精品 2015年八年级数学十字相乘法同步讲义+提高练习

合集下载

八年级数学上册十字相乘法培优讲义(优质讲义)

十字相乘法分解因式学生/课程年级学科授课教师日期2020-12-04 时段核心内容用十字相乘法分解二次三项式课型教学目标1、理解十字相乘法的根据；2、能用十字相乘法分解二次三项式；重、难点1、掌握十字相乘法分解因式；2、理解并熟练掌握二次项项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．知识导图知识梳理1．二次三项式多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式．在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式 (a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数，使，，且，那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．导学一：二次项系数为1的十字相乘法知识点讲解 1例 1. [单选题] 如果二次三项式可分解为，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．1 D．2例 2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）a2－7a+6；例 3. 用十字相乘法分解下列因式（1）a2－4ab-5 ；（2）例 4. 阅读材料：分解因式：x2+2x-3解：原式=x2+2x+1-1-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2-4mn+3n2；（2）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值．我爱展示1. [单选题] 两整式相乘的结果为-a-12 的是（）A．(a+3)(a-4) B．(a-3)(a+4) C．(a+6)(a-2) D．(a-6)(a+2)2.把下列各式分解因式：（1）y2+5y+4；（2）b2－7b-8；3.用十字相乘法分解下列因式（1）(ab)2－4ab-5；（2）(a+1)2－4(a+1)+34.阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x 的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．导学二：二次项系数不为1的十字相乘法知识点讲解 1：例 1. [单选题] 如果二次三项式2可分解为(2x-1)(x+a)，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．4 D．2例 2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）．例 3. 用十字相乘法分解下列因式（1）2a2－ab- ；（2）例 4. 阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2= ．我爱展示1. [单选题] 如果二次三项式2 可分解为(2x+1)(x+a)，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．3 D．22.把下列各式分解因式：（1）6x2－11x+3；（2）3a2－7a－63.用十字相乘法分解下列因式（1）4a2－3ab- ；（2）4.如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a，宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2图③（1）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+5ab+2b2，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式3a2+5ab+2b2分解因式为．（2）如图③，是用B类长方形（4个）拼成的图形，其中四边形ABCD是大正方形，边长为m，里面是一个空洞，形状为小正方形，边长为n，观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上（填写序号）①= 2 （a2+b2 ）；②；③= 4ab限时考场模拟： __分钟完成1.[单选题] 下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）2.[单选题] 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．B．C．D．3.[单选题] 把多项式分解因式，结果正确的是（）A．2（-8）B．2 C．2（x+2）（x-2）D．2x（x-4）4.[单选题] 已知多项式因式分解为，则b、c的值为（）．A．B．C．D．5. 分解因式（1）a2（x﹣y）+（y﹣x）= ；（2）2m2﹣8n2=．6.两名同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成，另一位同学看错了常数项而分解成，请写出原多项式并将它因式分解.7.分解因式：（1）（2）8. 用十字相乘法分解下列因式（1）x 2－11x+10；；（2）a 2－2a －3；（3）2x 2－11x+5；；（4）4a 2－7a －2；（5）x 2－3xy+2 ；（6）3a 2－8ab -3自主学习1. [单选题] 下列由左到右的变形中，不属于因式分解的是（）.B ．D ．2. [单选题] 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（） A ．B ．C ．D ．3. [单选题] 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）.A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bxB ．C ． ﹣1=（y+1）（y ﹣1）D ．ax+by+c=x （a+b ）+c4. [单选题] 将（﹣2）2015+（﹣2）2016因式分解后的结果是（） A ．22015B ．﹣2C ．﹣22015D ．﹣15. 已知x+y=6，xy=4，则x 2y+xy 2的值为．6. 因式分解：（1）；（2）．7. 已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k 的值．A ． C ．8.（1）用乘法公式计算①；②（2）根据= ，分解因式。

十字相乘初二练习题

十字相乘初二练习题解题思路：十字相乘是指两个多项式相乘后的展开结果。

在初二数学学习中，十字相乘是一个重要的概念，它可以帮助我们简化乘法运算，从而更好地理解和应用代数。

下面通过一些练习题来帮助大家巩固和应用十字相乘的知识。

题目一：计算以下两个多项式的乘积：(2x + 3)(x - 4)解答一：我们可以使用十字相乘的方法来计算这个乘积。

首先，将第一个多项式的每一项依次与第二个多项式的每一项相乘，然后将结果相加。

具体步骤如下：(2x + 3)(x - 4) = 2x * x + 2x * (-4) + 3 * x + 3 * (-4)展开后化简得：2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12所以，(2x + 3)(x - 4) 的乘积为 2x^2 - 5x - 12。

题目二：计算以下两个多项式的乘积：解答二：同样地，我们使用十字相乘的方法来计算这个乘积。

(3x - 2)(4x + 5) = 3x * 4x + 3x * 5 + (-2) * 4x + (-2) * 5展开后化简得：12x^2 + 15x - 8x - 10 = 12x^2 + 7x - 10所以，(3x - 2)(4x + 5) 的乘积为 12x^2 + 7x - 10。

题目三：计算以下两个多项式的乘积：(5x + 2)(5x - 2)解答三：继续使用十字相乘的方法来计算这个乘积。

(5x + 2)(5x - 2) = 5x * 5x + 5x * (-2) + 2 * 5x + 2 * (-2)展开后化简得：25x^2 - 10x + 10x - 4 = 25x^2 - 4所以，(5x + 2)(5x - 2) 的乘积为 25x^2 - 4。

题目四：计算以下两个多项式的乘积：解答四：同样地，我们使用十字相乘的方法来计算这个乘积。

(2x - 3)(2x + 3) = 2x * 2x + 2x * 3 + (-3) * 2x + (-3) * 3展开后化简得：4x^2 + 6x - 6x - 9 = 4x^2 - 9所以，(2x - 3)(2x + 3) 的乘积为 4x^2 - 9。

八年级数学上册14.3因式分解-十字相乘法同步测试题(人教版含答案)

