2011高考数学课下练兵：平面向量的基本定理用坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示
课题 平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21, 使 。
其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。
注意：(1) 我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作 OA ,a OB b ，则 叫做向量a 与b 的夹角。
如果, AOB 则 的取值范围是 。
当 时，表示a 与b 同向； 当 时，表示a 与b 反向； 当 时，表示a 与b 垂直。
记作：a b r r .在不共线的两个向量中，90 o ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使得____________，这样，平面内的任一向量v a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做v a 在x 轴上的坐标，y 叫做va 在y 轴上的坐标。
练习1、已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2AB CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a u u u r r ，AB b u u u r r 。
试用,a b r r 为基底表示DC u u u r BC u u u r 、.例2、已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，43OA u u u r ，60xOA o ，求向量OA u u u r 的坐标.练习3、已知点A （2，2）， B （-2，2）， C （4，6） ， D （-5，6）， E （-2，-2）， F （-5，-6）求向量u u u v u u v u u v AC BD EF 的坐标。
平面向量基本定理及坐标表示
B.(2, 1) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D（x，y),∵AD =(x,y-2)B,C =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（B ）
2
8-2x= (16+x)
题型分类 深度剖析
题型一 平面对量基本定理 【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，
M，N分别为DC，BC旳中点，已知AM =c， AN =d，试用c，d表达AB ，AD .
思维启迪 直接用c、d表达AB、AD有难度，可换一 种角度，由 AB、AD表达 AM、AN ，进而解方程组可 求 AB、 A.D
(x-4)2+(y-1)2=1,
2分 4分 6分
8分
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.
y
1
25 5
y
1
2
5
5
10分
d ( 20 5 , 5 2 5 )或d ( 20 5 , 5 2 5 ). 12分
5
5
5
5
探究提向升量平行旳坐标公式实质是把向量问题转 化为实数旳运算问题.经过坐标公式建立参数旳方 程，经过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程 思想在向量中旳应用.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4， 5）且 OP OA t AB, （1）求点P在第二象限时，实数t旳取值范围； （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出 相应旳实数t;若不能，请阐明理由. 解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）， ∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则OP =（x，y），若点P在第 二象限， 则 x＜0 且(x,y)=(1,2)+t(3,3), y＞0
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)43[解析] (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →[答案] C[解析] 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.[答案] 34[解析] 由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.考点二、平面向量的坐标运算【例2】(1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.【类题通法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【对点训练】1．已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)[答案] D[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.[答案] －3[解析] 由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.考点三、平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3(2) 已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.[答案] (1)C (2) (8，－15)[解析] (1)由题意可知a ＋b ＝(2,1＋m )， ∵a ∥(a ＋b )，∴2＋(m ＋1)＝0⇒m ＝－3.(2) 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 【类题通法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【对点训练】1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. [答案] －54[解析] AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.2．已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. [答案] (－2，－4)[解析] 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， 所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).。
平面向量基本定理及向量坐标表示
平面向量基本定理及向量坐标表示一、平面向量基本定理平面向量基本定理是平面向量运算中的重要基石。
基本定理表明，一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
设有平面向量 a 和 b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：a和b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：v = k1a + k2b = k1a + k2b其中，k1 和 k2 是实数，称为 a 和 b 的系数，v 是由 a 和 b 组成的平面向量。
a和b的系数，v是由a和b组成的平面向量。
这一定理的证明较为简单，可根据向量加法和数量乘法的定义进行推导。
二、向量坐标表示向量坐标表示是在向量运算中常用的表示方法。
它将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，便于进行计算和研究。
以平面向量为例，设平面上有向量 v，其起点坐标为 (x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量 v 的坐标表示为：v，其起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量v的坐标表示为：其中，Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
同样，可以进行类似的推导，将三维空间中的向量用坐标表示。
向量坐标表示可以便捷地进行向量的加法、减法和数量乘法等运算，是向量分析的基础。
三、小结本文介绍了平面向量基本定理及向量坐标表示。
平面向量基本定理表明一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
向量坐标表示将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，方便进行运算和研究。
了解和掌握平面向量基本定理和向量坐标表示，对于进一步学习和应用向量运算具有重要意义。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
高考数学 平面向量的基本定理及坐标表示
