新高三开学考试卷数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）
A. y = x^2
B. y = |x|
C. y = x^3
D. y = 1/x
2. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(-x) = （）
A. -2x + 1
B. 2x - 1
C. -2x - 1
D. 2x + 1
3. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项之和S10 = （）
A. 148
B. 150
C. 152
D. 154
4. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, -2)，则向量a与向量b的点积为（）
A. 7
B. -7
C. 5
D. -5
5. 下列命题中，正确的是（）
A. 函数y = x^2在定义域内单调递增
B. 等差数列的前n项和S_n = n^2
C. 等比数列的公比q = 1时，数列单调递增
D. 向量a与向量b垂直，则a·b = 0
6. 若等差数列{an}的前n项和为S_n，公差为d，首项为a_1，则S_n = （）
A. n^2
B. n(a_1 + a_n)/2
C. n(a_1 + a_n)/d
D. (a_1 + a_n)d
7. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数的图像的对称轴方程为（）
A. x = 2
B. y = 2
C. x + y = 2
D. x - y = 2
8. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = 1，则z的共轭复数是（）
A. a - bi
B. -a + bi
C. -a - bi
D. a + bi
9. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，公比q ≠ 1，则S_n = （）
A. a_1/(1 - q)
B. a_1 + a_2 + ... + a_n
C. (a_1 + a_n)/2
D. a_n/(1 - q)
10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，则（）
A. a > 0，b < 0，c > 0
B. a > 0，b > 0，c > 0
C. a < 0，b < 0，c < 0
D. a < 0，b > 0，c > 0
11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = （）
A. 3x^2 - 3
B. 3x^2 + 3
C. 3x - 3
D. 3x + 3
12. 若函数f(x) = e^x - x在x = 0处取得极值，则该极值为（）
A. 1
B. 0
C. -1
D. e
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1) = _______。

14. 等差数列{an}中，a_1 = 2，d = 3，则a_10 = _______。

15. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (2, -1)，则向量a与向量b的夹角余弦值为 _______。

16. 若复数z = 2 + 3i，则|z| = _______。

17. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标为 _______。

18. 已知等比数列{an}的公比q = 2，首项a_1 = 1，则a_5 = _______。

三、解答题（本大题共4小题，共70分）
19. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求：
（1）函数f(x)的图像的对称中心；
（2）函数f(x)的单调区间。

20. （20分）已知等差数列{an}的前n项和为S_n，公差为d，首项为a_1，且S_3 = 21，S_5 = 55，求d和a_1。

21. （20分）已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -3)，求向量a与向量b的投影。

22. （25分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求：
（1）函数f(x)的导数f'(x)；
（2）函数f(x)的极值点及极值。

注意：考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上。