八年级数学上册14.3因式分解-十字相乘法同步测试题(人教版含答案)因式分解-十字相乘法测试时间：90分钟总分：100 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( ) A. a^2-1 B. a^2+a C. a^2+a-2 D. (a+2)^2-2(a+2)+1 把多项式x^2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a，b的值分别是( ) A. a=-2，b=-3 B. a=2，b=3 C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3 若x^2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x-1)，则m+n=( ) A. 1 B. -2 C. -1 D. 2 若多项式x^2+mx+36因式分解的结果是(x-2)(x-18)，则m的值是( ) A. -20 B. -16 C. 16 D.20 多项式x^2-3x+a可分解为(x-5)(x-b)，则a、b的值分别是( )A. 10和-2B. -10和2C. 10和2D. -10和-2 如果多项式x^2+ax+b 可因式分解为(x-1)(x+2)，则a、b的值为( ) A. a=1，b=2 B. a=1，b=-2 C. a=-1，b=-2 D. a=-1，b=2 如果多项式mx^2-nx-2能因式分解为(3x+2)(x+p)，那么下列结论正确的是( ) A. m=6 B. n=1 C. p=-2 D. mnp=3 下列因式分解结果正确的是( ) A.x^2+3x+2=x(x+3)+2 B. 4x^2-9=(4x+3)(4x-3) C.x^2-5x+6=(x-2)(x-3) D. a^2-2a+1=(a+1)^2 若x^2+mx-15=(x+3)(x+n)，则mn的值为( ) A. 5 B. -5 C. 10 D. -10 如果二次三项式x^2+ax-1可分解为(x-2)⋅(x+b)，那么a+b的值为( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）若关于x的二次三项式x^2-kx-3因式分解为(x-1)(x+b)，则k+b的值为______ ．若二次三项式x^2-px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值是______ ．若x^2+mx-n能分解成(x-1)(x+4)，则m=______，n=______．已知多项式x^2+px+q可分解为(x+3)(x-2)，则p= ______ ，q= ______ ．因式分解x^2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x-2)，乙看错了b的值，分解的结果为(x-8)(x+4)，那么x^2+ax+b分解因式正确的结果为_____________．已知x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，则二次三项式x^2-2x-15可以因式分解为______ ． x^2-x-12分解因式得______ ．若x^2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x-1)，则m+n的值为______．分解因式： (1)4x^2-9= ______ ； (2)x^2+3x+2= ______ ；(3)2x^2-5x-3= ______ ．分解因式a^3-a^2-2a= ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）分解因式： (1)5x^2+10x+5 (2)(a+4)(a-4)+3(a+2)因式分解： (1)2(x^2+y^2 )^2-8x^2 y^2 (2)6x^2-5x-4．解方程：x(x-3)=4．把下列各式因式分解 (1)3x^2-12y^2 (2)(a+b)^2-6c(a+b)+9c^2(3)x^2-2x-8 (4)(m+n)^2-4mn．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）阅读：分解因式x^2+2x-3．解：原式=x^2+2x+1-1-3 =(x+2x+1)-4 =(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1) 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此�}为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：分解因式：4a^2+4a-3．仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x^2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为(x+n)，得x^2-4x+m=(x+3)(x+n) 则x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n∴{■(〖m=3n〗┴(n+3=-4) )┤ 解得：n=-7，m=-21 ∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x^2+5x-m有一个因式是(3x-1)，求另一个因式以及m的值．答案和解析【答案】 1. C 2. A 3. C 4. A 5. D 6. B 7. B 8.C 9. C 10. B 11. 1 12. 5，-5，7，-7 13. 3；4 14. 1；-6 15. (x-6)(x+2)16. (x-5)(x+3) 17. (x-4)(x+3) 18. -1 19. (2x+3)(2x-3)；(x+1)(x+2)；(2x+1)(x-3) 20. a(a+1)(a-2) 21. 解：(1)原式=5(x^2+2x+1)=5(x+1)^2； (2)原式=a^2-16+3a+6=a^2+3a-10=(a-2)(a+5)． 22. 解：(1)原式=2[(x^2+y^2 )^2-4x^2y^2]=2(x^2+y^2+2xy)(x^2+y^2-2xy)=2(x+y)^2 (x-y)^2； (2)原式=(2x+1)(3x-4)． 23. 解：x^2-3x-4=0 (x-4)(x+1)=0 x-4=0或x+1=0∴x_1=4，x_2=-1． 24. 解：(1)原式=3(x^2-4y^2)=3(x+2y)(x-2y)；(2)原式=(a+b-3c)^2； (3)原式=(x-4)(x+2)； (4)原式=m^2+2mn+n^2-4mn=m^2-2mn+n^2=(m-n)^2． 25. 解：原式=4a^2+4a+1-1-3 =(4a^2+4a+1)-4 =(2a+1)^2-4 =(2a+1+2)(2a+1-2) =(2a+3)(2a-1) 26. 解：设另一个因式为(x+n)，得3x^2+5x-m=(3x-1)(x+n)，则3x^2+5x-m=3x^2+(3n-1)x-n，∴{■(〖-n=-m〗┴(3n-1=5) )┤，解得：n=2，m=2，∴另一个因式为(x+2)，m的值为2．【解析】 1. 【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果.本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．【解答】解：A.∵a^2-1=(a+1)(a-1)，B.a^2+a=a(a+1)，C.a^2+a-2=(a+2)(a-1)，D.(a+2)^2-2(a+2)+1=(a+2-1)^2=(a+1)^2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C．故选C． 2. 解：根据题意得：x^2+ax+b=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3，则a=-2，b=-3，故选A 因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．此题考查了因式分解-十字相乘法，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 解：∵x^2+mx+n=(x+2)(x-1)=x^2+x-2，∴m=1，n=-2，则m+n=1-2=-1，故选C 根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 4. 解：x^2+mx+36=(x-2)(x-18)=x^2-20x+36，可得m=-20，故选A．把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 5. 解：∵多项式x^2-3x+a可分解为(x-5)(x-b)，∴x^2-3x+a=(x-5)(x-b)=x^2-(b+5)x+5b，故b+5=3，5b=a，解得：b=-2，a=-10．故选：D．利用多项式乘法整理多项式进而得出a，b的值．此题主要考查了整式的混合运算，得出同类项系数相等是解题关键． 6. 解：根据题意得：x^2+ax+b=(x-1)(x+2)=x^2+x-2，则a=1，b=-2，故选B 已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 7. 解：∵多项式mx^2-nx-2能因式分解为(3x+2)(x+p)，∴(3x+2)(x+p)=3x^2+(3p+2)x+2p=mx^2-nx-2，∴p=-1，3p+2=-n，解得：n=1．故选：B．直接利用多项式乘法运算法则得出p的值，进而得出n的值．此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p的值，是一道基础题． 8. 解：A、原式=(x+1)(x+2)，故本选项错误； B、原式=(2x+3)(2x-3)，故本选项错误； C、原式=(x-2)(x-3)，故本选项正确； D、原式=(a-1)^2，故本选项错误；故选：C．将各自分解因式后即可做出判断．此题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9. 解：由x^2+mx-15=(x+3)(x+n)=x^2+(3+n)x+3n，比较系数，得m=3+n，-15=3n，解得m=-2，n=-5，则mn=(-2)×(-5)=10．故选：C．根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据对应项的系数相等列出方程，求解即可得到m、n的值，再代入计算即可．本题考查了多项式的乘法法则，根据对应项系数相等列式是解题的关键． 10. 解：(x-2)(x+b)=x^2+(b-2)x-2b，∵二次三项式x^2+ax-1可分解为(x-2)(x+b)，∴a=b-2，-2b=-1，解得a=-3/2，b=1/2，∴a+b=-3/2+1/2=-1．故选：B．利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键． 11. 解：由题意得：x^2-kx-3=(x-1)(x+b)=x^2+(b-1)x-b，∴-3=-b， -k=b-1，移项得：k+b=1．故答案为1．将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．本题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 12. 解：若二次三项式x^2-px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值为5，-5，7，-7，故答案为：5，-5，7，-7 原式利用十字相乘法变形，即可确定出整数p的值．此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 13. 解：由题意得：x^2+mx-n=(x-1)(x+4)=x^2+3x-4，则m=3，n=4，故答案为：3；4．利用十字相乘法判断即可确定出m与n的值．此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 14. 解：根据题意得：x^2+px+q=(x+3)(x-2)=x^2+x-6，则p=1，q=-6，故答案为：1；-6 因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．此题考查了因式分解-十字相乘法，多项式乘以多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 15. 解：甲看错了a的值：x^2+ax+b=(x+6)(x-2)=x^2+4x-12，∴b=-12 乙看错了b的值：x^2+ax+b=(x-8)(x+4)=x^2-4x-32，∴a=-4 ∴x^2+ax+b分解因式正确的结果：x^2-4x-12=(x-6)(x+2) 根据因式分解法的定义即可求出答案．本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型． 16. 解：原式=x^2+(-5+3)x+(-5)×3=(x-5)(x+3)，故答案为：(x-5)(x+3) 根据已知等式分解的方法，将原式分解即可．此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 17. 解：x^2-x-12=(x-4)(x+3)．故答案是：(x-4)(x+3)．因为-4×3=-12，-4+3=-1，所以利用十字相乘法分解因式即可．本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 18. 解：∵x^2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x-1)，∴x^2+mx+n=x^2+x-2，∴m=1，n=-2，∴m+n=1-2=-1，故答案为-1．先把(x+2)(x-1)展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．本题考查了因式分解-十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键． 19. 解：(1)原式=(2x+3)(2x-3)； (2)原式=(x+1)(x+2)； (3)原式=(2x+1)(x-3)，故答案为：(1)(2x+3)(2x-3)；(2)(x+1)(x+2)；(3)(2x+1)(x-3) (1)原式利用平方差公式分解即可；(2)原式利用十字相乘法分解即可； (3)原式利用十字相乘法分解即可．此题考查了因式分解-十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20. 解：原式=a(a2-a-2)=a(a+1)(a-2)．故答案为：a(a+1)(a-2)．原式提取公因式a后，利用十字相乘法分解即可得到结果．此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 21. (1)原式提取5，再利用完全平方公式分解即可； (2)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22. (1)原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可； (2)原式利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 23. 把方程化成一般形式，用十字相乘法因式分解求出方程的根．本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程化成一般形式，再用十字相乘法因式分解求出方程的根． 24. (1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； (2)原式利用完全平方公式分解即可； (3)原式利用十字相乘法分解即可； (4)原式整理后，利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解-十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 25. 根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．本题考查了因式分解，利用配方法得出平方差公式是解题关键，分解要彻底． 26. 首先设另一个因式为(x+n)，得3x^2+5x-m=(3x-1)(x+n)，继而可得方程组{■(〖-n=-m〗┴(3n-1=5) )┤，解此方程即可求得答案．此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意理解题意，结合题意求解是关键．。

