2020年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题(答案解析版)
广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数)学生版
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈，则（ ）A ．M N M =IB ．M N N =IC ．M N M =UD ．R M N =U2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）A ．±B ．-C ．-D ．±3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[3,)-+∞B ．(,3]-∞-C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞4．已知:12p x +>，:23q x <<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．设函数1()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若,P Q 分别在11,AA CC 上，且1111,33AP AA CQ CC ==，则四棱锥B APQC -的体积为（ ）A ．16VB ．29VC ．13VD ．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．514B ．914C ．37D ．478．已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．49．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1251,43a a a =+=，若48()N n n S a n *+∈≥，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知点00(,)P x y 是曲线32:1C y x x =-+上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行，则（ ）A ．02x =B ．043x =-C ．02x =或043x =-D ．02x =-或043x =11．已知O 为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．54B ．43C ．53D ．212．已知函数221,0()1,0x x x f x x x x ⎧--+<⎪=⎨-+⎪⎩≥，若()()sin(2020)1F x f x x π=--在区间[1,1]-上有m 个零点123,,,,m x x x x L ，则123()()()()m f x f x f x f x ++++=L （ ）A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边 三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的 体积为 ，表面积为 ．14．在251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是15， 则实数a = ．15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的值为．16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1cos sin ()22n n a a n n n n ππ*++=-∈N ，且20191009m S +=-，10a m >，则119a m+的最小值为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．已知c =sin sin sin sin ab Ca Ab Bc C=+-（1）求角C 的大小；（2）求2b a +的最大值． 18．（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参（1）以这训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边ABC △中，,D E 分别为边,AC AB 的中点．将AED △沿DE 折起，使得AB AD ⊥，AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A BCDE -，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AE D --的余弦值．E CHBDA图1图220．（本小题满分12分）已知M e过点A，且与22:(16N x y +=e 内切，设M e 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()(4)6,()1ln 3x f x x ex x g x a x x -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，()f x '为()f x 的导函数．设函数()max{(),()}h x f x g x '=，若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：11111ln 3()12313N n n n n n n*+++++>∈++-L ．21．解析：（1）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数且3,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． （1）求曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点，求AB 的最小值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈． （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）若不等式()114f x x <-对任意34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围．。
广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数)
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ),
则x1
x2
12,
x0
x1
2
x2
6,
则点M到准线x 2的距离为6 (2) 8
8.已知直线l : y x 2与x轴的交点为抛物线C : y2 2 px
( p 0)的焦点, 直线l与抛物线C交于A, B两点, 则AB的中点
到抛物线C的准线的距离为( A )
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
依题意可知抛物线的焦点坐标为F(2, 0), 所以p 4,
直线y x 2的倾斜角为 45, A'
A
则
AB
2p
sin2
16,
如图, MM AA BB 2
AF BF AB
8
2
2
M'
M
KO
F
B' B
9.
等差数列{an }的前n项和为Sn , 已知a1
3,
7
2
k 2
2
3 4
k
2
2
15.
ur ur 已知单位向量e1与e2的夹角为
3
,
ur 若向量e1
ur ur 2e2与2e1
k
ur e2的夹角为
5
6
,
则实数k的值为
10
.
两边平方,并整理得2k2 19k 10 0,(k 10)(2k 1) 0,
解得k 10或k 1 , 又因为4 5 k 0,所以k 10
1(a
0, b
0)
的左、右焦点分别为F1, F2 ,点P是双曲线C上位于第一象限 上的点, 过点F2作F1PF2的平分线的垂线,垂足为A, 若b
2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试(一)数学(理)试题(解析版)
2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R ⋃=【答案】A【解析】由题意{}22,N x x x R =-<<∈，分别计算出M N ⋂、M N ⋃即可得解. 【详解】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈， 所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ） A．± B．-C．-D．±【答案】D【解析】220z +=，即22z =-，解得z =．所以32()(2)z z z =⋅=⋅-=±，故选D3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)3-+∞，B ．(]3-∞-，C ．()0+∞，D ．()-∞+∞，【答案】D【解析】由题意得圆心到直线的距离2d =≤，解不等式即可得解.【详解】圆222410x y x y ++-+=的圆心为()1,2-，半径为2，由题意可知圆心到直线的距离2d =≤，化简得2183033k ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 故(),k ∈-∞+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题.4．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-，利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 5．设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】由题意结合三角函数的图象与性质可得12min22Tx x π-==，即可得解. 【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期2412T ππ==，()1f x 、()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值，所以12min22Tx x π-==. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若P Q ，分别在11AA CC ，上，且111133AP AA CQ CC ==，，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A ．16V B ．29V C ．13V D ．79V【答案】B【解析】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ，由B APQC ABC PHQ B PHQ V V V ---=-即可得解.【详解】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ， 由题意PHQ ABC S S =△△，BH ⊥平面PHQ ， 所以111113339B PHQ PHQ ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，11133ABC PHQ ABC ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，所以112399B APQC ABC PHQ B PHQ V V V V V V ---=-=-=. 故选：B.【点睛】本题考查了直三棱柱的特征及几何体体积的求解，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．514B ．914C ．37D ．47【答案】C【解析】由题意计算出总情况数和符合要求的情况数，利用古典概型概率公式即可得解. 【详解】将这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动共有510252C =种情况；每个宣传小组至少选派1人分为以下几种情况：①可回收物或餐厨垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112223336C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；②有害垃圾或其他垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112332272C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；故所求概率367232527p +==. 故选：C. 【点睛】本题考查了计数原理的应用与古典概型概率的求解，考查了分类讨论思想，属于中档题. 8．已知直线2l y x =-：与x 轴的交点为抛物线22C y px =：的焦点，直线l 与抛物线C 交于A B ，两点，则AB 中点到抛物线准线的距离为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由题意可知抛物线焦点为()2,0，进而可得抛物线2:8C y x =，联立方程可得1212x x +=，即可求得点A 、B 到准线的距离和，即可得解.【详解】Q 直线:2l y x =-与x 轴的交点为()2,0，∴22p=即4p =，∴抛物线2:8C y x =，准线方程为2x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得21240x x -+=，>0∆，则1212x x +=，∴点A 、B 到准线的距离和为1216x x p ++=，∴AB 中点到抛物线准线的距离1682d ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用和直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知125143a a a =+=，，若()*48n n S a n N ≥+∈，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】由题意结合等差数列的通项公式计算出23d =，分别表示出n a 、n S 后，解一元二次不等式即可得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，Q 113a =，254a a +=， ∴114433d d +++=即23d =， ∴2133n a n =-，212133323n n n S n +-=⋅=， Q 48n n S a ≥+，∴22148333n n ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，解得2n ≤-或10n ≥，由*n N ∈可知n 的最小值为10. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.10．已知点()00P x y ，是曲线321C y x x =-+：上的点，曲线C 在点P 处的切线与811y x =-平行，则（ ）A ．02x =B ．043x =-C ．02x =或043x =-D ．