高考数学 平面向量的基本定理及坐标表示题组一 平面向量基本定理及其应用 1.在平行四边形AE 的延长线与CD 交于点F .若AC u u u r ＝a ，BD u u u r ＝b ，则AF u u u r ＝ ( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b解析：如图所示，由△DEF ∽△BEA 知AF u u u r ＝AC u u u r ＋CF u u u r ＝a ＋23CD u u u r＝a ＋13(b －a ) ＝23a ＋13b . 答案：B2．(2010·温州模拟)已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使平平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________． 解析：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ，∴a 与b 不共线，即2m －3≠3m ，∴m ≠－3.答案：{m ∈R|m ≠－3}3．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r ＝________(用a 、b 表示)．解析：由AN u u u r ＝3NC u u u r 得4AN u u u r ＝3AC u u u r ＝3(a ＋b )，AM u u u u r ＝a ＋12b ，所以MN u u u u r ＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b题组二 平面向量的坐标运算4.在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG u u u r ＝2GD u u u r ，则点C 的坐标是 ( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析：设C (x ，y )，则D (8＋x 2，－4＋y 2)，再由AG u u u r ＝2GD u u u r 得(0，－4)＝2(4＋x 2，－2＋y 2)，∴4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，即C (－4，－2)．答案：B5．若α，β是一组基底，向量γ＝x ·α＋y ·β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：由已知a ＝－2p ＋2q ＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a ＝λm ＋μn ＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝2λ＋2μ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0μ＝2， ∴a ＝0m ＋2n ，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案：D 6．(2010·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．OC u u u r ＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表正确的是 ( )解析：OC u u u r ＝λa ＋μb ＝λ(3,1)＋μ(1,3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)．∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ＋μ≤4,0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ.答案：A题组三 平行(共线)向量的坐标表示 7.(2009·北京高考)b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．依题意d ＝a －b ＝(1，－1)，又c ＝ka ＋b ＝(k,1)，∵c ∥d ，∴12－(－1)·k ＝0，∴k ＝－1，又k ＝－1时，c ＝(－1,1)＝－d ，∴c 与d 反向．答案：D8．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，且a ∥b ，则锐角θ等于 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由a ∥b 可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°. 答案：B9．已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝xb ＋yc 的实数x ，y 的值；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)∵a ＝xb ＋yc ，∴(3,2)＝x (－1,2)＋y (4,1)＝(－x ＋4y,2x ＋y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋4y ＝3，2x ＋y ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝59，y ＝89.(2)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，∴2(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足|CA u u u r ＋CB u u u r |＝|CA u u u r －CB u u u r |，则C 点的轨迹方程是 ( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．3x －2y －11＝0解析：由|CA u u u r ＋CB u u u r |＝|CA u u u r －CB u u u r |知CA u u u r ⊥CB u u u r ，所以C 点的轨迹是以A 、B 为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.答案：C11．△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )与q ＝(b－a ，c －a )是共线向量，则角C ＝________.解析：∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 答案：60°12.如图所示，已知点A(4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：设OP u u u r ＝t OB u u u r ＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP u u u r ＝OP u u u r －OA u u u r ＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC u u u r ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP u u u r ，AC u u u r 共线的充要条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. ∴OP u u u r ＝(4t,4t )＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP u u u r ＝(x ，y )，OB u u u r ＝(4,4)．∵OP u u u r ，OB u u u r 共线，∴4x －4y ＝0. ①又CP u u u r ＝(x －2，y －6)，CA u u u r ＝(2，－6)，且向量CP u u u r 、CA u u u r 共线．∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0. ②解①，②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．。
高三数学向量基本定理及坐标表示
CBO BO C1ab, 5
又因为A，M，D三点共线，
所以
m
1 5
n
1 1
5
即5m+n=1.
解得 m2n1, 5mn1,
m1, 9
n4,
9
所以 OM1a4b
99
变式1-1
【例1】(2010·株洲模拟)在如图所示的平行四边形ABCD中，
AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=
.
解： MN=MC+C12 N=
x1y2-x2y1=0
a= λb
基础达标
1. (原创题)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则向量2a+3b-
c的坐标1为( )
A
A. (-3,4)2 B. (3,4) C. (1,5) D. (3,-5)
解析：2a＋3b－12
c＝2(1,1)＋3(－1,1)－1 2
(4,2)＝(2,2)＋
②设 OAxiy，j 则__向 ___量 __O _A _的 __坐 __标 __（ ___x , y ） 就是终点A的坐
标，即若 OA(x,y，) 则A点坐标为____(x_，__y_) ，反之亦成立
(O是坐标原点)．
2. 平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算
向量 a
b
a+b
a-b
C=
2
1 4
b-
(a+b1)=- 1 a+
4
4
b.
