和、差；左边是同名
积时，右边是余弦的和、差. 积化和差的