02x =-或043x =【答案】B【解析】由导数的几何意义结合题意得200328x x -=，算出0x 分别代入验证即可得解.【详解】由题意曲线32:1C y x x =-+，求导得232y x x '=-，∴曲线C 在点P 处的切线斜率20032k x x =-，∴200328x x -=，解得043x =-或2，当043x =-时，320448513327y ⎛⎫⎛⎫=---+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点485,327P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线方程为8548273y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即203827y x =+，符合题意； 当02x =时，3202215y =-+=，则点()2,5P ，切线方程为()582y x -=-即811y x =-，不符合题意，舍去.故选：B. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用和导数的运算，属于中档题.11．已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b -=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．2【答案】C【解析】延长2F A 交1F P 于点Q ，由题意结合平面几何知识可得2F A AQ =，2PF PQ =，进而可得11222OA FQ F P F P a ==-=，结合双曲线的性质即可得223850c ac a -+=，即可得解.【详解】延长2F A 交1F P 于点Q ，Q PA 平分12F PF ∠，2F A PA ⊥，∴2F A AQ =，2PF PQ =，又12FO OF =，∴11222OA FQ F P F P a ==-=， Q 122b F F OA =-，∴22b c a =-，又222+=a b c ，∴()22222a c a c +-=，化简得223850c ac a -+=，∴23850e e -+=，解得53e =或1e =（舍去）. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.12．已知函数()221010x x x f x x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，，，若()()()20201F x f x sin x π=--在区间[]11-，上有m 个零点123m x x x x L ，，，，，则()()()()123m f x f x f x f x ++++=L （ ） A ．4042 B ．4041 C ．4040 D ．4039【答案】B【解析】由题意()()()22sin 20200sin 20200x x x x F x x x x x ππ⎧---<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]220,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-，由函数的奇偶性可得()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ，由三角函数的性质可得4041m =，再由()()()()()()()()123123m m f x f x f x f x g x x x g m g g x ++++=+++++L L 即可得解. 【详解】由题意()()()()()22sin 20200sin 20201sin 20200x x x x F x f x x x x x x πππ⎧---<⎪=--=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]22,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-， 则123m x x x x L ，，，，为方程()()g x h x =的根即为函数()g x 与()h x 交点的横坐标， 当0x <时，()()()()22g x x x x x g x --=+=-=--，且()00g =，所以函数()g x 为奇函数；()()()()sin 2020sin 2020h x x x h x ππ-=-=-=-，所以函数()h x 为奇函数；所以1230m x x x x =L ++++，所以()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ， 函数()g x 的图象，如图， 函数()h x 的最小正周期2120201010T ππ==，且()[]1,1h x ∈-，所以在10,1010⎛⎤ ⎥⎝⎦，12,10101010⎛⎤ ⎥⎝⎦，231009,,1101010101010⎛⎤⎛⎤⋅⋅⋅ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上，()()g x h x =均有两个不等实根，所以在(]0,1上，()()g x h x =共有2020个不等实根， 所以在[)1,0-上，()()g x h x =共有2020个不等实根，又()()00g h =，所以()()g x h x =在[]1,1-上共有4041个不等实根即4041m =， 所以()()()()123m f x f x f x f x ++++L()()()()1234041m g g g x x x g x m ++=+++=L .故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用及函数零点相关问题的解决，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于中档题.二、双空题13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为________，表面积为________．3π 3π 【解析】由题意可得该几何体为底面半径为1、母线长为23锥体积和表面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，该几何体为底面半径为1、母线长为23的圆锥，所以该几何体体积213133V ππ=⨯=， 表面积21123S πππ=⨯+⨯⨯=， 3π，3π. 【点睛】本题考查了三视图的识别及圆锥体积、表面积的计算，属于基础题.三、填空题 14．在()5211ax x x+-的展开式中，3x 的系数为15，则实数a =_______． 【答案】5【解析】由题意结合二项式定理写出二项式()521x -的展开式的通项公式，分别令1022r -=、1024r -=即可得3x 的系数，即可得解.【详解】二项式()521x -的展开式的通项公式为：()()()2021155511rr rrr r r x T C C x-+-=⋅⋅-=⋅-⋅，令1022r -=即4r =，则()()4455115rrC C ⋅-=⋅-=， 令1024r -=即3r =，则()()33551110r r C C ⋅-=⋅-=-， 所以()5211ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为510a -，所以51015a -=即5a =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的取值为_______． 【答案】-10【解析】建立直角坐标系，表示出122e e +u r u u r 、122e ke +u r u u r的坐标后，利用()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r u r u r r u u r 列出方程即可得解.【详解】如图建立直角坐标系，由题意得()11,0e=u r，21,22e ⎛= ⎝⎭u ur ，则(122e e +=u u ru r ，121222e ke k ⎛+=+ ⎝⎭u u u r r ， 所以()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r ur u r r u u r2223544522cos67241343222kk k k k k k π+++===⋅++⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即25402219100kk k ⎧+<⎪⎨⎪+-=⎩，解得10k =-.故答案为：10-.【点睛】本题考查了平面向量运算的坐标表示及利用平面向量数量积解决向量夹角相关问题，考查了计算能力，属于中档题.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*122n n a a n n cos sin n N n ππ++=-∈，且2019110090m S a m +=->，，则119a m+的最小值为_______． 【答案】16【解析】由三角函数的性质可得当()4n k k N =∈时，4414k k a a k ++=；当()42n k k N =+∈时，()424342k k a a k +++=-+；利用分组求和可得201911010S a =-，进而可得11m a +=，利用基本不等式即可得解.【详解】当()4n k k N =∈时，44144cos sin cos0sin 01422k k a a k k k ππ++=-=-=，即4414k k a a k ++=； 当()42n k k N =+∈时，()()42434242cossin cos sin 14222k k k k a a k ππππ+++++=-=-=-+， 即()424342k k a a k +++=-+；∴()()()201912345201820191242018S a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅++=-+-⋅⋅⋅-()()()1124682014201620181010a a =+-++-++⋅⋅⋅+-+-=-，∴2019110101009m S m a +=+-=-， ∴11m a +=，又10a m >，∴10a >，0m >，∴()1111191919101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当119a m a m=时等号成立. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和基本不等式的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题.四、解答题17．ABC n 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =absinCasinA bsinB csinC=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 【答案】（1）3π；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得222abc a b c =+-cos C =，即可得解；（2）由正弦定理得2sin a A =，2sin b B =，则转化条件得()2b a A ϕ+=+，确定2,23ππϕϕ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭后即可得解.【详解】（1）由题意及正弦定理可得：222abca b c=+- 由余弦定理得：2222cos a b c ab C +-=⋅，所以2221cos 262a b c C ab +-===，由()0,C π∈可得3C π=；（2）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cA B C====， 所以2sin a A =，2sin b B =，又A B C π++=，所以22sin 2sin 2sin 33b B A A ππ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 4sin sin 4sin 5sin 3b a A A A A A A A π⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭()A ϕ=+,由tan 5ϕ=可得0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,3A πϕϕϕ⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，2,23ππϕϕ⎛⎫∈+⎪⎝⎭， 所以()sin 1max A ϕ+=，所以2b a +≤. 故2b a +的最大值为【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题. 18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y【答案】（1）27128；（2）分布列详见解析，数学期望()34E Y =． 【解析】（1）由题意可得()2520100P x ≥=，由二项分布的概率公式即可得解；（2）先利用分层抽样的概念算出各组抽取的人数，根据超几何分布的概率公式求出()0P Y =、()1P Y =、()2P Y =、()3P Y =后即可列出分布列，进而即可求得期望.【详解】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ，由表可知()251201004P x ≥==，所以()22241127144128P A C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅； （2）由题意得：抽取的20x <的人数为31294⨯=；20x ≥的人数为11234⨯=； 从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，则()39312840220C P Y C ===；()21933121081220C C P Y C ===； ()1293312272220C C P Y C ===；()3331213220C P Y C ===；所以Y 的分布列为：所以Y 的数学期望()84108271301232202202202204E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.19．如图1，在边长为2的等边ABC V 中，D E ，分别为边AC AB ，的中点，将∆AED 沿ED 折起，使得AB AD ⊥ ， AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A -BCDE ，连结BD CE ，，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ; （2）求二面角B AE D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）3【解析】（1）由题意可得EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，即可得AH BD ⊥，AH EC ⊥，利用线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面AED 、平面AEB 的一个法向量为1n u r 、2n u u r，利用121212cos n n n n n n ⋅=u r u u ru r u u r u r u u r ，即可得解. 