2020高考艺考数学总复习课时作业：第八章 第6节 双曲线

第八章 第6节
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1x 2
4y 2
12x 2
12y 2
4C.－＝1
D.－＝1
x 210y 26x 26y 210解析：A [已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.]
x 2
4y 2
122．(2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a >0，b >0)的离心率为，则其渐近线方程为( )x 2a 2y 2
b 23A ．y ＝±x B ．y ＝±x
23C ．y ＝±x
D ．y ＝±x
2
23
2解析：A [∵e ＝＝，∴＝＝e 2－1＝3－1＝2，∴＝，因为渐近线方程为c
a 3
b 2
a 2c 2－a 2
a 2b
a 2y ＝±x ，所以渐近线方程为y ＝±x ，故选A.]
b
a 23．(2020·济南模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线－＝1(a >0，
b >0)的左、右焦点，P 为
x 2
a 2y 2
b 2双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30° ，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
2A.－＝1 B.－＝1
x 24y 22x 23y 22C.－＝1
D ．x 2－＝1x 24y 28y 22解析：D [由题意可知|PF 1|＝，|PF 2|＝，2b ＝2，由双曲线定义可得－43c
323c
3243c
3＝2a ，即c ＝a ，又b ＝，∴a ＝1，b ＝，
23c
3322∴双曲线的标准方程为x 2－＝1，故选D.]
y 2
24．(2020·烟台模拟)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，第一象限的点
x 2a 2y 2
b 2M 在双曲线C 的渐近线上且|OM |＝a ，若直线MF 的斜率为－，则双曲线C 的离心率为( )
b a
A. B.105C.
D.217
解析：C [双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x ，第一象限的点M 在双曲线C 的渐
x 2
a 2y 2
b 2b
a 近线上，
设M
，则k MF ＝＝－，(
x 0，b
a x 0
)
b a
x 0x 0－c b
a ∴x 0＝，故而M ，
c
2(c 2，
bc
2a )
∴|OM |＝
＝a ，整理得c 2＝2a 2，c 24＋b 2c 2
4a 2即e 2＝2，所以e ＝.故选C.]
25．已知双曲线－＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦x 2
4y 2
b 2点到其渐近线的距离等于( )
A. B ．35C ．5
D ．42
解析：A [因为抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，依题意，4＋b 2＝9，所以b 2＝5，
所以双曲线的方程为－＝1，
x 24y 2
5所以其渐近线方程为y ＝±x ，
5
2所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为
＝，故选A.]
|±5×3－0|
5＋4
56．若双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为　__________　.解析：设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，焦距2c ＝10，c 2＝25，
当λ>0时，－＝1，λ＋＝25，∴λ＝20；
x 2
λy 2λ
4λ
4
当λ<0时，－＝1，－λ＋
＝25，
y 2
－λ
4x 2
－λ(－
λ
4)∴λ＝－20.
故该双曲线的方程为－＝1或－＝1.
x 2
20y 2
5y 2
5x 2
20答案：－＝1或－＝1
x 220y 25y 25x 2207．(2020·宁德质检)已知点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线C ：x 2－y 2＝1上的一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则△PF 1F 2的周长为　________　.
解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1，则a ＝1，b ＝1，则c ＝，2则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，
又由|PF 1|＝3|PF 2|，则|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，又由c ＝，则|F 1F 2|＝2c ＝2，
22则△PF 1F 2的周长l ＝|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝4＋2.2答案：4＋22
8．已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆x 2
a 2y 2
b 2A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为　________　.
解析：如图，由题意知点A (a,0)
，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝x ，即b
a bx －ay ＝0，
∴点A 到l 的距离d ＝.ab
a 2＋
b 2又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形，
∴d ＝MA ＝b ，即＝b ，∴a 2＝3b 2，
3
23
2ab
a 2＋
b 23
2
∴e ＝＝
＝.
c a a 2＋b 2a 2233答案：233
9．已知椭圆D ：＋＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，x 2
50y 2
25它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．
解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.
设双曲线G 的方程为－＝1(a >0，b >0)，x 2
a 2y 2
b 2∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.
∴＝3，得a ＝3，b ＝4，
|5a |
b 2＋a 2∴双曲线G 的方程为－＝1.
x 2
9y 2
1610．如图，已知F 1、F 2为双曲线－＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2
作垂直于x 轴的直
x 2
a 2y 2
b 2线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：
(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．
解：(1)∵∠PF 2F 1＝90°，∠PF 1F 2＝30°.
在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|＝＝＝，|PF 2|＝|PF 1|＝，
|F 1F 2|
cos ∠PF 1F 22c
cos 30°43c
31
223c
3又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即c ＝2a ，＝，
23
3c
a 3∴e ＝＝.
c a 3(2)对于双曲线，有c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝ .
c 2－a 2
∴＝
＝ ＝＝.
b a
c 2－a 2a
(c
a )2－13－12∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .
2。