北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(十二) 因式分解——十字相乘法

思维特训(十二)因式分解——十字相乘法方法点津·十字相乘法(1)对于二次三项式ax2＋bx＋c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，a＝a1·a2 , c＝c1·c2,且满足b＝a1c2＋a2c1ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．(2)二次三项式x2＋px＋q的分解：p＝a＋b，q＝ab x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．(3)理解：把x2＋px＋q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号的因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同；如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p.典题精练·1．分解因式：x2＋3x＋2.分析：(＋1)×(＋2)＝＋2常数项(＋1)＋(＋2)＝＋3一次项系数解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．按以上方法分解因式：x2＋14x＋48.2．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2＋5x－7，具体步骤：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2＝2×1，把常数项－7也分解为两个因数的积，即－7＝－1×7；②按图12－TX－1所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×(－1)＋1×7＝5.图12－TX－1③这样，就可以按图12－TX－1中虚线所指，对2x2＋5x－7进行因式分解了，即2x2＋5x－7＝(2x＋7)(x－1)．请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：(1)x2＋4x＋3；(2)2x2＋3x－20.3．阅读下面的材料并完成填空：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2＋px ＋q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足ab＝q，a＋b＝p，则有x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．如分解因式：x2＋5x＋6.解：因为2×3＝6，2＋3＝5，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．再如分解因式：x2－5x－6.解：因为－6×1＝－6，－6＋1＝－5，所以x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)．阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看！因式分解：(1)x2＋7x＋12；(2)x2－7x＋12；(3)x2＋4x－12；(4)x2－x－12.4．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式，关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1·a2，把y2项的系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1·c2，并使a1·c2＋a2·c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bxy＋cy2＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)．例：分解因式：x2－2xy－8y2.解：如图12－TX－2①，其中1＝1×1，－8＝(－4)×2，而－2＝1×2＋1×(－4)，∴x2－2xy－8y2＝(x－4y)(x＋2y)．而对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图12－TX－2②，将a分解成m，n的乘积作为一列，c分解成p，q的乘积作为第二列，f分解成j，k的乘积作为第三列．若mq＋np＝b，p k＋q j＝e，m k＋n j＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝(mx＋py＋j)(nx＋qy＋k)．图12－TX－2例：分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2.解：如图12－TX－2③，其中1＝1×1，－3＝(－1)×3，2＝1×2，而2＝1×3＋1×(－1)，1＝(－1)×2＋3×1，3＝1×2＋1×1，∴x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：①6x2－17xy＋12y2＝__________；②2x2－xy－6y2＋2x＋17y－12＝__________；③x2－xy－6y2＋2x－6y＝__________．(2)若关于x，y的二元二次式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．5．分解因式：(1)5x2－17x＋6；(2)20x2－43xy＋14y2；(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2；(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72.详解详析1．解：x2＋14x＋48＝(x＋6)(x＋8)．2．解：(1)x2＋4x＋3＝(x＋3)(x＋1)．(2)2x2＋3x－20＝(x＋4)(2x－5)．3．解：(1)x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)．(2)x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)．(3)x2＋4x－12＝(x＋6)(x－2)．(4)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)．4．解：(1)①(3x－4y)(2x－3y)②(x－2y＋3)(2x＋3y－4)③(x－3y)(x＋2y＋2)(2)如图：m＝3×9＋(－8)×(－2)＝43，或m＝9×(－8)＋3×(－2)＝－78.5．解：(1)5x2－17x＋6＝(5x－2)(x－3)．(2)20x2－43xy＋14y2＝(4x－7y)(5x－2y)．(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2＝(m－3)(m＋1)x2－(m＋5)x－2＝[(m－3)x－2][(m＋1)x＋1]．(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72＝(x－4)(x－1)(x－2)(x＋1)－72＝[(x－4)(x＋1)][(x－1)(x－2)]－72＝(x2－3x－4)(x2－3x＋2)－72.设x2－3x＝t，则(t－4)(t＋2)－72＝t2－2t－80＝(t－10)(t＋8)＝(x2－3x－10)(x2－3x＋8)＝(x－5)(x＋2)(x2－3x＋8)．。

北师大八年级下学期,十字相乘法,分解因式,专项训练学案,习题集

北师大八年级下学期《十字相乘法》专项训练学案一、知识的形成八( )班姓名:______ 多项式乘以多项式1、填空①(x+2)(x+5)=__________=__________;②(x ＋4)(x+5)=__________=________; ③(x －4)(x －3)=__________=________;④(x －2)(x －5)=__________=________; ⑤(x ＋4)(x －3)=__________=________;⑥(x －8)(x ＋3)=__________=________; 观察与总结：上面各等式的左边都是1次项系数为＿＿的＿次＿项式与＿次＿项相乘，而结果的2次项的系数都是＿＿；2次项的系数为＿＿＿＿＿＿；常数项为＿＿＿＿＿＿＿＿用公式则可以表示为：(x ＋a)(x+b)=x 2+( )x+( )反之：x 2+(a+b)x+ab=( )( )2、口算①(x+5)(x+1)=__________②(x+5)(x+2)=__________③(x+4)(x+3)=___________ ④(x －5)(x+1)=_________⑤(x+5)(x －1)=_________⑥(x －5)(x －1)=__________ 因式分解根据上题(口算)的结果，对下列各式进行因式分解①x 2+6x+5=( )( ) ②x 2+7x+10=( )( ) ③x 2+7x+12=( )( ) ④x 2－4x －5=( )( ) ⑤x 2+4x －5=( )( ) ⑥x 2－6x+5=( )( ) 你找到了上面各式的因式分解的简便方法了吗？例题：十字相乘法因式分解1）x 2+7x+12 2）x 2+8x+12 3）x 2－x －12 解：解：(∵12=2×6=3×4=1×12等)( ∴4x+3x=7x ) ∴ ∴(交叉相乘,然后相加) ∴x 2+8x+12=________ ∴x 2－x －12=_________ ∴x 2+7x+12=(x+3)(x+4)二、十字相乘法因式分解巩固⑴x 2+10x+24=________；x 2+11x+24=________；x 2+14x+24=________； ⑵x 2+2x －24=________；x 2－2x －24=________；x 2+5x －24=________；x x 34x x x x⑶y2+6y＋8=_________；y2+9y＋8=_________；y2－7y－8=________；⑷t2+42t＋80=________；t2+21t＋80=________；t2+18t＋80=_________；⑸t2+24t＋80=________；t2+16t－80=________；t2－16t－80=________；⑹t2+79t－80=________；t2－38t－80=_______；t2－11t－80=_________；三、提高⑴x2+10x+24=________；(a+b)2+10(a+b)+24=[ ][ ]=_________⑵x2+2x－24=________；(a+b)2+2(a+b)－24=[ ][ ]=_________⑶y2+6y＋8=_________；(a+b)2+6(a+b)+8=[ ][ ]=_________ 对下列各式进行因式分解⑴t4－10t2+9 ⑵t4－8t2－9解：t4－10t2+9＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑶(y2+2y)2+3(y2+2y)+2 ⑷(x2+3x)2－16⑸(x2－3x)2－4⑹(y2+7y)2－81。