【详解】（1）证明：由题意1AE AD ==，3CE BD ==因为D 、E 分别为AC 、BD 的中点，所以EHD CHB △△∽且相似比为2，所以33EH DH ==，33BH CH ==， 所以3AE EH CE AE ==3AD DHBD AD == 所以EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，又因为AB AD ⊥，AC AE ⊥，所以AH BD ⊥，AH EC ⊥， 由BD CE H =I 可得AH ⊥平面BCDE ，得证.（2）如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系；所以()000D ，，，)30B ，，，()010C ，，，由（1）知2263AH AD DH =-=，则360A ⎝⎭，， 由131,022DE CB ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r 可知3102E ⎫-⎪⎪⎝⎭，， 所以3162AE =-⎝⎭u u u r ，，2360AB =-⎝⎭u u u r ，，360DA =⎝⎭u u u r ，， 设平面AED 的一个法向量为()1111n x y z =u r，，，所以110 0AE n DA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，即111113160623 36033x y z x z --=⎪⎨⎪+=⎪⎩，取11z =-得)1261n =-u r ，，，同理可得平面AEB 的一个法向量(2132n =u u r，， 所以1212123cos n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r ，， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B AE D --的余弦值为3- 【点睛】本题考查了线面垂直的证明和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题. 20．已知M e 过点)3A ，，且与(22316N x y ++=e ：内切，设M e 的圆心M的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）l 过定点203，． 【解析】（1）由题意结合圆的性质可得4MA MN +=，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线l 斜率不存在时，求出各点坐标后即可得l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立方程可得122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，进而可转化条件()242PB QB b k k k b k -⋅=+，得出23b k =-后即可得解.【详解】（1）由题意M e过点)A，且与(2216N x y +=e ：内切，易知点()N ，N e 半径为4， 设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M e 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023 3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍）， 所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-， 由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k ⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于中档题. 21．已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-L ． 【答案】（1）()f x 单调递增区间为()3+∞，;() f x 单调递减区间为()03，；（2）43a ≥；（3）详见解析．【解析】（1）求导后求出()0f x '>、()0f x '<的解集后即可得解；（2）转化条件得()0g x ≥在()03，上恒成立，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立，令()()1ln 03xF x x x+=<<，求导后求得()F x 的最大值即可得解； （3）利用导数证明1x e x >+，进而可证111111111131233n n n n n n n n e e e e e ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>L ，即可得证. 【详解】（1）因为()()3246x f x x e x x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥， 由()()221ln 1ln x xF x x x-+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥，综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-L 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-， 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)． （1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，x ≤（2【解析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解. 【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩， 又322ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，所以x ≤ 所以2C的普通方程为(22133x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为x ≤3c =时直线与2C 相切， 所以5min AB ==. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题.23．已知函数()36f x x x a =-++， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【解析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解. 【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<； 当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-++<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a xx ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，. 【点睛】本题查了绝对值不等式的求解和含绝对值恒成立问题的求解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.。
【答案】广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数)
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1．答案：A解析：{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ⊂≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ，M N M ∴=I ．2．答案：D解析：223320,2,(z z z z +=∴=-===±．3．答案：D解析：圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径2r =，直线10kx y -+=过定点(0,1)P，因为CP r =<，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞．4．答案：B解析：由12x +>，得12x +<-或12x +>，解得3x <-或1x >， 因为{|23}{|3x x x x ⊂≠<<<-或1}x >，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．答案：C解析：由题可知1x 是函数()f x 的最小值点，2x 是函数()f x 的最大值点．所以12x x -的最小值为函数()f x 半个周期，14,22T T ππ==．6．答案：B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h ，则2V h =，所以2112332189B APQC V ah a a h V -⎛⎫=⨯⨯== ⎪⎝⎭． 7．答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有510252C =种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法，则所求概率为10832527=． 8．答案：A 解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ，所以4p =，将2y x =-代入28y x =，得21240x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则1212x x +=，12062x x x +==， 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=．9．答案：C 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则251225543a a a d d +=+=+=，解得23d =． 所以112(1)21(1)333n n n a a n d --=+-=+=，21()123n n n a a S n +==，由48n n S a +≥，化简得： ABCC 1B 1A 1P Q28200n n--≥，(2)(10)0n n+-≥，10n≥，即n的最小值为10．10．答案：B 解析：令2y'=24当2x=时，5y=，此时11．答案：C解析：延长2F A交1PF于点PA是12F PF∠的平分线且可得2PB PF=，且AB所以OA是12F BF△所以(11122OA BF PF==又由122b F F OA=-所以223850c ac a-+=，12．答案：B解析：()1f x x x x=-+所以1miix==∑，显然(1)(0)(1)0F F F-===，当01x≤≤时，由2()sin(2020)0F x x x xπ=--=，得2sin(2020)x x xπ-=，在同一坐标系中作出2(01)y x x x=-<≤和sin(2020)(01)y x xπ=<≤的图象，sin(2020)y xπ=的最小正周期11010T=，在每个区间112100910100,,,,,10101010101010101010⎛⎤⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦L L内各有2个零点，所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()F x在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()F x在[1,0)-内也有2020个零点，又(0)0F=，所以4041m=，所以40411231()()()()(1)4041mif x f x f x f x x x x=++++=-+=∑L．13，3π（第1个空2分，第二个空3分）解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r=，高h=2l=，体积213V r hπ==，表面积23S r rlπππ=+=．14．答案：5 解析：25252511(1)(1)(1)ax x ax x x x x⎛⎫+-=⋅-+⋅- ⎪⎝⎭， 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=，含4x 的项为322345()(1)10C x x -=-，所以251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是51015a -=，解得5a =． 15．答案：10-解析：不妨取121(1,0),2e e ⎛== ⎝⎭u r u u r，设122a e e =+=ur u u r r，12222k b e ke ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭r u r u u r ，则34cos ,k ka b a b a b++⋅===⋅r rr r r r ，两边平方，并整理得2219100k k +-=， (10)(21)0k k +-=，解得10k =-或12k =，又因为5402k +<，所以10k =-． 16．答案：16 解析：当2n =时，得23231,22a a a a +=-∴+=-；当4n =时，得45451,44a a a a +=+=，23452a a a a ∴+++=，同理可得67891011121320142015201720192a a a a a a a a a a a a +++=+++==+++=L ， 又20182019201820191,20182018a a a a +=-∴+=-，所以201912345678920182019()()()S a a a a a a a a a a a =+++++++++++L11504220181010a a =+⨯-=-，由20191009m S +=-，得11a m +=，所以1111191919()101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥． 17．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得222abca b c =+-因为c =222ab a b c =+-【或223ab a b =+-】．由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==【或2231cos 22a b C ab +-==】，因为0C <<π，所以3C π=．（2）由已知与（1）知c =3C π=．