2017_2018学年高中数学评估验收卷二检测含解析新人教A版选修4_42017091352

评估验收卷(二)
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
2 x
＝－1－t，
2
1．下列点不在直线{t
)(t为参数)上的是()
2
y＝2＋
2
A．(－1，2)B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3，2)
解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案：D
x cos θ＝a，
2．方程{y＝b cos θ)(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．双曲线的一部分
a
解析：由x cos θ＝a，所以cos θ＝，
x
代入y＝b cos θ，得xy＝ab，
又由y＝b cos θ，知y∈[－|b|，|b|]，
所以曲线应为双曲线的一部分．
答案：D
x＝4cos θ，
3．圆的参数方程为{y＝4sin θ)(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2 3)是圆上一点，
则对应的参数θ的值是()
π 2
A. B. π
3 3
4 5
C. π
D. π
3 3
解析：因为点Q(－2，2 3)在圆上，
－2＝4cos θ，2
所以{2 3＝4sin θ
)且0≤θ<2π，所以θ＝π.
3
答案：B
x＝r cos φ，
4．设r>0，那么直线x cosθ＋y sinθ＝r与圆
{y＝r sin φ)(φ是参数)的位置关系是
()
1
A．相交B．相切
C．相离D．视r的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝
|0＋0－r| cos2θ＋sin2θ
＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
x＝a＋t，
5．直线l的参数方程为
{y＝b＋t)(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与
点P(a，b)之间的距离是()
A．|t1| B．2|t1|
2
C. 2|t1|
D. |t1|
2
解析：点P1与点P之间的距离为
（a＋t1－a）2＋（b＋t1－b）2 t＋t2
＝＝|t1|.
答案：C
x＝r（cos φ＋φsin φ），
6．已知圆的渐开线{y＝r（sin φ－φcos φ）)(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，
则渐开线对应的基圆的面积为()
A．πB．3π
C．4πD．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
3＝r（cos φ＋φsin φ），①
{0＝r（sin φ－φcos φ），②)
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
x＝－1＋cos α，
7．已知圆C的参数方程为
{y＝1＋sin α)(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝
0的距离最大时，k的值为()
1 1 1 1
A. B. C．－D．－
3 5 3 5
解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0
1 1
垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为k CA＝－5，所以－k＝，所以k＝－.
5 5
答案：D
x＝3cos θ，
8．椭圆{y＝4sin θ)(θ为参数)的离心率是()
2
7
A.
B.
4 7 3
7 C. D.
2
7 5
x 2 y 2
x ＝3cos θ，
解析：椭圆
{y ＝4sin θ )的标准方程为 ＋
＝1，
9 16
7
所以 e ＝ .
4 答案：A
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系
x ＝t ＋1，
中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程是
{y ＝t －3 )(t
为参数)，圆 C 的极坐标方程是
ρ＝4cos θ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( )
A. 14 B ．2 14 C. 2 D ．2 2
解析：由题意得，直线 l 的普通方程为 y ＝x －4， 圆 C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， |2－0－4|
圆心到直线 l 的距离 d ＝ ＝ 2，
2 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 22－（ 2）2＝2 2. 答案：D
x ＝4t 2，
10．若点 P (3，m )在以点 F
为焦点的抛物线
{y ＝4t )(t
为参数)上，则|PF |等于(
)
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：消参得抛物线的普通方程为 y 2＝4x ，所以其焦点 F (1，0)，准线方程为 x ＝－1， 由抛物线的定义，得|PF |＝3－(－1)＝4. 答案：C
x 2 y 2
11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 P (x ，y )是椭圆 ＋ ＝1上的一个动点，则 S ＝x ＋
2 3
y 的取值范围为( )
A ．[ 5，5]
B ．[－ 5，5]
C ．[－5，－ 5]
D ．[－ 5， 5]
x 2 y 2
x ＝ 2cos φ，
解 析：因椭圆 ＋ ＝1的参数方程为
(φ 为参数)，故可设动点 P 的坐标
3
{y ＝ 3sin φ ) 2
2 3 为( 2cos φ， 3sin φ)，因此 S ＝x ＋y ＝ 2cos φ＋ 3sin φ＝ 5( cos φ＋ sin φ)＝ 5 5 6
5sin(φ＋γ)，其中 tan γ＝ ，所以 S 的取值范围是[－ 5， 5 ]，故选 D.
