2.10 多元线性回归的预测

§2.10 多元线性回归模型的预测
一、E(Y0)的置信区间 的置信区间 二、Y0的置信区间
对于模型
ˆ ˆ Y = Xβ
给 定 样 本 以 外 的 解 释 变 量 的 观 测 值 X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预 测值： ˆ ˆ Y0 = X 0β 它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。 但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估 计值，而不是预测值。 为了进行科学预测， 为了进行科学预测，还需求出预测值的置信 置信区间。 区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间 和 区间，包括
2 2
一、E(Y0)的置信区间 的置信区间
易知
ˆ ˆ) ˆ) E (Y0 ) = E ( X 0β = X 0 E (β = X 0β= E (Y0 )
ˆ ˆ ˆ ˆ Var (Y0 ) = E ( X 0β− X 0β 2 = E ( X 0 (β− β)X 0 (β− β)) )
ˆ ˆ ˆ Var (Y0 ) = E ( X 0 (β− β)(β− β)′X′ ) 0 ˆ ˆ = X 0 E (β− β)(β− β)′X′0 = σ 2 X 0 ( X′X) −1 X′0
容易证明
ˆ Y0 ~ N ( X 0β σ 2 X 0 (X′X) −1 X′ ) , 0
ˆ Y0 − E(Y0 ) ˆ X 0 (X′X) −1 X′ σ 0
~ t (n − k − 1)
于是，得到(1-α)的置信水平下E(Y0)的置信区间 置信区间： 置信区间
ˆ ˆ ˆ ˆ Y0 − t α × σ X 0 ( X′X) −1 X′ < E (Y0 ) < Y0 + t α × σ X 0 ( X′X) −1 X′ 0 0
2 Var (e0 ) = E (e0 )
) = E ( µ 0 − X 0 ( X′X) −1 X′μ 2 = σ 2 (1 + X 0 ( X′X) −1 X ′ ) 0
(1 + X 0 ( X′X) X′ )) 0
2 −1
ˆ e20 = σ 2 (1 + X 0 ( X′X) −1 X′ )) ˆ σ 0
构造t统计量
ˆ Y0 − Y0 t= ~ t (n − k − 1) ˆ σ e0
可得给定(1-α)的置信水平下Y0的置信区间 置信区间： 置信区间
ˆ ˆ ˆ ˆ Y0 − t α × σ 1 + X 0 ( X′X) −1 X′0 < Y0 < Y0 + t α × σ 1 + X 0 ( X′X) −1 X′0
2 2
其中，tα/2为(1-α)的置信水平下的临界值 临界值。 临界值
二、Y0的置信区间
如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：
ˆ e0 = Y0 − Y0
容易证明
ˆ) E (e0 ) = E ( X 0β+ µ 0 − X 0β ˆ = E ( µ 0 − X 0 (β− β)) = E ( µ 0 − X 0 ( X′X) −1 X′μ ) =0