1.1 三角形的基本概念和性质-三角形的构成与内角和定理--沈文选

1.1 三角形的构成与内角和定理
由三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形（顺次连结所组成的重合线段，有的书中称为退化三角形或面积为零的三角形，那是另一意义上说的）叫做三角形．
每个三角形都有三条边和三个角，它们是互相联系、互相制约的，这体现在以下方面： (1)边与边之间的关系：两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边．
(2)角与角之间的关系：三个内角的和等于,180
即在△ABC 中有.180
=∠+∠+∠C B A
例 1 已知三角形的两边长分别为7和2． (1)如果这个三角形有两边相等，求它的周长； (2)如果周长是奇数，求第三边的长，
解 (1)由题意知这个三角形的第三边长是7或2，由于2+2<7，所以第三边只能是7，因此三角形的周长是16.
(2)设第三边长为x ，则,2727+<<-x 所以x=6、7或8．由于周长是奇数，所以第三边长是6或8． 例2 试证：对于正数a 、b 、c ，若方程0)(2
2
2
2
2
2
=+--+b x c b a x c 无实根，则以a 、b 、c 为长的线段可组成一个三角形(面积非0). （1980年北京市竞赛题） 证明 由题设知，二次方程的判别式
2222224)(c b C b a ---=∆
.0).)()()((<-+-+-+++-=b a c a c b c b a c b a
而 ,0>++c b a
所以 .0))()((>-+-+-+b a c a c b c b a
不妨设a≥b，a≥c，显然
,0.,0>-+>-+b a c c b a
从而 .0>-+a c b
亦即有 .,,a c b b a c c b a >+>+>+
综上，以a 、b 、c 为长的线段可组成一个三角形(面积非0).
例3 已知：用长度为a 、b 、c 的线段可以作三角形，试证：用长度为b
a c
b
c a +++1
11、
、的线段也可以作成三角形．（第37届莫斯科数学奥林匹克题） 证明 由题设可知
.,,b a C a c b c b a >+>+>+
因此
,)(21
)()(11b a b a b a c a +=+++>+ ,)
(21
)()(11b a b a b a c b +=+++>+ 故
⋅+>+++b
a c
b
c a 1
11
同理，
,c b c a b a +>+++ ⋅+>+++c a c b b a 1
11 所以，可用b
a c
b
c a +++1
11、
、的线段作成三角形， 例4 点111B A C 、、分别在△ABC 的边AB 、BC 和CA 上，且满足C A BA B C AC 1111::=
.3:1:11==A B CB 求证：△ABC 的周长P 与111C B A ∆的周长/P 之间有不等式：
⋅<<P P P 4
321/ （第15届全苏奥林匹克题）
证明 如图1-1，注意到三角形两边之差小于第三边，故有
,1111B A CB C A <- ,1111C B AC A B <- ⋅<-1111A C BA B C
设 ,,,,111a C B c AB b CA a BC ====,,111111c B A b A C ==则
,41
431c b a <- ,41
431a c b <- ⋅<-14
1
43b a c
三式相加，得
,)(2
1
111c b a c b a ++<++ 即 .21/
P P <
再在△ABC 各边上截取,2
1
,21,21212121c C C b B B a A A ===易证
.4
1
,41,41121212b A C a C B C B A ===
又注意到三角形两边之和大于第三边，有
⋅>+>+>+1114
1
42,41.42,4142b b c a a b c c a 三式相加，得 ,)(4
3
111c b a c b a ++>++
即 .4/P P <
故 ⋅<<P P P 4
3
21/
例5 如图1-2，7.654321∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为 ( )． 450.A .540.o B 630.C 720.D
（
1997年安徽部分地市联赛题）
解 选B ．理由：记、、、、4321∠⋅∠∠∠765∠∠∠、、的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，设AE 交BG 于M ，AD 交BG 于N ．记,,8α=∠∠=∠DNM EMN 则
.18180180∠+∠-=∠-= MNA o α
即
.18018o =∠-∠+α
连BD 、EG ，则
,360432 =+∠+∠+∠α
.3608765 =∠+∠+∠+∠
从而 7654321∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠
)765()432(1∠+∠+∠+⋅∠+∠+⋅∠+∠= )8360()360(1∠-+-+∠= α )18(720∠-∠+-=α
.540180720o o o =-=
习 题 1.1
1 有长度为下列数值的几组线段：
;5,4,3)(i ;5,4,3)(222ii ;51,41,31111⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ ⋅22251
,41,31)(iv 其中能组成三角形的有( )． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
2 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边a 的取值范围是( )．
53.<<a A 83.<<a B 52.<<a C 82.<<a D 3 如图，+∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A G ∠的值等于( )．
360.A 450.B 540.C 720.D
（2003年“TRULY 信利杯”联赛题）
4 如图，,α=∠CGE 则+∠+∠+∠+∠D C B A =∠+∠F E ( )
α- 360.A α- 270.B α+ 180.C α2.D
（1999年山东省竞赛题）
5 求证：任意三角形的边长a 、b 、c 满足不等式：
.4)()()(333222c b a abc b a c a c b c b a ++>+-+-+- （1972年匈牙利奥林匹克题）
答案。