解：∵G是△ABO的重心,
∴OG=2 OC=1 (OA+OB1)= (a+b),
3
3
3
∴GP=OP-OG=m1 a- (a+b)=（1 m- ）1 a- b,
平面向量的坐标与基本定理
平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。
一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。
例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。
那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。
2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。
（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。
二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。
即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。
2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。
即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。
设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。
三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。
如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。
2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。
(完整word版)平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.选择题：设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 解析 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB→＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)，由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，∴m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A已知在□ABCD 中，AD→＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12) 解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )A.23B.43 C ．－3 D ．0解析 ∵CD→＝2DB →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析 ∵AB→＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，∴AB→＝85AN →－45AM →，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析 ∵(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴x ＋y ＝－3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，∴u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u ∥v ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________解析 AB→＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54在□ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．已知□ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________ 解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为_______解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．如图，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 解析：设BP→＝kBN →，k ∈R .∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 且AP→＝mAB →＋211AC →，∴1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.在□ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)解析 如图，MN→＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2如图，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝____________解析 AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，则(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，∴1a ＋1b ＝12.设OA→＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意得AB→＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，∴(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________解析 若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB→，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12解答题：已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标．解析 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴AM→与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)， ∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．4 解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，∴O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，∴x ＝23，y ＝13.已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC→＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 解析∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心． 如图所示，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM→＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA→＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算好啦，今天我们来聊聊平面向量的基本定理和坐标运算。
这可是个很有趣的话题，别被那些数学术语吓跑哦！你知道吗，向量其实就像是一把钥匙，可以打开很多数学大门。
听上去挺高大上的，但实际上，我们生活中处处都离不开它们，就像你每天都离不开饭一样。
想象一下，你在操场上跑来跑去，运动会的时候，标记你起跑的地方和终点的地方。
用坐标来表示，就是一个个的点，比如 (2, 3) 代表着你起跑的地方，(5, 7) 是终点。
平面向量就像是连接这两个点的一根线，从 A 点到 B 点的过程就叫做向量的运算。
听起来是不是有点神秘？其实也没那么复杂。
向量不仅有方向，还有长度，这样一来，我们就能把它当成一个小箭头，指向目标，越远越好，嘿嘿。
再来看看坐标运算，简单来说，就是把这些向量在坐标系上转来转去。
比如说你要把一条向量从起点搬到终点，怎么搬？很简单，向量的加法就可以搞定。
想象一下，你有一个从 (2, 3) 到 (5, 7) 的向量，再加上一个从 (5, 7) 到 (8, 10) 的向量，结果就是从 (2, 3) 直接到 (8, 10)。
这就像你在操场上先跑到朋友那儿，然后一起跑到更远的地方，简直爽翻了。
向量的减法也好玩，想象你在吃汉堡，先吃了一个大汉堡，接着又吃了一个小汉堡。
