创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业48

课时活页作业（四十八）
[基础训练组]
1．双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.1
4 B.1
2 C ．2
D ．4
[解析] 双曲线的方程可化为x 2
－y 2
1m ＝1，∴实轴长为2，虚轴长为2
1
m
，∴2＝2⎝
⎛⎭⎫
2
1m ，解得m ＝4. [答案] D
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1，过其左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点记作C ，D ，
原点为O ，∠COD ＝2π
3
，其双曲线的离心率为( )
A.32 B ．2 C. 3
D.233
[解析] 如图，由题知OC ⊥CF ，OD ⊥DF 且∠COD ＝
2π3
，
∴∠COF ＝π3，又OC ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OC OF ＝cos π3＝12，∴e ＝c
a ＝2.故选B.
[答案] B
3．(2014·高考广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4，且其右焦点为F 2(5,0)，
则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 2
3＝1 B.x 29－y 2
16＝1 C.x 216－y 2
9
＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 [解析] 由已知可知c ＝5，e ＝c a ＝5
4
，所以a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程
为x 216－y 2
9
＝1，故选C. [答案] C
4．(2016·诸暨模拟)如图，双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1，(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，
抛物线C 2的顶点为坐标原点O ，焦点为F 2.过F 1的圆x 2＋y 2＝a 2的一切线交抛物线C 2于点A ，切点为M .若线段F 1A 的中点恰为M ，则双曲线C 1的离心率为( )
A.1＋52
B.1＋32
C.52
D.3＋53
[解析] 在△F 1AF 2中，MO 为中位线，且F 1M ＝b ，OM ＝a ，从而AF 2＝2a .由抛物线的定义，设A (x ，y )，则x ＋c ＝2a ，从而x ＝2a －c .又点A 到x 轴的距离为4b 2－4a 2(利用抛物线的定义过点A 作抛物线准线的垂线)，从而点A (2a －c ，4b 2－4a 2)．考虑到点A 在抛物线C 2：y 2＝4cx ，从而4b 2－4a 2＝4c (2a －c )，即c 2－2a 2＝c (2a －c )，即c 2－ac －a 2＝0，故e 2－e －1＝0，又e >1，解得e ＝1＋5
2
.
[答案] A
5．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )
A. 5
B ．2 C. 3
D. 2
[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)，如
图所示．
过M 作MN ⊥x 轴交x 轴于点N ，在△ABM 中，AB ＝BM ＝2a ，∠ABM ＝120°，所以BN ＝a ，MN ＝3a ，即M (2a ，3a )，代入双曲线的标准方程，可得a 2＝b 2，又b 2＝c 2－a 2，所以c 2＝2a 2，即e ＝2，故选D.
[答案] D
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛
物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．
[解析] 由题意知b a
＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6，则c ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧
b 2
＝3a 2
c 2＝a 2＋b
2
c 2＝36
，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝9b 2＝27， ∴双曲线方程为x 29－y 2
27＝1.
[答案] x 29－y 2
27
＝1
7．已知双曲线x 29－y 2
a ＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为
________．
[解析] 依题意知(13)2
＝9＋a ，所以a ＝4，故双曲线的方程为x 29－y 2
4
＝1，则渐近线方
程为x 3±y
2
＝0.即2x ±3y ＝0.
[答案] 2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝0
8．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|P A |＋|PB |＝________.
[解析] 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|P A |＞|PB |，因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|P A |－|PB |＝25①
又|P A |2＋|PB |2＝36②
①②联立化简得2|P A |·|PB |＝16，所以(|P A |＋|PB |)2＝|P A |2＋|PB |2＋2|P A |·|PB |＝52，所以|P A |＋|PB |＝213.
[答案] 213
9．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．
[解析] (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧
a －m ＝4，7·13a
＝3·13
m ， 解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.
∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1.
(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，
∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|
＝102＋42－(213)22×10×4
＝45.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF →1·MF →
2＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．
[解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 2
6
＝1.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)．
[能力提升组]
11．(2015·高考湖北卷)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )
A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2
B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2
D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2
[解析] 不妨设双曲线的焦点在x 轴上，其方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)
e 1＝c a
＝
1＋b 2
a
2，e 2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2
(a ＋m )2
＝
1＋⎝
⎛⎭
⎪⎫b ＋m a ＋m 2，∵b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )
∴当a ＞b 时，b ＋m a ＋m ＞b a ，即e 2＞e 1，当a ＜b 时b ＋m a ＋m ＜b
a ，即e 2＜e 1.
[答案] D
12．(2016·开封摸底考试)从双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切
线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的关系为( )
A ．|MO |－|MT |>b －a
B ．|MO |－|MT |<b －a
C ．|MO |－|MT |＝b －a
D ．|MO |－|MT |与b －a 无关
[解析] 设F 1是双曲线的右焦点，连接PF 1，由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2a ，① ∵OM 是△FF 1P 的中位线，∴|PF 1|＝2|OM |.② 又M 是FP 的中点，∴|PF |＝2|MF |.③
②③代入①得2|MF |－2|OM |＝2a ，|MF |－|OM |＝a .④
∵|MF |＝|MT |＋|TF |，|FT |2＝|OF |2－|OT |2＝c 2－a 2，∴|FT |＝b .∴|MF |＝|MT |＋b .⑤ 把⑤代入④得|MT |＋b －|OM |＝a ，∴|OM |－|MT |＝b －a .选C. [答案] C
13．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的
渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b a x ，x 2＝2py ，得B ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2，又F ⎝⎛⎭
⎫0，p
2， 如图，由题意知，BF ⊥OA ， ∴k BF ·k OA ＝－1，
即2pb 2a －p 22pb
a
－0·
⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，解得b 2a 2＝54
∴e ＝
1＋b 2a
2＝1＋54＝32
. [答案] 3
2
14．(2016·日照模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于
x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________________．
[解析] 设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，代入双曲线方程得y 0＝±b 2
a ，∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝
2b 2
a
. 在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a
.
又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)． ∵a >0，b >0，∴b
a
＝ 2.
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . [答案] y ＝±2x
15．(2016·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
[解] (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b
a
x ，∴a ＝b ，
∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝2a 2
＝4，∴a 2
＝b 2
＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2
2
＝1.
(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0
x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0.①
依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2
，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32
c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2
b 2＝1，即34b 2
c 2－14a 2c 2＝a 2b 2
.②
又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，
整理得：34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.。