初中数学《拆、添项法和十字相乘法》讲义及练习

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.重、难点知识点睛中考要求第五讲拆、添项法和十字相乘法板块一、拆项与添项Ⅰ：利用配方思想拆项与添项【例1】分解因式：43221x x x x ++++【解析】43221x x x x ++++423(21)()x x x x =++++222(1)(1)x x x =+++22(1)(1)x x x =+++ 如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．【巩固】已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=【巩固】 (第十五届“希望杯”第二试第12题)分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】 4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++【例2】分解因式：⑴4231x x -+；⑵42231x x -+；⑶4224a a b b ++【解析】 ⑴42422222223121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=---+⑵42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++- ⑶42244224222a a b b a a b b a b ++=++-2222()()a b ab =+-2222()()a ab b a ab b =++-+【巩固】分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+1266636321(1)(1)x x x x x x x =-+-=-+--【巩固】分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=+++-+-【巩固】分解因式： 4224781x x y y -+重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．难点：掌握因式分解的其他方法，主要是拆添项法、十字相乘法、换元法等较高层次的方法例题精讲【解析】 42244224222222781188125(95)(95)x x y y x x y y x y x y xy x y xy -+=++-=+-++【例3】 (希望杯试题)已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【解析】原式422222222010036(10)(6)(610)(610)n n n n n n n n n =++-=+-=-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【例4】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】 ()()()222241211y x y x y +-++-()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)(1)(1)(1)(1)y x y xy x x x xy y x xy y ⎡⎤=+---=+-------⎣⎦【巩固】分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】 42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+-- 222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【巩固】分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【解析】 33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【例5】 (杭州学军中学)把444x y +分解因式．【解析】 4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【巩固】分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+ 【巩固】证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++- 由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．Ⅱ：拆项与添项【例6】分解因式：343a a -+ 【解析】原式32()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a =---=+---=-+-或原式32222()()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a =-+---=-+---=-+-.【巩固】分解因式：32265x x x +-- 【解析】解法(一)32322265266(21)6(1)x x x x x x x x x x x +--=++--=++-+(1)(2)(3)x x x =+-+解法(二)拆二次项222242x x x =-解法(三)拆常数项651-=--及2222x x x =+ 解法(四)22223x x x =-及523x x x -=--【巩固】分解因式：3234x x +- 【解析】 ⑴把4-拆成13--；⑵添四次项4x ，再减去4x ；⑶添一次项4x ，再减去4x⑷拆22234x x x =-；⑸拆三次项33343x x x =-；2(1)(2)x x -+【巩固】分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】分解因式：243x x -+ 【解析】 2243()(33)(3)(1)x x x x x x x -+=---=--【巩固】分解因式：398x x -+ 【解析】 332298199(1)(1)9(1)(1)(8)x x x x x x x x x x x -+=--+=-++--=-+-【巩固】(第十四届“希望杯”第1试第2题)若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3【解析】 43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【巩固】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【巩固】分解因式：51x x ++ 【解析】法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去. 那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去. 开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【巩固】分解因式：541a a ++ 【解析】原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【巩固】分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++- 332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++--- 33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .板块二、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例7】分解因式： ⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】分解因式：268x x ++ 【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】分解因式：278x x +- 【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例8】分解因式：2376a a -- 【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】分解因式：2383x x -- 【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】分解因式：25129x x +- 【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例9】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】分解因式：2612x x -+- 【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例10】分解因式：2214425x y xy +- 【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】分解因式：22672x xy y -+ 【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】分解因式：22121115x xy y -- 【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例11】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+- 【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+ 【巩固】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【巩固】分解因式：633619216x x y y --【解析】 6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【巩固】分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++ 【解析】 22(64)(2)x x x +++【巩固】分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++ 【解析】 229(1)(41)x x x +++【巩固】分解因式：222()14()24x x x x +-++【解析】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+板块三：双十字相乘双十字相乘法：对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

八年级数学下册第二章《十字相乘法》练习题(无答案)

[做一做, 找规律]1、计算:(1))3)(2(++x x =______________________=___________________;(2))3)(2(+-x x =______________________=___________________;(3))3)(2(-+x x =______________________=___________________;(4))3)(2(--x x =______________ _______=__________________;(5)))((b x a x ++=____________________=___________________.2、分解因式:(1)652++x x =_____________________;(2)62-+x x =_______________________;(3)62--x x =_______________________;(4)652+-x x =______________________;(5)ab x b a x+++)(2=______________________.[二次三项式] 把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的分解因式的方法[十字相乘法的依据和具体内容]利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．【口诀】：系数分解竖直写，符号分解常数析，交叉相乘凑中项，横向写出两因式。

数学八年级上册十字相乘法

数学八年级上册十字相乘法1十字相乘法顺口溜
1.首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。

竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

2.竖分常数交叉验
（1）竖分二次项和常数项, 即把二次项和常数项的系数竖向写出来,
（2）交叉相乘, 和相加, 即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,
（3）检验确定, 检验一次项系数是否正确。

3.横写因式不能乱，即把因式横向写,而不是交叉写, 这里不能搞乱。

2十字相乘法的注意事项
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

（1）用来解决两者之间的比例问题。

（2）得出的比例关系是基数的比例关系。

（3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

[好]用十字相乘法因式分解详解附同步练习及答案11页

用十字相乘法因式分解详解附同步练习及答案【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ；（2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-；（4）633687b b a a --；（5）234456a a a --；（6）422469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn212．－2，3x ＋1或x ＋2 13．17 14．（1）原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x（2）原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x（3）原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4）原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5）原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a（6）原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1）原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2）原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x )32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3）原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x)1)(2)(455(2+-++=x x x x（4）原式)5)(12(22-+-+=x x x x)5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5）原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a 16．（1）原式)1]()[(+++-=x b a x b a （2）原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x)2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x )2)(43(-++-=y x y x11 / 11 （4）原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x)3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5）原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x 120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6）原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x)3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。