这样一来，你的胃口就会受到影响嘛，向量的减法就是把一部分“胃口”给减掉。
把(5, 7) 的向量减去 (2, 3)，就好比把你吃过的那部分减掉，最后留下的结果就是 (3, 4)。
这就像是记账，进账和出账的过程，清清楚楚，明明白白。
平面向量的基本定理告诉我们，两个向量如果相加，结果其实就是个新向量。
这和我们日常生活的积累特别像，不管是友情还是经历，都是点点滴滴积累起来的。
你在学校交了朋友，跑步时又认识了新伙伴，这些都是向量的相加。
每个人都是一个小向量，带着自己独特的方向和长度，拼凑起来就是一幅美丽的画面。
再说说方向和大小，向量的大小就是它的长度，方向就是箭头指向的地方。
高中 平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识点+例题
辅导讲义――平面向量的基本定理及向量坐标运算教学内容1．平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解. 当e 1、e 2所在的直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.[例1] 若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是（ C ）A ．b a 2-与b a 2+-B ．b a 53-与b a 106-C ．b a 2-与b a 75+D ．b a 32-与b a 4321- [巩固] 已知向量a ，b 非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（ A ）A ．b a +，b a -B ．b a -，a b -C ．b a 21+，b a +2 D ．b a 22-，b a - [例2] 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若AC n AB m BE +=，则n m +的值是__________.21-[巩固1] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，CB CA CD μλ+=，则μλ的值为_________.21[巩固2] 设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AB AD 41=，BC BE 32=，若),(2121R AC AB DE ∈+=λλλλ，则21λλ+的值为_________.43[巩固3] 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OB y OA x OP +=，且PA BP 3=，则x=_______；y=______.43，41知识模块1平面向量的基本定理 精典例题透析[巩固4] 非零向量a ，b ，m a =，n b =，若向量b a c 21λλ+=，则c 的最大值为___________.n m 21λλ+[例3] 如图，已知Rt △BCD 的一条直角边BC 与等腰Rt △ABC 的斜边BC 重合，若AB=2，∠CBD=︒30，AC n AB m AD +=，n m -=_______.-1[巩固] 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为_________.答案 23解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E .由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝231．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y 使得：a =x i +y j .（x ，y ）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =（x ，y ） 2．平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)， |a |＝2121y x +.知识模块2平面向量的坐标表示[巩固] 已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若b a 2-与c 共线，则k 的值为________.1题型一：平面向量基本定理的应用[例]（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于_______. （2）如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1) 45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.[巩固]已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________.答案 0解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →. 又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，题型二：平面向量的坐标运算[例]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，知识模块3经典题型且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝124．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于________.解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则x ＝_______，y ＝________.解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k ≠1解析 若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.8．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1. 12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于____________. 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b .13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 利用平面向量的加、减法的运算法则将DE →用AB →，AC →表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可． 由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.14．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为_________． 答案3＋222解析 由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222.(当且仅当b ＝2a 时，等号成立) 15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A (1,0)， B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，11。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示题型一：平面向量基本定理及其理解【方法梳理】同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来．它体现了事物间的相互转化，也为今后的解题提供了一种方法．在向量运算及利用向量证明有关问题都有广泛的应用． 【知识链接】1．平面向量基本定理：若1e ，2e是共面 的两个向量，a 是该平面内任意向量，则 ，使a = ．把 的向量1e ，2e叫做表示这一平面所有向量的一组基底．（不共线）2．平面向量基本定理的理解：设a ，1e ，2e 共面，1e ，2e是基底，1122a λe λe =+ ，则：①向量的分解与合成：若1122a λe λe =+ ，则在1e ，2e相同或相反方向上把a 分解成两个向量11λe 与22λe 的和，反之，若1122λe λe a += ，则把两个向量11λe 与22λe合成为向量a ．②表达式的唯一性：1122a λe λe =+唯一12,λλ⇔唯一．③向量的正交分解：当12e e ⊥时，就说1122a λe λe =+ 为对向量a 的正交分解．④向量a的坐标：（详见向量的坐标表示部分）【巩固与应用】 1．判断：（1）设a ，1e ，2e 共面，若1122a λe λe =+ ，则把1e ，2e叫做该平面内所有向量的基底． （2）已知1e ，2e 是平面的一组基底，如果向量a ，1e ，2e 共面，则有且只有一对实数12,λλ，使1122a λe λe =+ ．反之，如果有且只有一对实数12,λλ，使1122a λe λe =+ ，则a ，1e ，2e 共面．2．证明定理中表达式1122a λe λe =+的唯一性．证明：只需证明实数对12(,)λλ唯一．假设存在另一对实数//12,λλ，且/11λλ≠，/22λλ≠，使//1122a λe λe =+ ．