正余弦定理在解斜三角形中的应用

解三角形
五年高考荟萃
一、选择题
1.（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2
+c 2
-b 2
)tan B
,
则角B 的值为 （ ）
A.
6
π
B.
3π
C.
6π或56π
D.
3
π或
23π
答案 D
2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
18
5
B.
43 C.2
3 D.
8
7
答案 D
3.（2008陕西）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
若120c b B ==
，
则a 等于 （ ）
A
B ．2
C
D
答案 D
4.（2007重庆）在ABC △
中，AB =45A = ，75C =
，则BC =
（ ）
Ａ．3
Ｃ．2
Ｄ．3+答案 Ａ
5.(2007山东)在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A.2AC AC AB =⋅
B.2BC BA BC =⋅
C.2AB AC CD =⋅
D.22
()()AC AB BA BC CD AB
⋅⨯⋅=
答案 C
6.（2006年全卷I ）
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列， 且c=2a ，则cosB=
( )
A ．
41 B ．43 C ．42 D ．3
2
ABC ∆
答案 B 二、填空题
7.（2005福建）在△ABC 中，∠A =90°，k k 则),3,2(),1,(==的值是 . 答案 2
3-
8.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________.
答案
3
9.(2008湖北)在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则
cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .
答案
612
10.（2007北京）在ABC △中，若1tan 3
A =
，150C =
，1BC =，则AB = . 答案
2
10
11.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b
c =B = ．
答案
6
5π 12.（2007重庆）在△ABC 中，AB =1,BC =2,B =60°，则AC ＝ .
答案 3 三、解答题
14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北
偏东45
且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏
东45
+θ(其中sin θ
=
26
，090θ<<
)且与点A 相距
C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I ）如图，AB
AC
,sin 26
BAC θθ∠==
由于090θ<<
,所以cos θ
= 由余弦定理得BC =
.510cos 222=⋅-+θAC AB AC AB
所以船的行驶速度为
23
=/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐 标系，
设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D .
由题设有，x 1=y 1=
2
AB =40, x 2=AC
cos )30CAD θ∠=-= , y 2=AC
sin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =
20
210
=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d
7.=
所以船会进入警戒水域.
解法二 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，
222
cos 2AB BC AC ABC AB BC
+-∠=⋅
222
.
从而sin ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，
AQ
=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠
由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE =AE -AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.
在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠
=157.=< 所以船会进入警戒水域.
14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB 时，
可以选与塔底B 在同一水平面内
的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，， 并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 解 在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD
=∠∠．
所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=∠+·．
在Rt △ABC 中，tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ=∠=
+·．
15．（2007福建）在ABC △中，1tan 4A =
，3
tan 5
B =．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △
解 （Ⅰ）π()C A B =-+ ，
1345tan tan()113145
C A B +
∴=-+=-=--⨯．又0πC << ，3
π4C ∴=．
（Ⅱ）3
4
C =π ，AB ∴
边最大，即AB =
又∵tan A ＜tan B ，A 、B ⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0π∴角A 最小，BC 边为最小边． 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
==⎪⎨⎪+=⎩
，，
且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，
得sin 17
A =
sin sin AB BC C A =得：BC =AB ·
2sin sin =C A ． 16．（2007浙江）已知ABC △
1
，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为
1
sin 6
C ，求角C 的度数． 解 （I
）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=
，BC AC +， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积
,sin 61sin 21C C AC BC =⋅⋅，得3
1=⋅AC BC ， 由余弦定理，得cos C =BC
AC AB BC AC ⋅-+22
22
=
2
1
22)(22=⋅-⋅-+BC AC AB BC AC BC AC ， 所以60C =
．
17．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,
甲船以每小时海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处 时,乙船位于甲船的北偏西105︒
的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲 船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒
方
向的2B 处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
解 方法一 如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2=， A 1A 2=21060
20
230=⨯
，∴A 1A 2=A 2B 2， 又∠A 1A 2B 2=180°-120°=60° ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，
∴A 1B 2=A 1A 2=.
由已知，A 1B 1=20，∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°，
在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，
22
1B B =121B B +221B B -121B B ·A 1B 2·cos45°
=202
+()2
-2×20××
2
2
=200.
∴B 1B 2=.
因此，乙船的速度的大小为
20
2
10×60=230（海里/小时）. 答 乙船每小时航行230海里.
19.（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a =5c =，求b ．
解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =， 由AB
C △为锐角三角形得π6
B =
．
（Ⅱ）根据余弦定理，得222
2cos b a c ac B =+-272545=+-7=．
所以，b =20.（2007全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．
解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π
<<3
． 应用正弦定理，知
sin 4sin sin sin BC AC B x x A =
==3
，
2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫
=
=- ⎪3⎝⎭
． 因为y AB BC AC =++，
所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<
⎪⎪3⎝⎭⎭， （2
）因为1
4sin sin 2y x x x ⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭
5x x ππ
ππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪66
66⎝⎭⎭，
所以，当x ππ+=62，即x π
=3
时，y
取得最大值。