由正弦定理2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，得2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭．所以222sin 4sin 5sin )3b a A A A A A ϕπ⎛⎫+=-+=+=+⎪⎝⎭，（其中tan 5ϕ=，02ϕπ<<）．因为203A π<<，06ϕπ<<，所以506A ϕπ<+<． 所以2A ϕπ+=时，2)b a A ϕ+=+取得最大值．所以2b a +的最大值为． 18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A ，则251()1004P A ==． 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为ξ，则144B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，． 所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为()222431272C 44128P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个．现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y 服从超几何分布，Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则0339312C C 21(0)C 55P Y ===，1239312C C 27(1)C 55P Y ===， 2139312C C 27(2)C 220P Y ===，3039312C C 1(3)C 220P Y ===． 所以Y 的分布列如下：所以()0123=22555522022400E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（1）证明1：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD =． 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以133DH BD ==． 因为AB AD ⊥，所以ABD △为直角三角形．因为1AD =，BD =cos 3AD ADB BD ∠==． 在ADH △中，由余弦定理得222122cos 1213333AH AD DH AD DH ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=，所以3AH =．在ADH △中，因为22221133AH DH AD +=+==，所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥． 因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ． 证明2：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD =． 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以133DH BD ==． 在Rt BAD △中，BD =1AD =， 在BAD △和AHD △中，因为DB DADA DH==BDA ADH ∠=∠，所以BAD AHD △∽△． 所以90AHD BAD ∠=∠=︒．所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥．因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解法1：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(1,0,0),B C A ⎛ ⎝⎭，110,,,(1,0,0),3322EA EB ED BC ⎛⎛====- ⎝⎭⎝u u u r u u u r u u u r u u u r 设平面ABE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则11100m EA y z mEB x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u r u u u r u r u u u r ，取(0,1)m =-u r ．设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z =r ，则222201022n EA y z n ED x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1)n =-r ．所以cos,m nm nm n⋅===⋅u r ru r ru r r．由图可知，二面角B AE D--的平面角是钝角，故二面角B AE D--的余弦值为3-解法2：在四棱锥A BCDE-中，分别取AE，AB的中点M，N，连接DM，MN，ND．因为ADE△为等边三角形，所以DM AE⊥，因为BE EC⊥，BE AH⊥，CE AH H=I，且,CE AH⊂平面AEC，所以BE⊥平面AEC．因为AE⊂平面AEC，所以BE AE⊥．因为点M，N分别为边AE，AB的中点，所以//NM BE．所以NM AE⊥．所以DMN∠为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE中，因为1AD=，所以DM=．在ABE△中，1122MN EB==．在Rt ABD△中，1AD=，BD=，所以AB=．所以DN===．在DMN△中，由余弦定理得22212cos3DMN⎛⎫+-⎪⎝⎭∠==-．所以二面角B AE D--的余弦值为3-．20．（1）解：设Me的半径为R，因为Me过点A，且与Ne相切，所以4R MAMN R⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即4MN MA+=．因为4NA<，所以点M的轨迹是以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，则24a=，且c=所以2a=，1b=．所以曲线C的方程为2214xy+=．（2）解法1：依题意，直线,BP BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为(0)k k≠，则直线BP的方程为(2)y k x =-．由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，解之得12x =，2228214k x k -=+．因此点P 的坐标为222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为直线BQ 的斜率为12k -，所以可得点Q 的坐标为222222,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．当2k ≠±时，直线l 的斜率为23=2(12)PQ kk k -． 所以直线l 的方程为222232(12)22211k k k y x k k k -⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭，整理得2232(1)221k y x kk k -=--．即232(12)23k k y x ⎛--⎫= ⎪⎝⎭． 此时直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．当k =l 的方程为23x =，显然过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：1x x =．设点11(,)P x y ，则点11(,)Q x y -，依题意12x ≠，因为211121*********BP BQy y y k k x x x x -⋅=⨯=-=----+，所以22111442x x y -+=． 因为221114x y +=，且12x ≠，解得123x =． 此时直线l 的方程为23x =． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=． 需要满足222(8)16(41)(1)0km k m ∆=-+->，即2241m k <+．设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则有122841kmx x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+． 因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以22121224()()41m k y y kx m kx m k -=++=+．因为12121212121222()42BP BQ y y y y k k x x x x x x =⨯==----++，所以()121212242x x x x y y -++=-． 即2222224(1)162(4)4414141m km m k k k k --++=-+++，即223840m km k ++=．所以23m k =-或2m k =-．当23m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．当2m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为(2)y k x =-，恒过定点(2,0)，不合题意． 显然直线23x =也过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（1）解：因为32()(4)e6x f x x x x -=-+-，所以33()(3)e 26(3)(e 2)x x f x x x x --'=-+-=-+．当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）解：由（1）可知，当[3,)x ∈+∞时，()0f x '≥． 所以要使()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，只需()0g x ≥在区间(0,3)上恒成立即可．因为1()01ln 03g x a x x ⎛⎫⇔--- ⎪⎝⎭≥≥． 以下给出四种求解思路：思路1：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间()0,3上恒成立，转化为1ln 13x a x ++≥在区间()0,3上恒成立． 令1ln 1()3x m x x +=+，则2ln ()xm x x'=-．因为当(0,1)x ∈时，()0m x '>，当(1,3)x ∈时，()0m x '<． 所以()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．所以4()(1)3m x m =≤．所以43a ≥．所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 思路2：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11(31)3()(03)33a x g x a x x x--⎛⎫'=--=<< ⎪⎝⎭．①若13a ≤，则()0g x '<在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ②若1233a <≤，则()0g x '≤在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ③若23a >，则当3031x a <<-时，()0g x '<，当3331x a <<-时，()0g x '>． 所以函数()g x 在30,31a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在3,331a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调递增．所以33()ln 3131g x g a a ⎛⎫=-⎪--⎝⎭≥，由3ln 031a --≥，解得43a ≥． 此时实数a 满足43a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路3：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭．因为1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，则1(1)103g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≥，即43a ≥． 因为11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭在(0,3)上单调递增，因为1103g a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，【或0x →时，()g x '→-∞】2(3)03g a '=->． 所以存在0(0,3)x ∈，使得0011()03g x a x ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭． 当0(0,)x x ∈时，0()0g x '<，当0(,3)x x ∈时，0()0g x '>． 所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,3)x 上单调递增．所以00011()()1ln ln 33g x g x a x x a ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．要使1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，只要1ln 03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路4：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立，转化为11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立． 令()1ln s x x =+，则1()0s x x'=>，(0,3)x ∈． 所以()s x 在(0,3)上单调递增．而13y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是经过原点的直线，设过原点的直线与()1ln s x x =+相切于点00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，因为0001()y y x x x -=-过原点，所以01y =． 因为001ln y x =+，所以01x =．即切点为(1,1)．所以经过原点且与()1ln s x x =+相切的直线方程为y x =．所以满足11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的条件是113a -≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （3）证明1：由（2）可知，当43a =时，有ln 1x x -≤．