数学新课标高考一轮复习同步训练 第16讲《导数与函数的综合问题》苏教版选修1-1

课时作业(十六) [第16讲 导数与函数的综合问题]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．若函数y ＝－4
3x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．
2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 3．方程2x 3＋7＝6x 2在(0,2)内的实根个数为________．
4．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是________．(填序号) ①ln x >x ；②sin x >x ；③tan x >x ；④e x >x ＋1. 能力提升
5．当x ≠0时，a ＝e x ，b ＝1＋x ，则a ，b 的大小关系是________． 6．方程x 3－6x 2＋9x －4＝0的实根的个数为________．
7．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是________．
8．若函数y ＝e x
＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是________．
9．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 10．[2011·镇江统考] 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．
11．[2011·南通模拟] 已知函数g (x )＝1
sin θ·x
＋ln x 在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈
(0，π)，则θ的值为________．
12．[2011·海安检测] 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)
时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛
⎭
⎫log 319，则
a ，
b ，
c 的大小关系是________．
13．(8分)已知函数f (x )＝14x 4＋x 3－9
2
x 2＋cx 有三个极值点．证明：－27<c <5.
14．(8分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b
x
，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －
3＝0.
(1)求a ，b 的值；
(2)证明：当x >0且x ≠1时，f (x )>ln x
x －1
.
15．(12分)[2012·苏南联考] 已知函数f (x )＝ln x ＋1
x －1
.
(1)求函数的定义域，并证明f (x )＝ln x ＋1
x －1
在定义域上是奇函数；
(2)若x ∈[2,6]，f (x )>ln m
(x －1)(7－x )
恒成立，求实数m 的取值范围．
16．(12分)已知函数f (x )＝x 2
－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有惟一解，试求实数m 的值．
课时作业(十六)
【基础热身】
1．(0，＋∞) [解析] y ′＝－4x 2＋b ，函数有三个单调区间，即y ′值有正、有负，则b >0.
2.⎣⎡⎭
⎫1
3，＋∞ [解析] y ′＝3x 2＋2x ＋m ，因为函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，故Δ＝4－4×3m ≤0，从而m ≥1
3.
3．1 [解析] 设f (x )＝2x 3－6x 2＋7，则f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 因为x ∈(0,2)，所以有f ′(x )<0，所以f (x )在(0,2)内单调递减， 又f (0)＝7>0，f (2)＝－1<0，
所以在(0,2)内存在惟一的x 0，使f (x 0)＝0，
因此，方程2x 3＋7＝6x 2在(0,2)内的实根个数为1.
4．③④ [解析] 当x ＝1时，①，②不成立；对于③，设f (x )＝tan x －x ，则f ′(x )＝
1
cos 2x －1＝1－cos 2x cos 2x ＝sin 2x cos 2x ≥0，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )min >f (0)＝0，符合题意；对于④，令f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x －1，在(0，＋∞)上f (x )是增函数，故f (x )min >f (0)＝0，符合题意．
【能力提升】
5．a >b [解析] 设y ＝e x －1－x ，∴y ′＝e x －1，∴x >0时，函数y ＝e x －1－x 是递增的；x <0时，
函数y ＝e x －1－x 是递减的，∴x ＝0时，y 有最小值0.故x ≠0时，y >0，即a >b . 6．2 [解析] 令f (x )＝x 3－6x 2＋9x －4，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)． 由f ′(x )>0得x >3或x <1；由f ′(x )<0得1<x <3.
∴f (x )的单调增区间为(3，＋∞)，(－∞，1)，单调减区间为(1,3)，∴f (x )在x ＝1处取极大值，在x ＝3处取极小值，
又∵f (1)＝0，f (3)＝－4<0，∴函数f (x )的图象与x 轴有两个交点，即方程x 3－6x 2＋9x －4＝0有两个实根．
7．③④ [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③、④不正确．
8．m <0 [解析] y ′＝e x ＋m ，由条件知e x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－e x <0.