由1122a λe λe =+ 得//11221122λe λe λe λe +=+，即//111222()()0λλe λλe -+-= ．由于1e ，2e 不共线，则//11220λλλλ-=-=，这与假 设矛盾，故假设不成立，从而证明实数对12(,)λλ唯一．3．如果1e ，2e是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ） A ．若实数12,λλ使11220λe λe +=，则120λλ==B ．空间任意向量a 都可以表示为1122a λe λe =+，其中12,R λλ∈C ．1122λe λe +不一定在平面α内，其中12,R λλ∈D ．对于平面α内任一向量a ，使1122a λe λe =+的实数12,λλ有无数对4．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内只有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③5．已知1e ，2e是表示平面所有向量的一组基底，那么下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ）A ．1e 和12e e +B ．122e e - 和212e e -C ．122e e - 和2142e e -D ．12e e + 和12e e -题型二：待定系数法求向量表达式（Ⅱ）—用基底向量表示未知向量【方法梳理】1．用平面内的一组基底向量表示平面内的任何一个向量，这是用向量解题的基本功． 2．此类题涉及以下内容：三种线性运算及几何意义；共线向量、平面向量基本定理；有关相似形、比例线段等平面几何知识；方程思想与待定系数法等数学思想和思想方法． 【巩固与应用】例1．在△ABC 中，14OC OA = ，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ，设OA a = ，OB b = ，以a 、b 为基底表示OM ．解：令OM ma nb =+(,R)m n ∈，则AM OM OA =- (1)m a nb =-+ ，AD OD OA =- 1122b a a b =-=-+．因为，,,A M D 三点共线，所以1(1)(1)2m n -⋅=-⋅（或1112m n -=-），即21m n +=． 同理CM OM OC =- 1()4m a nb =-+， CB OB OC =- 1144b a a b =-=-+． 因为,,C M B ，所以11()144m n -⋅=-⋅（或14114m n -=-），即41m n +=． 由21,41,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1,73.7m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以1377OM a b =+ ．1．在△ABC 中，12BD DC = ，3AE ED =，若AB a = ，AC b = ，则BE =（ ）A ．1133a b +B ．1124a b -+C ．1124a b +D ．1133a b -+2．3．在△ABC 中，13AD AB =，14AE AC =，BE 与CD 交于点P ，且A B a = ，AC b = ，用,a b 表示AP题型：向量的坐标表示（Ⅰ）【方法梳理】向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，向量的坐标建立了向量与实数的联系，使向量运算数量化、代数化，使向量运算变得异常简明． 【知识链接】1．向量坐标定义：设i 、j 分别是x 、y 轴上的单位方向向量，a是坐标平面内任意向量，根据平面向量基本定理，存在唯一有序实数对(,)x y ，使a xi y j =+，把数对(,)x y 叫做向量a 的直角坐标，记作(,)a x y =．注：(,)a xi y j a x y =+⇔=．2．坐标运算：（1）设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则a b +=，a b -= ，λa = ．（2）①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB =．②设(,)a x y =是坐标平面内任意向量，若OA a = ，则点A 的坐标为 ．即：以原点为起点的向量的坐标与其终点的坐标 ．结果：(,)x y 、相同③向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 的，但它们的起点、终点的坐标 ． 结果：不同，可以不同，④两个一一对应关系：向量的坐标、原点为起点的向量、原点为起点的向量终点坐标之间存在一一对应关系．3．平面向量共线的坐标表示设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则//a b ⇔ ． 结果：12210x y x y -= 【巩固与应用】例2．已知(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，且3CM C A =，2CN CB = ，试求点,M N 和向量MN的坐标．解：由(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，得 (1,8)CA = ， (6,3)CB =．故3(3,24)CM CA == ，2(12,6)CN CB ==．令(,)M x y ，则(3,4)(3,24)CM x y =++= ，故33,424,x y +=⎧⎨+=⎩解得0,20.x y =⎧⎨=⎩故所求(0,20)M ，(9,2)N ，(9,18)MN =-．1．若向量(3,2)a = ，(0,1)b =-，则向量2b a - 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(3,4)-C ．(3,4)D ．(3,4)--2．若向量(1,1)a = ，(1,1)b =- ，则1322a b -=（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(1,0)-D ．(1,2)-3．在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，若(1,3)AC =- ，(1,1)BD =，则AB =（ ）A ．(0,1)B ．(0,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-6．已知(2,4)AB =-，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标是(2,4)-B ．点A 为坐标原点时，点B 坐标为(2,4)-C ．点B 的坐标是(2,4)-D ．点B 为坐标原点时，点A 坐标为(2,4)-7．已知(2,3)A ，(1,5)B -，且3AC AB =，则点C 的坐标为（ ）A ．(7,9)-B ．(5,8)-C ．(5,7)-D ．(7,7)-8．已知(1,3)A -，(3,4)a =，且2AB a = ，则点B 的坐标为 ．9．设四边形ABCD 的四个顶点分别为(4,8)A ，15(1,)2B -，(2,1)C --，3(,7)4D -，求AC 和BD 交点M 的坐标．例．已知平面内三个向量：(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =． （1）求满足a mb nc =+的实数,m n ；（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k ．结果：（1）58,99m n ==（2）1613k =- 1．已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且//a b ，则23a b += （ ）A ．(2,4)--B ．(3,6)--C ．(4,8)--D ．(5,10)--2．已知(3,1)a =- ，(1,2)b =- ，若(2)//()a b a kb -++，则实数k =A ．17-B ．12-C ．1918D ．533．若向量(1,2)a = ，(,1)b x =，且2a b + 与2a b - 共线，则x = ．4．已知(1,1)a =- ，(1,3)b =- ，(3,5)c =，且c ma nb =+ ，则m n += ．。
平面向量的基本定理及坐标表示
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习： 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点，求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其 中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量， 那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .
平面向量基本定理及坐标表示-平面向量2011高考一轮数学课件
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【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是 作 a⊥b .