即ln(1)x x +≤． 则111ln 1ln n n n n +⎛⎫>+= ⎪⎝⎭， 同理12ln 11n n n +>++，13ln 22n n n +>++，…，131ln 33n n n +>． 所以11111311ln ln 3ln 312313n n n n n n n n +⎛⎫+++++>=+> ⎪++-⎝⎭L ．所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ． 证明2：要证11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ，即证1111112313e3n n n n n+++++++->L ，即证1111112313e eeee3n n n n n++-⋅⋅⋅⋅⋅>L ．先证明e 1(0)xx x >+>，事实上，设()=e 1xp x x --，则()=e 1xp x '-，当0x >时，()=e 10xp x '->，所以()p x 在(0,)+∞上单调递增． 所以()(0)0p x p >=，所以e 1(0)xx x >+>． 所以11111123131111e eeee1+1+1+1+1313nn n n nn n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅>⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L123313131313n n n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯=>+-L ． 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L ．22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t ，得250x y --=．所以曲线1C 的方程为250x y --=．因为曲线2C的参数方程为,cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），则由x =，得cos θ=，代入y θ=得sin y x θ=， 消去参数θ，得223x y -=．因为,22θπ3π⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0x <．所以曲线2C 的方程为223(0)x y x -=<． （2）因为点A ，B 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设直线20x y b -+=与曲线2C 相切，由22203x y b x y -+=⎧⎨-=⎩，消去y 得223430x bx b +++=． 所以22(4)43(3)0b b ∆=-⨯⨯+=，解得3b =±． 因为0x <，所以3b =． 因为直线250x y --=与230x y -+=间的距离为：5d ==．所以AB的最小值5．23．（1）解：因为1a =，所以()321f x x x =-+-．当1x ≤时，由()743f x x =-<，解得1x >，此时x ∈∅． 当12x <<时，()523f x x =-<，解得1x >，此时12x <<． 当2x ≥时，()473f x x =-<，解得52x <，此时522x <≤． 综上可知，512x <<．所以不等式的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭． （2）解法1：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以55x x a x -<-<-【或22()(5)x a x -<-】． 所以255x a -<<． 因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，max (25)8x -=-．所以实数a 的取值范围为(8,5)-．解法2：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以||5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 分别作出函数5y x =-与函数y x a =-的图像，如图所示，要使5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，则当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数5y x =-的图像在函数y x a =-的图像的上方． 所以当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，需要满足5a x x -<-且5x a x -<-．因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()max 258x -=-．所以实数a 的取值范围为()8,5-．。
2020年广州一测理科数学试题
y kx m,
由
x2
4
y2
1
得
4k 2 1
x2 8kmx 4
m2 1
0．
需要满足 8km2 16 4k2 1 m2 1 0 ，即 m2 4k 2 1 ．
设点 P x1, y1 ， Q x2, y2 ，
则有
x1
x2
8km 4k 2 1
，
x1x2
4 m2 1 4k 2 1
同理可证 AH CE ．
因为 CE BD H , CE 平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，
所以 AH 平面 BCDE ． （2）解法 1：以 E 为原点， EB 所在直线为 x 轴， EC 所在直线为 y 轴，平行于 AH 的直线
为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ，
M
且 CE, AH 平面 AEC ，所以 BE 平面 AEC ． 因为 AE 平面 AEC ，所以 BE AE ． 因为点 M ， N 分别为边 AE ， AB 的中点，
NE
D
H
所以 NM / /BE .
B
C
理科数学试题 A 第 5 页 共 15 页
所以 NM AE ． 所以 DMN 为所求二面角的平面角.
3
6
6
所以 A = 时， b 2a 2 7 sin A+ 取得最大值 2 7 ．
2
所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．
18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均
每月进行训练的天数不少于 20 天”记为事件为 A ，
则 P A 25 1 ．
理科数学试题 A 第 2 页 共 15 页
现从这 12 人中抽取 3 个，则“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的数量Y 服从超
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试(一)理科数学试卷及答案
2020届广东省广州市普通高中高三综合测试（一）理科数学试卷★祝考试顺利★本试卷共6页,23题,满分150分,考试时间120分钟注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用2B铅笔在答题卡的相应位置涂上考生号,并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置,2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置；如需改动,先划掉原来答案,然后再写新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择題：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的.1.设集合,,则（）A. B. C. D.2.若复数满足,则A. B. C. D.3.若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是A. B. C. D.4.已知,,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设函数,若对于任意的都有成立,则的最小值为A. B. C. D.6.已知直三棱柱的体积为,若分别在上,且,则四棱锥的体积是A. B. C. D.7.为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾。
某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组,其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学,有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学。
现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派1人的概率为A. B. C. D.8.已知直线与轴的交点为抛物线的焦点,直线与抛物线交于两点,则中点到抛物线准线的距离为A.8B.6C.5D.49.等差数列的前项和为,已知,,若,则的最小值为A.8B.9C.10D.1110.已知点是曲线上的点,曲线在点处的切线与平行,则A. B. C.或 D.或。
广州市2020届高中毕业班高考理科数学第一次模拟考试试题(含答案)
2 3
A
4
sin
A
5sin A 3 cos A
2 7 sin A+ （其中 tan 3 ， 0 ）．
5
2
因为 0 A 2 ， 0 ，所以 0 A 5 ．
3
6
6
所以 A = 时， b 2a 2 7 sin A+ 取得最大值 2 7 ．
2
所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．
n
项和为
Sn
，已知
a1
1 3
，
a2
a5
4
，若
Sn
4an
8
n N*
，
则 n 的最小值为
A． 8
B． 9
C．10
D．11
10．已知点 P x0, y0 是曲线 C ： y x3 x2 1上的点，曲线 C 在点 P 处的切线方程与直线
y 8x 11 平行，则
A． x0 2
B．x0
4 3
C．x0
A． 4042
B． 4041
C． 4040
D． 4039
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等
边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个 几何体的体积为 ，表面积为 ．
14．在
ax
1 x
x2 1 5 的展开式中， x3 的系数是15 ，则实数 a
组至少选派1人的概率为
A． 5 14
B． 9 14
C． 3 7
D． 4 7
8．已知直线 l ： y x 2 与 x 轴的交点为抛物线 C ： y2 2 px 的焦点，直线 l 与抛物线 C 交
2020届广州市普通高中毕业班高三理科数学综合测试(一)含答案
理由．
理科数学试题 A 第 5 页 共 6 页
21．（12 分）
已知函数
f
x
x
4 ex3
x2
6x
，
g
x
a
1 3
x
1
ln
x
．
（1）求函数 f x 在 0, 上的单调区间；
（2）用 max m, n 表示 m ， n 中的最大值， f x 为 f x 的导数．设函数
的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每月进行训练的天数 x
人数
x5
15
5 x 20
60
x 20
25
（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松运动训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松运动训练的人中随机抽取
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 3 t,
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
y
1
2t
（
t
为参数），曲线
C2
的参
数方程为
x
3 cos
,
y
3 tan
(
为参数，且
2
,
2
)．
（1）求曲线 C1 和 C2 的普通方程；
（2）若 A ， B 分别为曲线 C1 ， C2 上的动点，求 AB 的最小值．
2 3
A
4
sin
A
5sin A 3 cos A
(含解析)广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数) (2)
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈，则（ ）A ．M N M =IB ．M N N =IC ．M N M =UD ．R M N =U1．答案：A解析：{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ⊂≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ，M N M ∴=I ．2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）A ．±B ．-C ．-D ．±2．答案：D解析：223320,2,(z z z z +=∴=-===±．3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(0,)+∞ D ．(,)-∞+∞3．答案：D解析：圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径2r =，直线10kx y -+=过定点(0,1)P ，因为CP r =<，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞．4．已知:12p x +>，:23q x <<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．答案：B解析：由12x +>，得12x +<-或12x +>，解得3x <-或1x >， 因为{|23}{|3x x x x ⊂≠<<<-或1}x >，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．设函数1()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π5．答案：C解析：由题可知1x 是函数()f x 的最小值点，2x 是函数()f x 的最大值点．所以12x x -的最小值为函数()f x 半个周期，14,22T T ππ==．6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若,P Q 分别在11,AA CC 上，且1111,33AP AA CQ CC ==，则四棱锥B APQC -的体积为（ ） A ．16V B ．29VC ．13VD ．79V6．