3 答案：D
3
x＝3t，
12．已知直线l：
{y＝2－t)(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2两
点，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是()
A．4＋3 B．2(2＋3)
C．4(2＋3) D．8＋3
3 x＝
－t′，
2
解析：将直线l参数方程化为{t′
)(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋
1
y＝2＋
2
3)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋3)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，
则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋3)．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
x＝2cos θ，
13．曲线C：
{y＝3sin θ)(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．
x2 y2
解析：曲线C的普通方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，c＝a2－b2＝5，所以椭圆C
4 9
上的点到焦点的距离的最小值为3－ 5.
答案：3－5
x＝t，14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为{y＝t)(t为参数)和
x＝2cos θ，
{y＝2sin θ)
(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
x＝t，
解析：由{y＝t，
)得y＝x，
x＝2cos θ，
又由{y＝2sin θ，
)得x2＋y2＝2.
y＝x，x＝1，
由{x2＋y2＝2，
)得{y＝1，)
即曲线C1与C2的交点坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射π
x＝t＋1，
线θ＝4与曲线
{y＝（t－1）2)(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为
________．
x ＝t ＋1，
解析：曲线
{y ＝（t －1）2
)可化为 y ＝(x －2)2
，
4
π
射线 θ＝ 可化为 y ＝x (x ≥0)，
4
联立这两个方程得 x 2－5x ＋4＝0，点 A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段 AB 的中点的直
5 5
角坐标为
(
.
，2
)
2
5 5
答案：
(，
2
)
2 16．在直角坐标系 Oxy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A ，B x ＝3＋cos θ，
分别在曲线C 1：{
y ＝4＋sin θ )
(θ
为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．
解析：因为 C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1， 所以两圆圆心之间的距离为 d ＝ 32＋42＝5. 因为 A 在曲线 C 1上，B 在曲线 C 2上， 所以|AB |min ＝5－2＝3. 答案：3
三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) x ＝2cos θ，
17．(本小题满分 10分)已知圆 O 的参数方程为{
y ＝2sin θ )
(θ 为参数，0≤θ≤2π)． (1)求圆心和半径；
5π
(2)若圆 O 上点 M 对应的参数 θ＝ ，求点 M 的坐标．
3
x ＝2cos θ，
解：(1)由
{y ＝2sin θ )(0≤θ<2π)，
平方得 x 2＋y 2＝4，
所以圆心 O 为(0，0)，半径 r ＝2.
5π
(2)当 θ＝ 时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－ 3，
3 所以点 M 的坐标为(1，－ 3)．
1 x ＝ 3＋ t ， 2
18．(本小题满分 12分)已知直线 l 的参数方程为{t )
(t 为参数)，曲线 C 的参
3
y ＝2＋
2
x ＝4cos θ，
数方程为{
y ＝4sin θ
)(θ 为参数)．
(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
x＝4cos θ，
{y＝4sin θ)得x2＋y2＝16，
解：(1)由曲线C：
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
5
1 x ＝ 3＋ t ， 2
(2)将{t )
代入 x 2＋y 2＝16，
3
y ＝2＋
2 整理，得 t 2＋
3 3t －9＝0. 设 A ，B 对应的参数为 t 1，t 2，则
t 1＋t 2＝－3 3，t 1t 2＝－9.
|AB |＝|t 1－t 2|＝ （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝3 7.
x 2 y 2
x ＝2＋t ，
19．(本小题满分 12分)已知曲线 C ： ＋ ＝1，直线 l ：
(t 为参数)．
9
{y ＝2－2t )
4
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求|PA |的最大值与最 小值．
x ＝2cos θ，
解：(1)曲线 C 的参数方程为
{y ＝3sin θ )(θ 为参数)．
直线 l 的普通方程为 2x ＋y －6＝0.