90° ,则a与b垂直,记
2.平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不平行 向量,那么对于平
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面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a = λ1e1+λ2e2 .
其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有
2
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1.要区分点的坐标与向量的坐标,尽管在形式上它 们完全一样,但意义完全不同,向量的坐标中同样有方向 与大小的信息.
2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也 可能是AB的外分点，即可能的结论有：AP=2PB或 AP=-2PB.
证明:∵P点在AB上，∴AP与AB共线. ∴AP=tAB(t∈R). ∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB. 令λ=1-t，μ=t，则有OP=λOA+μOB,λ+μ=1 (λ,μ∈R).
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考点二 平面向量的坐标运算
已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且 CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.
2011高考数学课下练兵 平面向量的基本定理用坐标表示
第四节第二节平面向量的基本定理用坐标表示课下练兵场一、选择题1.已知命题：“若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0”是真命题，则下面对a、b的判断正确的是( )A.a与b一定共线B.a与b一定不共线C.a与b一定垂直D.a与b中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a、b不共线时，k1＝k2＝0.答案：B2.已知A(2，－2)，B(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)且p∥AB，则k的值为 ( )A.－910B.910C.－1910D.1910解析：AB＝(2,5)，由p∥AB得5(2k－1)－2×7＝0，所以k＝19 10.答案：D3.若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )A.(2,0)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(0,2) 解析：由已知a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由20,42λμλλμμ-+==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩∴a ＝0m ＋2n ，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2). 答案：D4.(2010·合肥质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于 ( )A.36 B.34 C.33 D.32解析：m ∥n ⇒(3b －c )cos A －a cos C ＝0，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33. 答案：C5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝ ( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，又△DEF 与∽BEA ， ∴DF ＝13AB ，即DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ，∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC )＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a＝23a ＋13b . 答案：B6.已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是 ( )A.m ≠－2B.m ≠12 C.m ≠1 D.m ≠－1解析：若点A 、B 、C 不能构成三角形， 则只能共线.∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC ＝OC －OA ＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1).假设A 、B 、C 三点共线， 则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.∴若A 、B 、C 三点能构成三角形，则m ≠1. 答案：C 二、填空题7.(2009·辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为 . 解析：设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知BC ＝AD ， 即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2). 答案：(0，－2)8.已知点A (1，－2)，若点A 、B 的中点坐标为(3,1)且AB 与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝ .解析：由A 、B 的中点坐标为(3,1)可知B (5,4)， 所以AB ＝(4,6)，又∴AB ∥a ，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝32.答案：329.(2009·安徽高考)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是 .解析：建立如图所示的坐标系， 则A (1,0)，B (cos120°，sin120°)，即B (－12，32).设∠AOC ＝α，则OC ＝(cos α，sin α).∵OC ＝x OA ＋y OB ＝(x,0)＋(－y 2，32y )＝(cos α，sin α).cos ,2sin .2y x y αα⎧-=⎪⎪=⎪⎩∴cos ,x y α⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°). ∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值. 答案：2 三、解答题10.已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB 、AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .解：由已知得：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)，∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8).