9．－2<a <2 [解析] f ′(x )＝3x 2－3，f (x )极大＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小＝f (1)＝－2＋a ，函数f (x )有3个不同零点，则2＋a >0且－2＋a <0，因此－2<a <2.
10．(1,2) [解析] 由f (x )＝ln x ＋2x ⇒f ′(x )＝1
x
＋2x ln2>0(x ∈(0，＋∞))，所以f (x )在
(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)<f (3x )⇒0<x 2＋2<3x ⇒x ∈(1,2)．
11.π2 [解析] 由题意，g ′(x )＝－1sin θ·x 2＋1
x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即sin θ·x －1sin θ·x 2
≥0.
∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0.故sin θ·x －1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
只需sin θ·1－1≥0，即sin θ≥1，只有sin θ＝1.结合θ∈(0，π)，得θ＝π
2.
12．c >a >b [解析] 令g (x )＝xf (x )，则由于f (x )是R 上的奇函数，所以g (x )为R 上的偶函数，又当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，即g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，故当x ∈(－∞，0)时，g (x )单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增．
又由于2>30.3>1，log π3∈(0,1)，log 31
9＝－2，所以g (－2)＝g (2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b .
13．[解答] 证明：因为函数f (x )＝14x 4＋x 3－9
2x 2＋cx 有三个极值点， 所以f ′(x )＝x 3＋3x 2－9x ＋c ＝0有三个互异的实根． 设g (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋c ，
则g ′(x )＝3x 2＋6x －9＝3(x ＋3)(x －1)，
当x <－3时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，－3)上为增函数； 当－3<x <1时，g ′(x )<0，g (x )在(－3,1)上为减函数； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上为增函数．
所以函数g (x )在x ＝－3时取极大值，在x ＝1时取极小值． 因为g (x )＝0有三个不同实根，所以g (－3)>0且g (1)<0. 即－27＋27＋27＋c >0且1＋3－9＋c <0， 解得c >－27且c <5，故－27<c <5.
14．[解答] (1)∵f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b
x 2，由题意知：⎩
⎪⎨⎪⎧
f (1)＝1，f ′(1)＝－12，
即
⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1，a 2－b ＝－12，
∴a ＝b ＝1.
(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1
x
，
所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2ln x －x 2－1x .
设h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝－(x －1)2
x 2. 当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，
故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.得
1
1－x 2
h (x )>0， 从而，当x >0且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln x
x －1
.
15．[解答] (1)由x ＋1
x －1
>0，解得x <－1或x >1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪
⎫x ＋1x －1－1
＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝ln x ＋1
x －1
在定义域上是奇函数．
(2)由x ∈[2,6]时，f (x )>ln m
(x －1)(7－x )
恒成立，
∴x ＋1x －1>m (x －1)(7－x )
>0，x ∈[2,6]， ∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．
令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－x 2＋6x ＋7，x ∈[2,6]， 令g ′(x )≥0，即－2x ＋6≥0，得x ≤3；
令g ′(x )<0，即－2x ＋6<0，得x >3.
故x ∈[2,3]时函数单调递增，x ∈[3,6]时函数单调递减， x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.
16．[解答] (1)因为f ′(x )＝2x －8
x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6， 又f (1)＝1，故所求切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.
(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)
x
，又x >0，所以
当x >2时，f ′(x )>0； 当0<x <2时，f ′(x )<0.
即f (x )在(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，
又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上递增，在(7，＋∞)上递减，
欲f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧
a ≥2，
a ＋1≤7，
解得2≤a ≤6.
(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝
m .
因为当x >0时原方程有惟一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图象在y 轴右侧有惟一的交点．
又h ′(x )＝4x －8
x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.
即h (x )在(4，＋∞)上递增，在(0,4)上递减． 故h (x )在x ＝4处取得最小值，
从而当x >0时原方程有惟一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。