人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)

因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】把a 视为未知数，其它视为参数。

八年级数学上十字相乘法

（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2 (9) 2x2-7x+3 (10) 5x2+6xy-8y2
大家好
24
谢谢
大家好
25
大家好
3
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
等式左边是两个一次二项式（相乘）
右边是（
二次三）项式
竖分常数交叉验，
大家好横写因式不能乱7。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
常数项 (1).因式分解竖直写;
(+1)＋(+2)＝+3
x
1
∴x
2
一次项系数 (2).交叉相乘验中项; 十字交叉线 (3).横向写出两因式;
解：原式 (x 1)(x 2)
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11
3、x n+1+3xn+2xn-1
4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
大家好
19
课外拓展:
若A B 0 ，下面两个结论对吗？（1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。

十字相乘法教案

3.因式分解：（1） 5x 6观察以下过程: .Y +6+2⑵ x 2- x - 6 （八年级数学）整式的乘法一一因式分解（ 4）第十六课时1542 十字相乘法一课前展示，精彩一练二、学习目标：1、掌握用十字相乘法分解二次三项式。

三、创设激趣，导入新课四、学习过程：（一）、预习与新知：1 •问题：我们能用“提取公因式法”、“公式法”分解下列式子吗?2.回忆： (x p)(x q)二反之：x 2(p q)x pq =(1) x 2 5x 62 (2) x -x 「6()托 + ( h 二-2x -x-6 =（）（）2 2思考：以上的二次三项式x 5x 6 , x -x-6分解因式有什么规律? 以上这种进行因式分解的方法称为十字相乘法。

（二八课堂展示：4、试一试：因式分解（1）x2 -5x -62(4)x —3x — 4（三）、随堂练习：A组1、利用十字相乘法将下列二次三项式分解因式：2 (1) x 3x 2 （2）X2 - 3x 2(3)x2 2x -3 （4）x2 -2x -3(5)x2 4x-12 （6）x2-5x -245、把下列多项式因式分解:2（1）x -3x -10 （2）x2「x「22 (2) x -5x 6(3) x2 3x -4(3)x2 -6x 8(4) x -2x -152(5) x -x -122(6) x -10x 24例 1: x 2 6xy 5y 21.把下列多项式因式分解:(1) x 2 7xy 12y 22 2 (2) a ab - 30b 2 2(3) m 7mn 10n2 2 (4) a -11ab 10b 2例 2： x - x-6 =( )(x y 2 - (x y) _ 6 =(1、将下列多项式分解因式:(1) (x +y 2 +(x + y) -6 2(2) x-y -2(x-y)-3x 的二次三项式。

) (提示：把y 看成常数，这个式子是关于解，原式=(x )(x )(3)x— y 27(x—y) 122(4)(m n) - 3(m n) 23、把下列多项式分解因式:(1) x2y28xy 12C组能力拓展1、计算：(2x 3)(3x -1) =2、因式分解：6x2 7x -3 =听老师讲解方法规律：练习；因式分解：(1) 6x2 x-1五•小结与反思2 2(2) a b —7ab 102(2) 2x x -6。