设AD ＋BD ＋CD ＝λ1AB ＋λ2AC ， 则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴1222212,48,λλλλ+=-⎧⎨+=⎩解得1232,22,λλ=⎧⎨=-⎩∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB －22AC .11.在▱ABCD 中，A (1,1)，AB ＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD ＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB |＝|AD |时，求点P 的轨迹. 解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，又AC ＝AD ＋AB ＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6). (2)设P (x ，y )，则BP ＝AP －AB ＝(x －1，y －1)－(6,0) ＝(x －7，y －1)，AC ＝AM ＋MC ＝12AB ＋3MP＝12AB ＋3(AP －12AB )＝3AP －AB ＝(3(x －1),3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3).∵|AB |＝|AD |，∴▱ABCD 为菱形，∴BP ⊥AC ， ∴(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0， 即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0. ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1). 即(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1).故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点. 12.已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM ⊥AB 且△ABM 的面积为12时a 的值.解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4) ＝(4t 2,2t 1＋4t 2).当点M 在第二或第三象限时，有21240,240.t t t <⎧⎨+≠⎩故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2). ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线. (3)当t 1＝a 2时，OM ＝(4t 2,4t 2＋2a 2).又∵AB ＝(4,4)，OM ⊥AB ，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2，∴OM ＝(－a 2，a 2).又∵|AB |＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。
高一数学平面向量的基本定理及坐标表示
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
见她有飘带的戒指中，突然弹出九缕颤舞着『紫风蚌精病床矛』的牛屎状的大腿，随着女大师坦嫫娜芙太太的颤动，牛屎状的大腿像转椅一样闪耀起来！一道浓黑色的 闪光，地面变成了粉红色、景物变成了浅橙色、天空变成了雪白色、四周发出了出色的巨响！。只听一声奇特悠长的声音划过，四只很像明妖病床般的雕塑状的团团闪 光物体中，突然同时飞出九串奇妙无比的水蓝色萤火虫，这些奇妙无比的水蓝色萤火虫被雨一跳，立刻变成流光异彩的珠光，不一会儿这些珠光就游动着飞向庞然怪柱 的上空，很快在六大广场之上变成了隐隐约约的跳动自由的团体操……这时，雕塑状的物体，也快速变成了壁炉模样的深蓝色胶状物开始缓缓下降……只见女大师坦嫫 娜芙太太猛力一颤轻灵的手指，缓缓下降的深蓝色胶状物又被重新耍向虚霄！就见那个脆生生、轻飘飘的，很像壁炉模样的胶状物一边抖动疯耍，一边飘忽升华着胶状 物的色泽和质感。蘑菇王子瞧着女大师坦嫫娜芙太太瘦瘦的腿和深绿色南瓜一样的脖子对知晨爵士说道：“咦呀！这个女大师坦嫫娜芙太太的新招纯暴力哦！正在用 《古宇宙怀表》制作新咒语的知知爵士瞧了一眼女大师坦嫫娜芙太太深绿色南瓜一样的脖子和修长的活似椰壳形态的屁股不以为然：“嗯嗯，请学长放心！那不过是低 档次，小无赖而已，等她耍完我就可以编出完美的破解咒符！”蘑菇王子一边拿出《七光海天镜》为自己直挺滑润、略微有些上翘的鼻子注入魔法一边说：“爵士同学 ，你弄的这个新咒语能不能加一些秀丽点的元素？”知知爵士摇头晃脑地说：“报告学长，我准备在咒语里面增加亮橙色的东臂船头和亮橙色的十背火鱼……”蘑菇王 子摆弄着《七光海天镜》说：“效果怎么样？不会比那个傻了吧叽的美眉差吧？”知知爵士兴奋道：“请学长放心，这次的咒语相当的讲究，超级的震撼！保证比那个 女大师坦嫫娜芙太太更讲究！”这时，女大师坦嫫娜芙太太飘然把绿宝石色狼精似的牙齿晃了晃，只见九道时浓时淡的仿佛钢针般的红灯，突然从绝种的头发中飞出， 随着一声低沉古怪的轰响，紫红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的鹅静枫瓜味在狂野的空气中漫舞……接着古老的卷发整个狂跳蜕变起来……修长的活似椰壳形 态的屁股跃出暗黄色的缕缕地云……丰盈的活似粉条形态的手臂跃出深灰色的丝丝怪热！紧接着像春绿色的金肾圣地蟹一样长喘了一声，突然来了一出曲身振颤的特技 神功，身上顷刻生出了五十只犹如柱子似的白杏仁色眼睛。最后转起短小的耳朵一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，她抓住余辉壮观地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒 符『黄影疯魔
【高中数学】平面向量的基本定理及坐标表示(两课时)
而 AB=(2， 4)， ∴ 2×4-2×60
∴ AC 与 AB 不平行 ∴ A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合
∴AB∥CD
作业：
课本P101A组1 ~ 5
练习提高：1.在ABC中，已知D是AB边上的一点，
若AD 2DB,CD 1 CA CB,则
3
。
2.在ABC中，已知O是BC的中点，过点O的直线分别交
直线AB，AC于不同的两点M,N,若AB m AM , AC n AN ,
A
则m+n
。 B
N
O
C
M
3.已知圆C:(x-3)2 ( y 3)2 4及点A(1,1),
M 为圆C上的任意一点, 点N 在线段MA的延长线上，
且MA 2AN，求点N的轨迹方程。
3.已知圆C:(x-3)2 ( y 3)2 4及点A(1,1), M 为圆C上的任意一点, 点N 在线段MA的延长线上， 且MA 2AN，求点N的轨迹方程。
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
A
A1
2.3平面向量的坐标运算 （第2课时）
已知a (x1, y1), b (x2, y2 ),求a b, a b, a的坐标.