答案：B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h，则24V a h =，所以2112332189B APQC V ah a a h V -⎛⎫=⨯⨯== ⎪⎝⎭． ABCC 1B 1A 1P Q7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．514B ．914C ．37D ．477．答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有510252C =种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法，则所求概率为10832527=． 8．已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．48．答案：A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ，所以4p =，将2y x =-代入28y x =，得21240x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则1212x x +=，12062x x x +==， 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=． 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1251,43a a a =+=，若48()N n n S a n *+∈≥，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119．答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则251225543a a a d d +=+=+=，解得23d =． 所以112(1)21(1)333n n n a a n d --=+-=+=，21()123n n n a a S n +==，由48n n S a +≥，化简得：28200n n --≥，(2)(10)0n n +-≥，10n ≥，即n 的最小值为10．10．已知点00(,)P x y 是曲线32:1C y x x =-+上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行，则（ ） A ．02x = B ．043x =-C ．02x =或043x =- D ．02x =-或043x =10．答案：B解析：令2328y x x '=-=，得23280x x --=，(34)(2)0x x +-=，解得43x =-或2x =， 当2x =时，5y =，此时(2,5)M 在直线811y x =-上，故舍去，所以43x =-． 11．已知O 为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为（A ．54B 11．答案：C解析：延长2F A 交1PF 于点PA 是12F PF ∠的平分线且可得2PB PF =，且AB 所以OA 是12F BF △所以(11122OA BF PF ==又由122b F F OA =-，可得22b c a =-，所以22(22)b c a =-，2222448c a c a ac ∴-=+-，所以223850c ac a -+=，23850e e -+=，(35)(1)0e e --=，53e =． 12．已知函数221,0()1,0x x x f x x x x ⎧--+<⎪=⎨-+⎪⎩≥，若()()sin(2020)1F x f x x π=--在区间[1,1]-上有m 个零点123,,,,m x x x x L ，则123()()()()m f x f x f x f x ++++=L （ ） A ．4042B ．4041C ．4040D ．403912．答案：B解析：()1f x x x x =-+，所以()()sin(2020)1sin(2020)F x f x x x x x x ππ=--=--为奇函数，所以10mii x==∑，显然(1)(0)(1)0F F F -===，当01x ≤≤时，由2()sin(2020)0F x x x x π=--=，得2sin(2020)x x x π-=，在同一坐标系中作出2(01)y x x x =-<≤和sin(2020)(01)y x x π=<≤的图象，sin(2020)y x π=的最小正周期11010T =， 在每个区间112100910100,,,,,10101010101010101010⎛⎤⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦L L 内各有2个零点， 所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()F x 在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()F x 在[1,0)-内也有2020个零点，又(0)0F =，所以4041m =，所以40411231()()()()(1)4041m i f x f x f x f x x x x =++++=-+=∑L ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．13．答案：3，3π（第1个空2分，第二个空3分）解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r =，高h =2l =，体积2133V r h π==，表面积23S r rl πππ=+=． 14．在251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是15，则实数a = ． 14．答案：5 解析：25252511(1)(1)(1)ax x ax x x x x⎛⎫+-=⋅-+⋅- ⎪⎝⎭， 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=，含4x 的项为322345()(1)10C x x -=-，所以251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是51015a -=，解得5a =． 15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的值为．15．答案：10-解析：不妨取121(1,0),,22e e ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u r u u r，设122a e e =+=ur u u r r，1222,22k b e ke ⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭r u r u u r ，则34cos ,2k ka b a b a b++⋅===-⋅r rr r r r ，两边平方，并整理得2219100k k +-=， (10)(21)0k k +-=，解得10k =-或12k =，又因为5402k +<，所以10k =-． 16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1cos sin ()22n n a a n n n n ππ*++=-∈N ，且20191009m S +=-，10a m >，则119a m+的最小值为 ． 16．答案：16 解析：当2n =时，得23231,22a a a a +=-∴+=-；当4n =时，得45451,44a aa a +=+=， 23452a a a a ∴+++=，同理可得67891011121320142015201720192a a a a a a a a a a a a +++=+++==+++=L ， 又20182019201820191,20182018a a a a +=-∴+=-，所以201912345678920182019()()()S a a a a a a a a a a a =+++++++++++L11504220181010a a =+⨯-=-，由20191009m S +=-，得11a m +=，所以1111191919()101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．已知c =sin sin sin sin ab Ca Ab Bc C=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 17．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得222abca b c=+-因为c =222ab a b c =+-【或223ab a b =+-】．由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==【或2231cos 22a b C ab +-==】，因为0C <<π，所以3C π=．（2）由已知与（1）知c =3C π=．由正弦定理2sin sin sin sin 3a b c A B C ====， 得2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭．所以222sin 4sin 5sin )3b a A A A A A ϕπ⎛⎫+=-+==+⎪⎝⎭，（其中tan 5ϕ=，02ϕπ<<）．因为203A π<<，06ϕπ<<，所以506A ϕπ<+<． 所以2A ϕπ+=时，2)b a A ϕ+=+取得最大值．所以2b a +的最大值为． 18．（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参（1）以这训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A ，则251()1004P A ==． 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为ξ，则144B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，．所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为()222431272C 44128P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个．现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y 服从超几何分布，Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则0339312C C 21(0)C 55P Y ===，1239312C C 27(1)C 55P Y ===， 2139312C C 27(2)C 220P Y ===，3039312C C 1(3)C 220P Y ===． 所以Y 的分布列如下：所以()0123=22555522022400E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边ABC △中，,D E 分别为边,AC AB 的中点．将AED △沿DE 折起，使得AB AD ⊥，AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A BCDE -，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AE D --的余弦值．E CHBDA图1图219．（1）证明1：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥．在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD = 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以13DH BD ==． 因为AB AD ⊥，所以ABD △为直角三角形．因为1AD =，BD =cos AD ADB BD ∠==． 在ADH △中，由余弦定理得222122cos 1213333AH AD DH AD DH ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=，所以3AH =．在ADH △中，因为22221133AH DH AD +=+==，所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥． 因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ． 证明2：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD = 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以13DH BD ==． 在Rt BAD △中，BD =1AD =， 在BAD △和AHD △中，因为DB DADA DH==BDA ADH ∠=∠，所以BAD AHD △∽△． 所以90AHD BAD ∠=∠=︒．所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥．因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解法1：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(1,0,0),0,33B C A ⎛ ⎝⎭，11,(1,0,0),22EA EB ED BC ⎛⎛====- ⎝⎭⎝u u u r u u ur u u u r u u u r 设平面ABE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则11100m EA y z m EB x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u r u u u r u r u u u r ，取(0,1)m =-u r ．设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z =r，则2222033102n EA y z n ED x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r，取1)n =-r ．所以cos ,m n m n m n ⋅===⋅u r ru r r u r r ． 由图可知，二面角B AE D --的平面角是钝角，故二面角B AE D --的余弦值为3-解法2：在四棱锥A BCDE -中，分别取AE ，AB 的中点M ，N ，连接DM ，MN ，ND ． 因为ADE △为等边三角形，所以DM AE ⊥， 因为BE EC ⊥，BE AH ⊥，CE AH H =I ， 且,CE AH ⊂平面AEC ，所以BE ⊥平面AEC ． 因为AE ⊂平面AEC ，所以BE AE ⊥． 因为点M ，N 分别为边AE ，AB 的中点， 所以//NM BE ．所以NM AE ⊥． 所以DMN ∠为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE 中，因为1AD =，所以DM =在ABE △中，1122MN EB ==． 