陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第五章 第二节等 差 数 列

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(三十)
一、选择题
1.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10= ( )
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24
2.在等差数列{a n}中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48，则等差数列{a n}的前13项的和为( )
(A)104 (B)52 (C)39 (D)24
3.(2013·哈尔滨模拟)已知数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于( )
(A)25 (B)27 (C)50 (D)54
4.如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7= ( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
5.(2013·西安模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且=4,则= ( )
(A) (B) (C) (D)4
6.已知等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( )
(A)S5>S6(B)S5<S6
(C)S6=0 (D)S5=S6
7.(2013·延安模拟)等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )
(A){1} (B){1,} (C){} (D){0,,1}
二、填空题
8.若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8-S3=10,则S11的值为.
9.(2013·渭南模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4+a10=-10,S3=0,则S n的表达式为.
10.(2013·合肥模拟)设等差数列{a n}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13= .
11.(能力挑战题)设等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对任意自然数n都有=,则+的值为.
三、解答题
12.已知数列{a n}是等差数列,且a2=-1,a5=5.
(1)求{a n}的通项a n.
(2)求{a n}前n项和S n的最小值.
13.(2013·南昌模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=-5,S5=-20.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)求使不等式S n>a n成立的n的最小值.
14.已知数列{a n}中a1=,a n=2-(n≥2,n∈N+),数列{b n}满足b n=(n∈N+).
(1)求证数列{b n}是等差数列.
(2)若S n=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(a n-1)·(a n+1-1),是否存在a 与b∈Z,使得:a≤S n≤b恒成立?若有,求出a的最大值与b的最小值,若没有,请说明理由.
15.(能力挑战题)数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)数列{a n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.
答案解析
1.【思路点拨】利用首项a1与公差d的关系整体代入求解,也可直接利用等差数列的性质求解.
【解析】选B.方法一:
∵
a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d, ∴a2+a10=a4+a8=16.
方法二:由等差数列的性质得
a2+a10=a4+a8=16.
2.【解析】选B.根据等差数列性质与已知得
6a4+6a10=48，
即a4+a10=8，
S13=×13
=×13=4×13=52.
3.【解析】选 B.由a2=3a4-6,得a1+d=3(a1+3d)-6,即a1=-4d+3,S9=9a1+36d=
9(-4d+3)+36d=27.
4.【解析】选C.在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=a4+a4,所以a4=4.根据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28,
5.【解析】选A.设公差为d,则由=4,得=4,即4a1+6d=8a1+4d,
即d=2a1.
===.
6.【思路点拨】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.
【解析】选D.∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0,
且a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0,
∴S5=S6.
【变式备选】(2013·聊城模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3+a17=10,则S19= ( )
(A)55 (B)95
(C)100 (D)不能确定
【解析】选B.∵a3+a17=10,∴a10=5,那么S19=19a10=95.
7.【解析】选 B.等差数列{a n}中,设=是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,
故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a1.
8.【解析】S8-S3=10⇒-=10
⇒5a1+8a8-3a3=20
⇒10a1+50d=20⇒a1+5d=2⇒a6=2
⇒S11==11a6=22.
9.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,
由已知条件可得a1+a2+a3=3a2=0,
即
解得故S n=n-=.
答案：
10.【解析】由已知,得
即消去d,得
-10a1+16=0,解得a1=2或a1=8,
当a1=2时,d=3,
a11+a12+a13=a1+10d+a1+11d+a1+12d=3a1+33d=105;
当a1=8时,d=-3,不适合题意,舍去.
答案：105
11.【解析】∵{a n},{b n}为等差数列,
∴+=+===.
∵====,∴=.
答案：
【方法技巧】巧解等差数列前n项和的比值问题
关于等差数列前n项和的比值问题,一般可采用前n项和与中间项的关系,尤其是项数为奇数时S n=na中,也可利用首项与公差的关系求解.另外,熟记以下结论对解题会有很大帮助:若数列{a n}与{b n}都是等差数列,且前n项和分别是S n与T n,则=.
【变式备选】已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且=,
则使得为整数的正整数n的个数是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【解析】选D.由等差数列的前n项和及等差中项,可得===
====7+(n∈N+),
故n=1,2,3,5,11时,为整数.故选D.
12.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由已知条件,解得a1=-3,d=2.
所以a n=a1+(n-1)d=2n-5.
(2)S n=na1+d=n2-4n=(n-2)2-4.
所以n=2时,S n取到最小值-4.
【变式备选】在数列{a n}中,a n=43-3n,则当n为何值时,前n项和S n取得最大值.
【解析】方法一:∵a n=43-3n,
∴a n+1-a n=[43-3(n+1)]-(43-3n)=-3.
又a1=40,
∴数列{a n}是首项为40,公差为-3的等差数列,
∴S n=na1+d=40n-
=-n2+n=-(n-)2+,
∴当n=14时,S n最大.
方法二:令a n=43-3n≥0,解得n≤=14,
即当n≤14时,a n>0,当n≥15时,a n<0,
∴S14最大,即当n=14时,S n最大.
13.【解析】(1)设{a n}的公差为d,
依题意,得
a2=a1+d=-5,S5=5a1+10d=-20.
解得
所以a n=-6+(n-1)·1=n-7.
(2)因为a n=n-7,所以
S n=n=.
令>n-7,
即n2-15n+14>0,
解得n<1或n>14.
又n∈N+,所以n>14.
所以n的最小值为15.
【变式备选】等差数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,满足2S2=a2(a2+1),且a1=1.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)设b n=,求数列{b n}的最小值项.
【解析】(1)设数列{a n}的公差为d.
由2S2=+a2,
可得2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d).
又a1=1,可得d=1(d=-2舍去),
∴a n=n.
(2)根据(1)得S n=,
b n===n++1.
由于函数f(x)=x+(x>0)在(0,]上是减少的,在[,+∞)上是增加的,
而3<<4,且f(3)=3+==,
f(4)=4+==,
所以当n=4时,b n取得最小值,
且最小值为+1=,
即数列{b n}的最小值项是b4=.
14.【解析】(1)由题意知b n-1=,
∴b n-b n-1=-=1(n∈N+,n≥2).
∴{b n}是首项为b1==-,
公差为1的等差数列.
(2)依题意有S n=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(a n-1)·(a n+1-1) =--.
设函数y=,在x>3.5时,y>0,y'<0,∴y=在(3.5,+∞)上是减少的, 故当n=3时,S n=--取最小值-.
而函数y=在x<3.5时,
y<0,y'=-<0,
∴其在(-∞,3.5)上也是减少的.
故当n=2时,取最大值:S2=.
a的最大值与b的最小值分别为-3,2.
15.【解析】(1)由于a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),
且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,
故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{a n}不可能为等差数列,理由如下:
由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n,得
a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{a n}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{a n}为等差数列矛盾.
所以,对任意λ,{a n}都不可能是等差数列.
关闭Word文档返回原板块。