武宣县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

武宣县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
2．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）
A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确
3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）
A．1 B．C．D．
4．集合U=R，A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合是（）
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}
5． 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上
的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，
PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐 近线平行且距离为
2
，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．5 B ．2 C ．2 D ．2 6． 设集合P={3，log 2a}，Q={a ，b}，若P ∩Q={0}，则P ∪Q=（ ） A ．{3，0}
B ．{3，0，1}
C ．{3，0，2}
D ．{3，0，1，2}
7． 方程()2
111x y -=-+表示的曲线是（ ）
A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆 8． “
”是“A=30°”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也必要条件
9． 经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=
C ．1x =或1y =
D ．20x y +-=或0x y -=
10．若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直
11．设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}
B ．{﹣1，4}
C ．{﹣1，2}
D ．{2，4}
12．设函数F （x ）=
是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x
∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），f
D ．f （2）＜e 2f （0），f
二、填空题
13．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ． 14．命题“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
15．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．
16．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a .
17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
18．【南通中学2018届高三10月月考】定义在
上的函数
满足
，
为的导函数，且
对
恒成立，则
的取值范围是__________________.
三、解答题
19．设函数f （x ）=1+（1+a ）x ﹣x 2﹣x 3，其中a ＞0． （Ⅰ）讨论f （x ）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x ∈时，求f （x ）取得最大值和最小值时的x 的值．
20．永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x 元．
（1）写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y （元）与每盒蜜饯的销售价格x 的函数关系式； （2）当每盒蜜饯销售价格x 为多少时，该特产店一天内利润y （元）最大，并求出这个最大值．
21．设集合{}
{}2
|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =
，判断集合A 与B 的关系；
，求实数组成的集合C．
（2）若A B B
22．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，b=2求a，c的值．
23．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l2与l1垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S△ABC=2，求直线l2的方程．
24．已知函数f（x）=e x（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若存在实数k，使得x∈[﹣2，﹣1]时f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围．
武宣县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．2．【答案】B
【解析】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，
∴∠AEA1=90°，
又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
∴A1D1⊥AE，
∴AE⊥平面A1ED1，
故选B
【点评】本题考查线面角的求法，根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角，还有两个特殊角，而立体几何中求角的方法有两种，几何法和向量法，几何法的思路是：作、证、指、求，向量法则是建立适当的坐标系，选取合适的向量，求两个向量的夹角．
3．【答案】C
【解析】解：第一次循环第二次循环得到的结果第三次循环得到的结果
第四次循环得到的结果
…
所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S
∵2011=502×4+3
所以输出的S 是 故选C
4． 【答案】B
【解析】解：由Venn 图可知，阴影部分的元素为属于A 当不属于B 的元素构成，所以用集合表示为A ∩（∁U B ）． A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}={x|﹣1＜x ＜2}，B={x|y=ln （1﹣x ）}={x|1﹣x ＞0}={x|x ＜1}， 则∁U B={x|x ≥1}，
则A ∩（∁U B ）={x|1≤x ＜2}． 故选：B ．
【点评】本题主要考查Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知()1,0到直线0bx ay -=的距离为
22=
，得a b =，则为等轴双曲
故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将用,a c 表示,令两边同除以或2
a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
6． 【答案】B
【解析】解：∵P ∩Q={0}， ∴log 2a=0 ∴a=1
从而b=0，P ∪Q={3，0，1}， 故选B ．
【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程1x -=2
2
1x -=，即22
(1)(1)1x y -++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.
考点：曲线的方程.
8．【答案】B
【解析】解：“A=30°”⇒“”，反之不成立．
故选B
【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．
9．【答案】D
【解析】
考点：直线的方程.
10．【答案】B
【解析】解：∵=（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥，
因此l⊥α．
故选：B．
11．【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．
12．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=，
∴函数的导数F′（x）==，
∵f′（x）＜f（x），
∴F′（x）＜0，
即函数F（x）是减函数，
则F （0）＞F （2），F （0）＞F ＜e 2
f （0），f ，
故选：B
二、填空题
13．【答案】1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域． 14．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 15．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r （x 6）n ﹣r
（
）r
=C n r
=C n r
令
=0，得n=
，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n 的表达式，推测出它的值．
16．【答案】-1 【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

17．【答案】x﹣y﹣2=0．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
18．【答案】
【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f ′（x ）=0，得x 1=，x 2=，x 1＜x 2，
∴由f ′（x ）＜0得x ＜，x ＞；
由f ′（x ）＞0得＜x ＜；
故f （x ）在（﹣∞，）和（
，+∞）单调递减，
在（，
）上单调递增；
（Ⅱ）∵a ＞0，∴x 1＜0，x 2＞0，∵x ∈，当
时，即a ≥4
①当a ≥4时，x 2≥1，由（Ⅰ）知，f （x ）在上单调递增，∴f （x ）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由（Ⅰ）知，f （x ）在单调递增，在上单调递减，
因此f （x ）在x=x 2=
处取得最大值，又f （0）=1，f （1）=a ，
∴当0＜a ＜1时，f （x ）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f （x ）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a ＜4时，f （x ）在x=0处取得最小值．
20．【答案】
【解析】解：（1）当0＜x ≤20时，y=[20+4（20﹣x ）]（x ﹣8）=﹣4x 2
+132x ﹣800，
当20＜x ＜40时，y=[20﹣（x ﹣20）]（x ﹣8）=﹣x 2
+48x ﹣320，
∴
（2）①当
，
∴当x=16.5时，y 取得最大值为289， ②当20＜x ＜40时，y=﹣（x ﹣24）2+256， ∴当x=24时，y 取得最大值256，
综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．
21．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】
考点：1、集合的表示；2、子集的性质.
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得：
2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC，
整理得：2cosBsinC﹣sinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosB=，
则B=60°；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为=acsinB=ac，解得：ac=4，①
又∵b=2，由余弦定理可得：22=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，
∴解得：a+c=4，②
∴联立①②解得：a=c=2．
23．【答案】
【解析】解：（1）由圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2，
可知交点坐标为（2，﹣2），
∴（2﹣a）2+（﹣2）2=a2，解得：a=2，
所以圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2=4，
（2）由（1）可知圆C的圆心C的坐标为（2，0）
由直线l2与直线l1垂直，直线l1：y=﹣x可设直线l2：y=x+m，
则圆心C到AB的距离d=，
|AB|=2=2
所以S△ABC=|AB|•d=•2•=2
令t=（m+2）2，化简可得﹣2t2+16t﹣32=﹣2（t﹣4）2=0，
解得t=（m+2）2=4，
所以m=0，或m=﹣4
∴直线l2的方程为y=x或y=x﹣4．
24．【答案】
【解析】解：（I）f'（x）=e x（ax+a+b）+2x+2…
依题意，，即，解得．…
（II）由f（x）≥x2+2（k+1）x+k得：e x（x+1）≥k（2x+1）．
∵x∈[﹣2，﹣1]时，2x+1＜0，
∴f（x）≥x2+2（k+1）x+k即e x（x+1）≥k（2x+1）恒成立，
当且仅当…
设，
由g'（x）=0得…
当；
当∴上的最大值为：
…
所以常数k的取值范围为…
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程，闭区间是函数的最值的求法，构造法的应用，难度比较大，是高考常考题型．。