在Rt ABD △中，1AD =，BD =所以AB =所以DN ===． 在DMN △中，由余弦定理得22212cos 3DMN ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠==-．所以二面角B AE D --的余弦值为- 20．（本小题满分12分）已知M e过点A，且与22:(16N x y +=e 内切，设M e 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（1）解：设M e 的半径为R ，因为M e过点A ，且与N e 相切，所以4R MAMN R ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即4MN MA +=．因为4NA <，所以点M 的轨迹是以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>， 则24a =，且c =所以2a =，1b =．所以曲线C 的方程为2214x y +=． （2）解法1：依题意，直线,BP BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则直线BP的方程为(2)y k x =-．由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，解之得12x =，2228214k x k -=+．因此点P 的坐标为222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为直线BQ 的斜率为12k -，所以可得点Q 的坐标为222222,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．当2k ≠±时，直线l 的斜率为23=2(12)PQ kk k -． 所以直线l 的方程为222232(12)22211k k k y x k k k -⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭， 整理得2232(1)221k y x kk k -=--．即232(12)23k k y x ⎛--⎫= ⎪⎝⎭． 此时直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．当2k =±时，直线l 的方程为23x =，显然过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：1x x =．设点11(,)P x y ，则点11(,)Q x y -，依题意12x ≠，因为211121*********BP BQy y y k k x x x x -⋅=⨯=-=----+，所以22111442x x y -+=． 因为221114x y +=，且12x ≠，解得123x =． 此时直线l 的方程为23x =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=．需要满足222(8)16(41)(1)0km k m ∆=-+->，即2241m k <+．设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则有122841kmx x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+． 因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以22121224()()41m k y y kx m kx m k -=++=+．因为12121212121222()42BP BQ y y y y k k x x x x x x =⨯==----++，所以()121212242x x x x y y -++=-． 即2222224(1)162(4)4414141m km m k k k k --++=-+++，即223840m km k ++=．所以23m k =-或2m k =-．当23m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．当2m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为(2)y k x =-，恒过定点(2,0)，不合题意． 显然直线23x =也过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()(4)6,()1ln 3x f x x ex x g x a x x -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，()f x '为()f x 的导函数．设函数()max{(),()}h x f x g x '=，若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：11111ln 3()12313N n n n n n n*+++++>∈++-L ． 21．（1）解：因为32()(4)e6x f x x x x -=-+-，所以33()(3)e 26(3)(e 2)x x f x x x x --'=-+-=-+．当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）解：由（1）可知，当[3,)x ∈+∞时，()0f x '≥． 所以要使()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，只需()0g x ≥在区间(0,3)上恒成立即可．因为1()01ln 03g x a x x ⎛⎫⇔--- ⎪⎝⎭≥≥． 以下给出四种求解思路：思路1：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间()0,3上恒成立，转化为1ln 13x a x ++≥在区间()0,3上恒成立． 令1ln 1()3x m x x +=+，则2ln ()xm x x'=-．因为当(0,1)x ∈时，()0m x '>，当(1,3)x ∈时，()0m x '<． 所以()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．所以4()(1)3m x m =≤．所以43a ≥．所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 思路2：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11(31)3()(03)33a x g x a x x x--⎛⎫'=--=<< ⎪⎝⎭．①若13a ≤，则()0g x '<在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ②若1233a <≤，则()0g x '≤在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ③若23a >，则当3031x a <<-时，()0g x '<，当3331x a <<-时，()0g x '>． 所以函数()g x 在30,31a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在3,331a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调递增．所以33()ln 3131g x g a a ⎛⎫=-⎪--⎝⎭≥，由3ln 031a --≥，解得43a ≥．此时实数a 满足43a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路3：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭．因为1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，则1(1)103g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≥，即43a ≥． 因为11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭在(0,3)上单调递增，因为1103g a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，【或0x →时，()g x '→-∞】2(3)03g a '=->． 所以存在0(0,3)x ∈，使得0011()03g x a x ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭． 当0(0,)x x ∈时，0()0g x '<，当0(,3)x x ∈时，0()0g x '>． 所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,3)x 上单调递增． 所以00011()()1ln ln 33g x g x a x x a ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．要使1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，只要1ln 03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路4：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立，转化为11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立． 令()1ln s x x =+，则1()0s x x'=>，(0,3)x ∈． 所以()s x 在(0,3)上单调递增．而13y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是经过原点的直线，设过原点的直线与()1ln s x x =+相切于点00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，因为0001()y y x x x -=-过原点，所以01y =． 因为001ln y x =+，所以01x =．即切点为(1,1)．所以经过原点且与()1ln s x x =+相切的直线方程为y x =．所以满足11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的条件是113a -≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （3）证明1：由（2）可知，当43a =时，有ln 1x x -≤．即ln(1)x x +≤． 则111ln 1ln n n n n +⎛⎫>+= ⎪⎝⎭， 同理12ln 11n n n +>++，13ln 22n n n +>++，…，131ln33n n n +>． 所以11111311ln ln 3ln 312313n n n n n n n n +⎛⎫+++++>=+> ⎪++-⎝⎭L ． 所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ． 证明2：要证11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ，即证1111112313e3n n n n n+++++++->L ，即证1111112313e eeee3n n n n n++-⋅⋅⋅⋅⋅>L ．先证明e 1(0)xx x >+>，事实上，设()=e 1x p x x --，则()=e 1x p x '-，当0x >时，()=e 10xp x '->，所以()p x 在(0,)+∞上单调递增． 所以()(0)0p x p >=，所以e 1(0)xx x >+>． 所以11111123131111e eeee1+1+1+1+1313nn n n nn n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅>⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L123313131313n n n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯=>+-L ． 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L ． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数且3,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． （1）求曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点，求AB 的最小值．22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为312x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t ，得250x y --=．所以曲线1C 的方程为250x y --=．因为曲线2C的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），则由cos x θ=，得cos x θ=，代入y θ=得sin y x θ=， 消去参数θ，得223x y -=．因为,22θπ3π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0x <．所以曲线2C 的方程为223(0)x y x -=<．（2）因为点A ，B 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设直线20x y b -+=与曲线2C 相切，由22203x y b x y -+=⎧⎨-=⎩，消去y 得223430x bx b +++=． 所以22(4)43(3)0b b ∆=-⨯⨯+=，解得3b =±． 因为0x <，所以3b =． 因为直线250x y --=与230x y -+=间的距离为：5d ==．所以AB．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈． （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）若不等式()114f x x <-对任意34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围． 23．（1）解：因为1a =，所以()321f x x x =-+-． 当1x ≤时，由()743f x x =-<，解得1x >，此时x ∈∅．当12x <<时，()523f x x =-<，解得1x >，此时12x <<．当2x ≥时，()473f x x =-<，解得52x <，此时522x <≤． 综上可知，512x <<．所以不等式的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭． （2）解法1：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以55x x a x -<-<-【或22()(5)x a x -<-】． 所以255x a -<<． 因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，max (25)8x -=-．所以实数a 的取值范围为(8,5)-．解法2：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以||5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 分别作出函数5y x =-与函数y x a =-的图像，如图所示，要使5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，则当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数5y x =-的图像在函数y x a =-的图像的上方． 所以当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，需要满足5a x x -<-且5x a x -<-．因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()max 258x -=-．所以实数a 的取值范围为()8,5-．。
