高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理练习 理 北师大版-北

第3讲 二项式定理
[基础题组练]
1.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2－x 43
的展开式中的常数项为( ) A ．－3 2 B ．3 2 C ．6
D ．－6
解析：选D.通项T r ＋1＝C r
3⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 23－r (－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，
即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.
2．(1＋x )5
＋(1＋x )6
＋(1＋x )7
的展开式中x 4
的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45
D ．60
解析：选B.(1＋x )5
＋(1＋x )6
＋(1＋x )7
的展开式中x 4
的系数是C 4
5＋C 4
6＋C 4
7＝55.故选B.
3．(2020·某某某某实验外国语学校二诊)已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n ＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n ，二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的各项二项式系数的和为2n
，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n
2
n ＝2
n
＝64，n ＝6.故选C.
4．在(1－x )5
(2x ＋1)的展开式中，含x 4
项的系数为( ) A ．－5 B ．－15 C ．－25
D ．25
解析：选B.因为(1－x )5
＝(－x )5
＋5x 4
＋C 3
5(－x )3
＋…，所以在(1－x )5
·(2x ＋1)的展开式中，含x 4
项的系数为5－2C 3
5＝－15.故选B.
5．1＋(1＋x )＋(1＋x )2
＋…＋(1＋x )n
的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1
B ．2n
－1
C ．2
n ＋1
－1 D ．2n
解析：选C.令x ＝1，得1＋2＋22
＋ (2)
＝1×（2n ＋1
－1）2－1
＝2n ＋1
－1.
6．(2020·某某某某二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5
，则a 5＝( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．1
解析：选A.(x －2)(x ＋2)5
＝(x 2
－4)·(x ＋2)4
，所以(x ＋2)4
的展开式中x 3
的系数为C 1
4·21
＝8，所以a 5＝8.故选A.
7．(x 2
＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －15
展开式中的常数项是( )
A ．12
B ．－12
C ．8
D ．－8
解析：选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －15
展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 5－r
(－1)r ＝(－1)r C r 5x r －5
，当r －5
＝－2或r －5＝0，即r ＝3或r ＝5时，展开式的常数项是(－1)3C 3
5＋2(－1)5C 5
5＝－12.故选B.
8.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＋15
展开式中的常数项为( )
A ．1
B ．21
C ．31
D ．51
解析：选D.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋15
＝⎣
⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋1x 5
＝C 0
5
(x ＋1)5
＋C 15
(x ＋1)4
·1x
＋C 25(x ＋1)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 35(x ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 45(x ＋1)1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＋C 55⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1x 5.
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＋15
展开式中的常数项为C 05·C 55·15＋C 15·C 34·13＋C 25·C 13·12
＝51.故选D.
9．已知(2x －1)5
＝a 5x 5
＋a 4x 4
＋a 3x 3
＋a 2x 2
＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A ．1 B ．243 C ．121
D ．122
解析：选B.令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，①
令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.
①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.
所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B.
10．(2020·某某调研)若(x 2
－a )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 10
的展开式中x 6
的系数为30，则a 等于( )
A.13 B ．12 C ．1
D ．2
解析：选D.由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10
的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k
＝C k 10x 10－2k
，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 10
的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意
得C 3
10－a C 2
10＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.
11．若(1＋x ＋x 2)n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2n x 2n
，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n
B ．3n
－1
2
C ．2n ＋1
D ．3n
＋12
解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n
， 则f (1)＝3n
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，①
f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②
由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝
f （1）＋f （－1）2
＝
3n ＋1
2
.
12．已知(x ＋2)9
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 9x 9
，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2
－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2
的值为( )
A ．39
B ．310
C ．311
D ．312
解析：选D.对(x ＋2)9
＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 9x 9
两边同时求导，得9(x ＋2)8
＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2
＋…＋8a 8x 7
＋9a 9x 8
，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310
，令x ＝－1，得a 1
－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2
＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312
，故选D.
13．(x y －y x )4
的展开式中，x 3y 3
项的系数为________． 解析：二项展开式的通项是T k ＋1＝C k
4(x y )
4－k
·(－y x )k ＝(－1)k C k
4x 4－k 2y 2＋k
2
，令4－
k
2＝2＋k
2
＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3
的系数为(－1)2C 2
4＝6.
答案：6
14.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x ＋25
(x >0)的展开式中的常数项为________．
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－r (x )10－2r ，令
10－2r ＝0，则r ＝5，故展开式中的常数项为C 5
10
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫125＝632
2.
答案：6322
15．设m 为正整数，(x ＋y )2m
展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1
展开式的二
项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________．
解析：(x ＋y )2m
展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m
2m . 同理，b ＝C m ＋1
2m ＋1.
因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋1
2m ＋1. 所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！
（m ＋1）！m ！.
所以m ＝6. 答案：6
[综合题组练]
1．已知C 0
n －4C 1
n ＋42C 2
n －43C 3
n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n
n 的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63
D ．31
解析：选C.因为C 0
n －4C 1
n ＋42C 2
n －43C 3
n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36
，所以n ＝6，因此C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26
－1＝63，故选C.
2．设a ∈Z ，且0≤a <13，若51
2 018
＋a 能被13整除，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12
解析：选D.512 018
＋a ＝(52－1)
2 018
＋a ＝C 02 01852
2 018
－C 12 01852
2 017
＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)
2 017
＋C 2 018
2 018×(－1)
2 018
＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 018
2 018×(－1)2 018
＋a 能被13整除，即
a ＋1能被13整除，所以a ＝12.
3．已知(x ＋1)10
＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2
＋…＋a 11x 10
.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N +)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．
解析：由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11)．又(x ＋1)10
展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 5
10，则k 的最大值为6.
答案：6
4．设a ＝⎠⎛0
1
2x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6
的展开式中的常数项为________．
解析：a ＝⎠⎛0
1
2x d x ＝x 2⎪⎪⎪1
0＝1，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为
T r ＋1＝C r
6(x 2)6－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r
＝(－1)r C r 6x
12－3r
， 令12－3r ＝0，解得r ＝4. 所以常数项为(－1)4C 4
6＝15. 答案：15
5．已知(1－2x )7
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 7x 7
，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解：令x ＝1，
则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，
则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37
.② (1)因为a 0＝C 0
7＝1，
所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－3
7
2＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋3
7
2
＝1 093.
(4)因为(1－2x )7
的展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.
6．已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n
的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n ；
(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0
n ，12C 1n ，14C 2n ，
由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2
n ，
解得n ＝8(n ＝1舍去)．
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4 (r ＝0，1，…，8)，
要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0，4，8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4
，T 5＝
358
x ，T 9＝
1
256x
2. (3)设第r ＋1项的系数为a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r
8，
则a r ＋1a r ＝2－r C r
82－（r －1）C r －18＝9－r 2r ≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－（r ＋1）C r ＋18＝2（r ＋1）
8－r
≥1， 解得2≤r ≤3.
当r ＝2时，a 3＝2－2C 2
8＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 3
8＝7， 因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T 3＝7x 52，T 4＝7x 7
4.。