高中数学 3.4.3 简单线性规划的应用同步精练 北师大版

高中数学 3.4.3 简单线性规划的应用同步精练 北师大版必修5
基础巩固
1某人有一栋楼房，室内面积共计180 m 2
，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m 2
，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2
，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大效益？
2有一批钢管，长度都是4 000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于1
3
配套，问怎样截最合理？
3已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
4医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
5有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需27根，问：如何切割可使钢条用量最省？
综合过关
6制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别是100%和50%，可能的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
7某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或
B 型卡车，所花的成本费分别是多少？
能力提升
8某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和
盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？
参考答案
1分析：设大房间x 间，小房间y 间，然后列出x ，y 的关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数的最值问题．
解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元， 则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，
x ≥0，y ≥0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，
z ＝200x ＋150y .作出可行域，如图所示的阴影部分．
解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，
得点M 的坐标为(207，60
7
)．由于点B 的坐标不是整数，而最
优解(x ，y )是整点，所以可行域内点M (207，60
7
)不是最优解．
经验证：经过可行域内的整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值的整点是(0,12)和(3,8)，此时z max ＝1 800元，即应隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大利润．
2分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．
解：设截500 mm 的x 根，600 mm 的y 根， 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋6y ≤40，y <3x ，
x >0，
y >0，
且x ，y ∈R ＋.
作出可行域，如图中的阴影部分．
目标函数为z ＝x ＋y ，作一组平行直线x ＋y ＝t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B (8,0)的直线，这时x ＋y ＝8.
由x 、y 为正整数，知(0,8)不是最优解． 在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.
可知点(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)均为最优解．
即每根钢管截500 mm 的2根，600 mm 的5根，或截500 mm 的3根，600 mm 的4根，或截500 mm 的4根，600 mm 的3根，或截500 mm 的5根，600 mm 的2根，或截500 mm 的6根，600 mm 的1根最合理．
3解：设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(300－y )万元，即z ＝780－0.5x －0.8y .其中x 、y 应满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，
200－x ＋300－y
≤360.
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，则M (0,280)．
把直线l ：0.5x ＋0.8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M (0,280)时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，
∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少．
4分析：将已知数据列成下表：
x ＋2y ；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x ＋7y ≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x ＋4y ≥40，这样，问题成为：在约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，下，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最小值.
x ≥0，y ≥0
解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么 ⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0；
目标函数为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图：
把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z
2，随z 变化的
一族平行线．
由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z
2
最小，即z 最小．
由⎩⎪⎨⎪
⎧
10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，
得A (14
5
，3)．
∴z min ＝3×14
5
＋2×3＝14.4.
∴甲种原料14
5
×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
5分析：先设变元，然后找到变元满足的约束条件，建立目标函数，将实际问题转化为线性规划问题．
解：设按第一种切割方式需钢条x 根，按第二种切割方式需钢条y 根，根据题意列出约束条件组．
⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x >0，y >0.
目标函数z ＝x ＋y ，求其最小值．
画出不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分．
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝3.6，y ＝7.8.
此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数． 而当z ＝12时，满足该约束条件的(x ，y )有两个：
(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，即按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割8根；或按第一种方式切割3根，按第二种方式切割9根，可满足要求．
6解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，
目标函数z ＝x ＋0.5y .
上述不等式组所表示的平面区域如下图所示的阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l ：x ＋0.5y ＝0，并作出平行于直线l 的一组直线x ＋0.5y ＝z ，且与可行域相交，由图可知，当直线x ＋0.5y ＝z 过点M 时，z 取得最大值．
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，即M (4,6)，
此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7＞0，
∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，
即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
7解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆，列表分析数据.
由表可知，x 、y 满足的约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，
24x ＋30y ≥180，
0≤x ≤8，
0≤y ≤4，
且z ＝320x ＋504y .
作出可行域，如图所示阴影部分．
可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y 可知，(5,2)是最优解．
这时z min ＝320×5＋504×2＝2 608(元)， 即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低． 若只用A 型车，成本费为8×320＝2 560(元)． 只用B 型车，成本费为180
30×504＝3 024(元)．
8分析：适合不等式组的有序整数对(x ，y )的对数就是不同的选购方式的种数，也是直角坐标平面上相关区域(含边界)整数点的个数，分类讨论即可获解．
解：设购买软件x 片，磁盘y 盒， 由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
60x ＋70y ≤500，x ≥3，
y ≥2，即⎩⎪⎨⎪
⎧
6x ＋7y ≤50，x ≥3，y ≥2，
∴3≤x ≤6. ∴x 可取3,4,5,6.
当x 取3时，2≤y ＜32
7，此时y ＝2,3,4.
当x 取4时，2≤y ＜26
7，此时y ＝2,3.
当x 取5时，2≤y ＜20
7，此时y ＝2.
当x 取6时，此时y ＝2.
∴整点为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，
则不同的选购方式有7种．。