八年级数学寒假辅导讲义专题02 十字相乘法与增根全解(解析版)_001

专题02 十字相乘法与增根全解解题核心一、十字相乘法因式分解（形如ax2+bx+c）1. 二次项系数为1时x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）方法特点：拆常数项，凑一次项.当常数项为正数时，分解成同号的因数，符号与一次项符号相同；当常数项为负数时，分解成异号的因数，绝对值较大数的符号与一次项符号相同；例：x2+4x+3→ x2+4x+3=（x+1）（x+3）x2－5x－6→ x2－5x－6=（x+1）（x－6）2. 二次项系数不为1时ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）此类特点：拆两头，凑中间1. 当二次项系数为负数时，提取符号，将其转变为正数2. 二次项系数只分解成两个正数的乘积3. 常数项分解参考上一类4. 分解后横向写结果.例：2x2－3x－5→ 2x2－3x－5=（x+1）（2x－5）3. 多字母例：4x2－3xy－y2→ 4x2－3xy－y2=（x－y）（4x+y）二、分式方程的增根与无解1. 增根意义：（1）增根是所给分式方程去分母后整式方程的根；（2）（1）中的根使分式方程分母为0.2. 分式方程无解与增根无解：分式方程化成整式方程后，（1）整式方程无解；（2）整式方程的所有的解均为增根. 增根：①是分式方程转化为整式方程后的解；②该解使得原分式方程分母为0.*分式方程无解≠分式方程有增根；分式方程有增根≠分式方程无解.若分式方程无解，且分式方程转化整式方程后有解，则该解必为增根.释义：1. 分式方程10x= 去分母得：1=0×x ，此方程无解； 2. 分式方程20x x= 去分母得：x 2=0，解得x=0，此时分母为0，无意义，故x=0是分式方程的增根，此方程无解；3. 分式方程()10x x x-= 去分母得：x （x －1）=0，解得x=0或x=1，x=0是分式方程的增根，分式方程的解为x=1. 4. 若分式方程21x m x -=+无解，求m 值. 去分母得：x －m=2x+2，x=－m －2，原方程无解，则x=－1，即－m －2=－1，m=－1.5. 若分式方程21x m x -=+m 无解，求m 值. 去分母得：x －m=2mx+2m ，(1-2m)x=3m ，因为原方程无解，则：1-2m=0或3112m m=--，即m=0.5或m=-1.★解分式方程时一定要“检验”！【题型一】十字相乘【例1－1】（1）x 2+14x+24；（2）a 2－15a+36；（3）x 2+4x －5【答案】（1）原式= (x+2)(x+12)（2）原式= (a-3)(a-12)（3）原式= (x+5)(x-1)【例1－2】（1）x2+x－2；（2）y2－2y－15；（3）x2－10x－24【答案】（1）原式= (x+2)(x-1) （2）原式= (y-5)(y+3) （3）原式= (x-12)(x+2)【例1－3】（1）5x2+7x－6；（2）3x2－7x+2；（3）10x2－17x+3；（4）－6t2+11t+10【答案】（1）原式= (x+2)(5x-3) （2）原式= (x-2)(3x-1) （3）原式=-(2t-5)(3t+2)【例2－1】（1）x2-3xy+2y2；（2）m2-6mn+8n2；（3）a2-ab-6b2【答案】（1）原式= (x-2y)(x-y) （2）原式= (m-2n)(m-4n) （3）原式= (a-3b)(a+2b)【例2－2】（1）15x2+7xy-4y2；（2）12x2-11xy-15y2【答案】（1）原式= (3x-1)(5x+4)（2）原式= (3x-5)(4x+3)【例3－1】（1）（x+y）2-3（x+y）-10；（2）（a+b）2-4a-4b+3（3）12（x+y）2+11（x2-y2）+2（x-y）2【答案】（1）原式=（x+y-5）（x+y+2）（2）原式=（a+b）2-4（a+b）+3=（a+b-1）（a+b-3）（3）原式=12（x+y）2+11（x+y）（x-y）+2（x-y）2 =（3x+3y+2x-2y）（4x+4y+x-y）=（5x+y）（5x+3y）【例3－2】（1）（x2-3）2-4x2；（2）（x2+x）2-17（x2+x）+60（3）（x2+2x-3）（x2+2x-24）+90【答案】（1）原式=（x2-3+2x）（x2-3－2x）=（x+3）（x-1）（x-3）（x+1）（2）原式=（x2+x-12）（x2+x-5）=（x+4）（x-3）（x2+x-5）（3）令x2+2x=t，原式=（t-3）（t-24）+90=t2-27t+162=（t-9）（t-18）=（x 2+2x-9）（x 2+2x-18）【例4－1】（2020·长沙市月考）如果关于x 的不等式组213272x x x a+⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩有且仅有2个整数解，并且关于y 的分式方程45333y a a y y++=--有整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（） A ．24B ．15C ．12D ．7【答案】C. 【解析】解：213272x x x a +⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩①②解①得：x≥−2，解②得：x ＜27a -，不等式组的解集为−2≤x ＜27a -，因为不等式组有且仅有2个整数解，所以−1＜27a -≤0．解得2≤a ＜9分式方程去分母得：y ＋4a−5a ＝3（y−3），解得：y ＝92a -．经检验：a ＝5或7是分式方程的解．则所有整数a 的和为12．故答案为：C ．【例4－2】（2020·重庆月考）若关于x 的分式方程4222a x x-=--的解为正整数，且关于y 的不等式组25220y y y a -⎧+<⎪⎨⎪-≤⎩无解，则满足条件的所有整数a 的值之和是（）A ．18-B ．14-C ．10-D ．6-【答案】D.【解析】解不等式组，y>83，y≤a∵不等式组无解，∴a≤83，分式方程去分母得，4+a=2x-4，解得，x=82a +，∵分式的解为正整数，∴82a+>且822a+≠，∴883a-<≤且4a≠-∴整数a=-6，-2，0，2，∴整数a之和为：-6．故答案为：D．【例4－3】（2020·重庆月考）若关于x的一元一次不等式组12(35)334333x axx⎧--≤⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解，且关于y的分式方程223211y a yy y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7 B．