2020年广州市高中毕业班综合测试数学(理科)试题及参考答案
图17432109878由全国各地一线教师精心编制《 高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。
全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！广州市高中毕业班综合测试数学（理科）试题及参考答案本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=L ()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为A ．M N IB ．()U M N I ðC ．()U M N I ðD ．()()U UM N I 痧2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是22222222侧视图正视图222222A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞- 6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. C. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R ); 其中, 具有性质P 的映射的序号为A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .图3O ADECB11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 . 12. 已知幂函数()223(mm f x x m --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++L C k n n ++L C (n n n =C 01n -+C 11n -++L C 11k n --++L C 11)n n --12n n -=⋅，由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++L C 2k n n ++L C nn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为 切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ， 则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.图4OF ED C B A 图5FE PODB A17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，AC EF O =I ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5 的五棱锥P ABFED -，且10PB =. （1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,21n n a a S +==+，n ∈N *. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线20+=x y 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)-，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ，0BQ BP ⋅=u u u r u u u r，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅ 14. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭15. 3说明: 第14题答案可以是2,2,4k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. …………………………6分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCAACBB（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12322222=⨯+⨯ …………………………11分 264+=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分 解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为：…………………………11分X 0 1 2 3 P 47 27 435 135G H F EPODBA∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥.∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =I ，∴EF ⊥平面POA . …………………………3分 ∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =I ，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==. ……5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =I ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ，∴⊥BH AP .∵=I HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA 中，2230=+=AP AO PO ，在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分 ∴=PO PAHG HA. ∴32330530⋅⨯===PO HA HG PA . …………………………12分z yxH F EPODBA在Rt △BHG 中，230tan 3305∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 解法2：设AO BD H =I ，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==.………………………5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =I ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,33,0-A ，()2,3,0-B ，()0,0,3P ，()0,3,0-H .…………8分∴()0,33,3=u u u r AP ，()2,23,0=u u u rAB .设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n u u u r AP ，⊥n u u u r AB ，得 3330,2230.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y z x y ……9分令1=y ，得3=-z ，3=-x .∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3,1,3--. …………………………10分由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-u u u rBH ， ……………………11分设二面角--B AP O 的平面角为θ，则cos θ=cos ,u u u u r n BH ⋅=u u u u ru u u u r n BH n BH233913132==⨯.………………………12分∴2130sin 1cos 13θθ=-=，sin 30tan cos 3θθθ==.………………………13分∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） （1）解：∵111,21n n a a S +==+，∴21121213a S a =+=+=. …………………………1分（2）解法1：由121n n a S +=+，得121n n n S S S +-=+， …………………………2分故()211n n S S +=+. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >. ∴11n n S S +=+. …………………………4分∴数列{}nS 是首项为11S =，公差为1的等差数列.∴()11n S n n =+-=. …………………………5分∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由121n n a S +=+，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分 由已知121k k a S +=+，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分 （3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得2664431384k ±+⨯±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , …………1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分 ∴ ()22222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……………………1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-，∴(2,1)AQ x y =+-u u u r ，11(2,1)AP x y =+-u u u r， (2,1)BQ x y =-+u u u r ，11(2,1)BP x y =-+u u u r.由 0AQ AP ⋅=u u u r u u u r, 得 11(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=， ……………………5分即 11(2)(2)(1)(1)x x y y ++=---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=u u u r u u u r, 得 11(2)(2)(1)(1)x x y y --=-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(2,1)P --或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-，∵0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ，0BQ BP ⋅=u u u r u u u r， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.∴1111122y y x x --⨯=-++()12x ≠-，① ……………………5分1111122y y x x ++⨯=---()12x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=. 若点(2,1)P --或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 20x y +=的距离为23x y+.△ABQ 的面积为2221(22)(11)23x y S +=++--⋅………………………10分 2x y =+22222x y xy =++. ………………………11分而22222(2)()422y y xy x x =⨯⨯≤+（当且仅当22y x =时等号成立）∴22222222522224522y S x y xy x y x x y =++≤+++=+522=. ……12分 当且仅当22yx =时, 等号成立. 由222,225,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于()()22221123AB =++--=，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………1０分 设与直线AB 平行的直线为20x y m ++=，由2220,25,x y m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22542250y my c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得522m =±． ………………………1１分若522m =，则2y =-，22x =-；若522m =-，则2y =，22x =．…1２分 故当点Q 的坐标为2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为()2222221522212S AB +⨯=⨯=+． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n n n n n n nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L . …………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦L . 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L. …………………………14分 ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L e <.。