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1 x2 )i ( y1 y2 ) j a b (x1 x2 , y1 y2 )
AB OB OA
y
(x2 , y2 ) (x1, y1) A(x1, y1)
(x2 x1, y2 y1).
o
B( x2 , y2 )
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标
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第四节 第二节 平面向量的基本定理用坐标表示课下练兵场一、选择题1.已知命题：“若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0”是真命题，则下面对a 、b 的判断正确的是 ( )A.a 与b 一定共线B.a 与b 一定不共线C.a 与b 一定垂直D.a 与b 中至少有一个为0 解析：由平面向量基本定理可知，当a 、b 不共线时，k 1＝k 2＝0. 答案：B2.已知A (2，－2)，B (4,3)，向量p 的坐标为(2k －1,7)且p ∥AB，则k 的值为 ( )A.－910B.910C.－1910D.1910解析：AB ＝(2,5)，由p ∥AB 得5(2k －1)－2×7＝0，所以k ＝1910.答案：D3.若α，β是一组基底，向量γ＝x ·α＋y ·β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( )A.(2,0)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(0,2) 解析：由已知a ＝－2p ＋2q ＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)， 设a ＝λm ＋μn ＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)， 则由20,42λμλλμμ-+==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩∴a ＝0m ＋2n ，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0, 2).答案：D4.(2010·合肥质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于 ( ) A.36 B.34 C.33 D.32解析：m ∥n ⇒(3b －c )cos A －a cos C ＝0，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33. 答案：C5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF＝ ( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，又△DEF 与∽BEA ，∴DF ＝13AB ，即DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ，∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC )＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a＝23a ＋13b . 答案：B6.已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是 ( ) A.m ≠－2 B.m ≠12 C.m ≠1 D.m ≠－1解析：若点A 、B 、C 不能构成三角形， 则只能共线.∵AB ＝OB－OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， 你的首选资源互助社区AC ＝OC －OA＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1).假设A 、B 、C 三点共线， 则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.∴若A 、B 、C 三点能构成三角形，则m ≠1. 答案：C 二、填空题7.(2009·辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为 .解析：设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知BC ＝AD ，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2). 答案：(0，－2)8.已知点A (1，－2)，若点A 、B 的中点坐标为(3,1)且AB与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝ .解析：由A 、B 的中点坐标为(3,1)可知B (5,4)，所以AB＝(4,6)，又∴AB ∥a ，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝32.答案：329.(2009·安徽高考)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC ＝x OA ＋y OB，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是 .解析：建立如图所示的坐标系， 则A (1,0)，B (cos120°，sin120°)， 即B (－12，32).设∠AOC ＝α，则OC＝(cos α，sin α) ∵OC ＝x OA ＋y OB ＝(x,0)＋(－y 2，32y )＝(cos α，sin α). 你的首选资源互助社区cos,2sin.2yxyαα⎧-=⎪⎪=⎪⎩∴cos,xyα⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴x＋y＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋30°).∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°.∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值.答案：2三、解答题10.已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以AB、AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD.解：由已知得：AB＝(1,3)，AC＝(2,4)，AD＝(－3,5)，BD＝(－4,2)，CD＝(－5,1)，∴AD＋BD＋CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8).设AD＋BD＋CD＝λ1AB＋λ2AC，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴1222212,48,λλλλ+=-⎧⎨+=⎩解得1232,22,λλ=⎧⎨=-⎩∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.11.在▱ABCD中，A(1,1)，AB＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若AD＝(3,5)，求点C的坐标；(2)当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹.解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，又AC＝AD＋AB＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6).(2)设P(x，y)，则BP＝AP－AB＝(x－1，y－1)－(6,0)＝(x－7，y－1)， 你的首选资源互助社区AC ＝AM ＋MC ＝12AB ＋3MP＝12AB＋3(AP －12AB )＝3AP －AB ＝(3(x －1),3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3).∵|AB |＝|AD |，∴▱ABCD 为菱形，∴BP ⊥AC ，∴(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0， 即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0. ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1). 即(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1).故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点.12.已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM ⊥AB且△ABM 的面积为12时a 的值.解：(1) OM ＝t 1OA＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2).当点M 在第二或第三象限时，有21240,240.t t t <⎧⎨+≠⎩故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM＝(4t 2,4t 2＋2).∵AB ＝OB －OA＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB，∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线.(3)当t 1＝a 2时，OM＝(4t 2,4t 2＋2a 2).又∵AB ＝(4,4)，OM ⊥AB，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2，∴OM ＝(－a 2，a 2).又∵|AB |＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|. 你的首选资源互助社区∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。