(2)曲线 C 上任意一点 P (2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 5
d ＝ |4cos θ＋3sin θ－6|，
5
d
2 5
则|PA |＝ ＝ |5sin(θ＋α)－6|，
sin 30° 5 4 其中 α 为锐角，且 tan α＝ .
3
22 5
当 sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为 .
5 2 5
当 sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为 .
5
20． (本 小 题 满 分 12分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 1的 参 数 方 程 为
x ＝sin α＋cos α，
{y ＝1＋sin 2α
)
(α 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
π
3π 直
线 l 的极坐标方程为 ρsin
(θ＋ 4)＝ 2，曲线 C 2的极坐标方程为 ρ＝2 2a ·cos
(θ＋ 4 )
(a >0)．
(1)求直线 l 与曲线 C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线 l 与 C 2相切，求 a 的值．
解：(1)曲线 C 1的普通方程为 y ＝x 2，x ∈[－ 2， 2]，
直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
y＝x2，x＝1 x＝－2，
)解得{y＝1 )或{y＝4 )(舍去)．
联立{x＋y＝2，
6
π
故直线 l 与曲线 C 1
的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为
( 2， 4).
(2)曲线 C 2的直角坐标方程为 x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0， 即 (x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．
|－a ＋a －2|
由直线 l 与 C 2相切，得 ＝ a ，故 a ＝1.
2 2 x ＝m ＋t cos α，
21． (本 小 题 满 分 12分 )已 知 直 线 l ： {
y ＝t sin α
) (t 为 参 数 )经 过 椭 圆 C ：
x ＝2cos φ，
{y ＝ 3sin φ )
(φ 为参数)的左焦点 F .
(1)求 m 的值；
(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，求|FA |·|FB |的最大值，最小值． x 2 y 2
解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为 ＋ ＝1， 4 3 则 F 的坐标为(－1，0)， 又直线 l 过点(m ，0)，故 m ＝－1.
(2)把 x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α 代入椭圆 C 的普通方程，化简得(3cos 2α＋4sin 2α)t 2 －6t cos α－9＝0，
设点 A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t 1，t 2， 9
9
则|FA |·|FB |＝|t 1·t 2|＝ ＝ ，
3cos 2α＋4sin 2α 3＋sin 2α
9 故当 sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值 3，当 sin α＝1时，|FA |·|FB |取最小值 .
4
x ＝3cos α，
22．(本小题满分 12分)在平面直角坐标系 x Oy 中，曲线 C 的参数方程为{
y ＝sin α )(α
为参数)，在以原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρsin
π
(θ－ 4)
2
＝ .
(1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P (0，2)，l 和 C 交于 A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.
x ＝3cos α，
x 2
解：(1)由
{y ＝sin α )消去参数 α，得 ＋y 2
＝1，
9
x 2
即 C 的普通方程为 ＋y 2＝1.
9
π
由 ρsin
(θ－ 4)＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
x ＝ρcos θ，
将{y＝ρsin θ)代入(*)，化简得y＝x＋2，
π
所以直线l的倾斜角为.
4
7
π x ＝t cos ， 4
(2)由(1)知，点 P (0，2)在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为{4)
(t 为参
π
y ＝2＋t sin
数)，
2 x
＝ t ，
2
即{t )
(t 为参数)，
2
y ＝2＋
2
x 2
代入 ＋y 2＝1并化简，得 5t 2＋18 2t ＋27＝0，
9
Δ＝(18 2)2－4×5×27＝108>0，
设 A ，B 两点对应的参数分别为 t 1，t 2，
18 2 27
则 t 1＋t 2＝－ <0，t 1t 2＝ >0，所以 t 1<0，t 2<0，
5 5 18 2
所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝
. 5
8。