8 C．14 D．15 【答案】C.【解析】解：解不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩，得16x ax-⎧⎨>⎩，∵不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解，∴a-1≤6，即a≤7，解分式方程，得y=12a+，为非负整数，且a≤7，∴a=-1或1或3或5或7，a=1时，y=1，原分式方程无解，a=1舍去，符合条件的所有整数a 的和是14，故答案为：C ．【例5－1】（2020·河北石家庄市期中）若关于x 的分式方程3mx x -－2＝23m x -无解，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．无法确定【答案】C.【解析】解：分式方程去分母，得：（m-2）x=2m-6，由分式方程无解，①m-2=0，m=2，②x −3=0，即x =3，把x =3代入整式方程得：m =0，故答案为：C ．【例5－2】（2020·长沙市月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：（1）已知关于x 的方程2112mx x -=+的解为负数，求m 的取值范围；（2）若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解．求n 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）去分母，得2mx-1=x+2，当2m-1≠0时，解得：x=321m -， ∵ 方程有解，且解为负数， ∴2103221m m -<⎧⎪⎨≠-⎪-⎩，解得m ＜12且m≠14-；（2）分式方程去分母整理得：（n-1）x=2，当n －1=0时，方程无解，此时n =1；当n-1≠0时，x=21n -，要使方程无解，则21n -=3，解得：n=53；综上，n=53或n =1．【例5－3】（2020·湖南株洲市期中）若分式方程144-=--x m x x 无解，则m =__________．【答案】3.【解析】解：方程去分母得：m ＝x ﹣1，解得：x ＝m +1，∴当x ＝4时分母为0，方程无解，即m +1＝4，∴m ＝3时方程无解．故答案为：3.【例5－4】（2020·新乐市月考）若关于x 的分式方程223111m x x x -=+--无解，则m =________．【答案】32-或2. 【解析】解：去分母可得：（m-2）x=m+5，当m-2=0时， ∴ m=2，此时方程无解，满足题意，当m-2≠0时，x=52m m +-，由于该分式方程无解，x 2-1=0，x=1或x=-1 即52m m +-=-1或1，解得：m=32-，故答案为：32-或2．【例5－5】（2020·黑龙江齐齐哈尔市期末）如果方程322x m x x-=-- 无解，则m=___________．【答案】1.【解析】解：去分母，得x －3=﹣m ，∵原方程无解，∴x －2=0，即x =2，把x =2代入上式，得2－3=﹣m ，所以m =1．故答案为1．【例6－1】（2020·四川省成都期中）关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？【答案】见解析.【解析】解：原方程整理得：8x=k+3∵该分式方程有解，∴x≠0，且x≠1，即k+3≠0且k+3≠8，解得：k≠-3且k≠5．【例6－2】（2020·北京师大附中期中）当k 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x k x x x x ++-=-+-+的解为负数. 【答案】见解析.【解析】解：分式方程解得：x=35k -， ∵方程的解为负数，且使得分式有意义， ∴305325335k k k -⎧<⎪⎪-⎪≠⎨⎪⎪-≠-⎪⎩，解得k ＜3且k≠-12．【例6－3】（2020·黑龙江绥化市模考）关于x 的分式方程2111x a x x -=+-的解为负数，则a 的取值范围____．【答案】见解析.【解析】解：原方程化为：x=1-a ，∵分式方程的解为负数，∴1-a ＜0，∴a>1∵x≠1，且x≠-1，∴1-a≠-1，得a≠2故答案为：a＞1且a≠2．【例6－4】（2020·长沙市月考）已知关于x的分式方程2311x kx x-=--的解为正数，则k的取值范围为________．【答案】k<32且k≠12.【解析】解：去分母得，x-3（x-1）=2k解得：x=322k -，∵分式方程的解为正数，∴322k->，且3212k-≠解得，k<32且k≠12故答案为：k<32且k≠12．【例7－1】（2020·山东济南市期中）若关于x的方程12x-+3＝12axx--有增根，则a＝_____．【答案】1.【解析】解：去分母，得1+3x﹣6＝ax﹣1，∵方程有增根，所以x﹣2＝0，x＝2是方程的增根，将x＝2代入上式，得1+6﹣6＝2a﹣1，解得a＝1，故答案为1．【例7－2】（2020·昌乐县期中）若关于x的分式方程4333x ax x--=--有增根，则a的值是______．【答案】－1.【解析】解：原分式方程解得：x=52a -∵分式方程有增根，∴52a-=3，解得a=-1．故答案为：-1．【例7－3】（2020·浙江杭州市模拟）关于x 的方程32211x m x x --=++有增根，则m 的值为___．【答案】-5.【解析】解：分式方程解得：x=m+4，因为分式方程由增根，即x=-1∴m+4=-1即m=-5故答案为-5.【例7－4】（2020·四川成都市期中）已知关于x 的分式方程222242mx x x x +=--+．若方程有增根，则m 的值为_______．【答案】±4. 【解析】解：分式方程变为：mx=-8，由方程有增根，得x=2或x=-2∴m=-4或m=4故答案为：±4. 【例7－4】（2020·浙江杭州市模拟）关于x 的方程213242ax x x x +=--+有增根，则a 的值为_______．【答案】-2或6.【解析】解：方程整理得：（2-a ）x=8，∵原方程有增根，∴x=2或x=-2∴a=-2或a=6故答案为：-2或6．【例7－5】（2020·湖南岳阳市期中）若关于x 的分式方程355x a x x -=--有增根，则a 的值为__________．【答案】5.【解析】解：原方程两边同时乘以（x-5）得：x-3（x-5）=a ，由题意，x=5，∴a=5，故答案为5 ．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

