解三角形试题中的向量法Word版含解析

例题、已知∆ABC 的面积为3√3，且内角A 、B 、C 依次成等差数列 设D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值 解析：
解法一 内角A 、B 、C 依次成等差数列，则∠B =π
3
∆ABC 的面积为3√3，S =1
2
acsinB =3√3,ac =12
D 为边AC 的中点，所以BD
→ =1
2(BA
→ +BC
→ )
BD
→ 2=
14(BA → 2+BC
→ 2+2BA → ∙BC → )
|BD
|2
=14(c 2+a 2+2accosB )=14(c 2+a 2
+ac )≥14
(2ac +ac )=9 解得|BD |≥3,当且仅当a =c 时等号成立 所以BD 长的最小值为3 解法二 利用互补角解三角形
内角A 、B 、C 依次成等差数列，则∠B =π
3
∆ABC 的面积为3√3，S =1
2
acsinB =3√3,ac =12
D 为边AC 的中点， 在∆ABD 中，cos∠ADB =BD 2+AD 2−AB 2
2BD∙AD =BD 2+
b 2
4
−c 22∙b
2
∙BD
在∆CBD 中，cos∠CDB =
BD 2+CD 2−CB 2
2BD∙CD
=
BD 2+b 24−a 22∙b
2
∙BD
cos∠ADB =−cos∠CDB
BD 2+b 24−c 2=−(BD 2+b
24
−a 2)
2BD 2=a 2+c 2−b
2
2
b 2=a 2+
c 2−2accosB =a 2+c 2−12
2BD 2=6+a 2+c
22
≥6+ac =18
|BD |≥3,当且仅当a =c 时等号成立 所以BD 长的最小值为3
变式：在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c ，bsinC +asinA =bsinB +csinC ,c +2b =4,点D 在线段BD 上，且BD =2DC ，求AD 的最小值 解析：
解法一 bsinC +asinA =bsinB +csinC ，则bc +a 2=b 2+c 2 cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
=
bc 2bc
=12
，则∠A =π
3
点D 在线段BD 上，且BD =2DC ，
所以AD
→ =BD
→ +AB
→ =2
3BC
→ +AB
→ =2
3(AC
→ −AB
→ )+AB
→ =1
3AB
→ +2
3AC
→
AD → 2
=19AB → 2+49AC → 2+4
9AB → ∙AC
→ |AD |2
=19c 2+49b 2+49bccosA =19
(c 2
+4b 2+2bc )=1
9
(((2b +c )2−2bc) 因为c +2b =4,2bc ≤(
c+2b 2
)2
=4 |AD
|2≥43
解得|AD |≥
2√3
3
,当且仅当2b =c 时等号成立
所以AD 的最小值为2√3
3。

或者：
|AD |2=19c 2+49b 2+49bccosA =1
9
(c 2+4b 2+2bc )
=19((4−2b )2+4b 2
+2b (4−2b ))=19
(4b 2−8b +16) =4
9
[(b −1)2+3] 当b =1时，AD 的最小值为
2√3
3。

解法二 利用互补角解三角形
bsinC +asinA =bsinB +csinC ，则bc +a 2=b 2+c 2 cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
=
bc 2bc
=12
，则∠A =π
3
点D 在线段BD 上，且BD =2DC ， 在∆ABD 中，cos∠ADB =AD 2+BD 2−AB 2
2BD∙AD =AD 2+
4a 2
9−c 22∙2a
3
∙AD
在∆CBD 中，cos∠CDA =
AD 2+CD 2−CA 2
2AD∙CD
=
AD 2+a 29−b 22∙a
3
∙AD
cos∠ADB =−cos∠CDA
AD 2+4a 29−c 2=−(2AD 2+2a 29
−2b 2)
3AD 2
=−23
a 2
+c 2+2b 2
a 2=
b 2+
c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc AD 2
=19(c 2+4b 2
+2bc )=19
(((2b +c )2−2bc)
因为c +2b =4,2bc ≤(
c+2b 2
)2
=4 |AD
|2≥43
解得|AD |≥
2√3
3
,当且仅当2b =c 时等号成立
所以AD 的最小值为
2√3
3。

拓展：（2018江苏高考）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD =1，则4a +c 的最小值为
解析：BD 是∠ABC 的平分线，所以AD CD
=
AB BC
=c
a
所以BD
→ =
a a+c BA
→ +
c
a+c BC
→
BD → 2
=(a a +c BA → )2+(c a +c BC → )2+2a a +c ×c a +c ∙BC
→ 1=(ac)2(a +c)2,得ac =a +c ，1a +1
c =1
4a +c =(4a +c )×(1a +1c )=5+c a +4a c
≥9
当且仅当c
a =
4a c
，a =3
2
,c =3时取得最小值9.。