十字相乘法
定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式2
x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：
（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、号(若0c <，则p q 、号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号。

（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
例1.把下列各式分解因式：
（1）1032--x x （2）62-+y y （3）1492++t t
（4）2232y xy x -- （5）562+-t t （6）1832
-+m m
首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即____a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即____c =，把1212a a c c ，，，排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到122a c a c +
，若它正好等于二次三项式 2a x b x c
++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
例2.将下列各式分解因式：
（1）8652-+x x ；（2）262--x x ；（3）223415x
xy y --
（4）225136x xy y +- （5）2231114x xy y -- （6）2()4()3x y x y +-++
分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。

公式：
类型：（1）分组后能提公因式；（2）分组后能运用公式。

例3.分解因式：
（1）y x y x +--22 （2）1222-+-y xy x （3）12422-+-y y x
因式分解的一般步骤：一提二代三分组
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；
②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；
③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；
④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。

课堂同步练习：
1.652+-x x 可以分解因式为（）
A.)1)(6(+-x x
B.)3)(2(--x x
C.)1)(6(-+x x
D.)2)(3(+-x x
2.把代数式a ax ax 442+-分解因式，下列结果正确的是-----（）
A.2)2(-x a
B.2)2(+x a
C.2)4(-x a
D.)2)(2(-+x x a
3.已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数为（）
A.3个
B.4个
C.6个
D.8个
4.对下列多项式进行分解因式：
(1)4542--x x
(2)1200102--n n (3)1272+-y y
(4)872-+x x
(5) 432--x x (6)822--x x
(7)722-+m m
(8)y y y --82 (9) 91024+-t t
(10)30)2()2(2-+-+n m n m
(11) 1+++b a ab (12) y x xy x 6322+--
(13)22242b c ab a +-- (14)8)3(2)3(222-+-+x x x x (15)3224-+x x
5.若22560a ab b +-=（a b ≠），求2233a b a b
-+的值。

6.求证：当n 是整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数.
7.求代数式x 2+8x+11的最小值.
8.当代数式-2x 2-12x+9的最大值时,对应的x 的值为多少？
十字相乘法测试题
将下列多项式进行因式分解：
(1)232++x x (2)672+-x x (3)2142--x x (4)1522-+x x
(5)8624++x x
(6)3)(4)(2++-+b a b a (7)2223y xy x +- (8)234283x x x --
(9)342++x x
(10)1072++a a (11)1272+-y y (12)862+-q q
(13)202-+x x
(14)1872-+m m (15)3652--p p (16)822--t t
(17)2024--x x
(18)8722-+ax x a (19)22149b ab a +- (20)221811y xy x ++
(21) a2－7a+6； (22)8x2+6x－35； (23)18x2－21x+5；
(24)20－9y－20y2； (25)2x2+3x+1； (26)2y2+y－6；(27)6x2－13x+6； (28)3a2－7a－6； (29)6x2－11x+3；(30)4m2+8m+3； (31)10x2－21x+2； (32)8m2－22m+15；
(33)4n2+4n－15； (34)6a2+a－35； (35)5x2－8x－13；。