2019-2020学年新指导同步高中数学必修1(课件 课后巩固 测评卷) (3)
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探究一
探究二
探究三
思想方法
1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式的常用方法: (1)换元法,首先令t=g(x),然后求出f(t)的解析式,最后用x代替t即可. (2)配凑法,可通过配凑把f(g(x))的解析式用g(x)来表示,再将解析 式两边的g(x)用x代替即可. 2.已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数 的解析式,常用待定系数法,其步骤为:(1)设出解析式,(2)根据题设列 方程(组)求待定系数. 利3用.当所关给系的式等中式同再时构含造有一f个(x)等与式f(-,x进),f而(x)联与立f 方1������ 程时组,可,解使出用f消(x)元. 法,即
(2)若f(a)=4,求实数a的值.
解:(1)∵f(-2)=-(-2)=2,
∴f(f(-2))=f(2)=4.
(2)①当a>0时,f(a)=a2=4,
∴a=2.
②当a≤0时,f(a)=-a=4,
∴a=-4.
综上可知,a=-4或a=2.
一
二
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
探究一
探究二
探究三
思想方法
分段函数的求值
|������-1|-2,|������| ≤ 1,
【例 2】
已知
f(x)=
1 1+������2
,|������|
>
1,
则f
������
1 2
等于(
)
A.12
B.143
C.-95
D.4215
分析:先求出 f
1 2
的值,再求 f
������
1 2
.
解析:f
������
=
1 ������ ������2-1
������2
=
������2���-��� 1,∴f(x)=������2������-1(x≠0).
1
方法二:f
1 ������
=
������ 1-������2
=
1 ������
������
2
-1
,∴f(x)=������2������-1(x≠0).
(2)设 f(x)=ax+b(a≠0).
“×”.
(1)列表法与解析法均可表示任意的函数. ( ) (2)分段函数由几部分构成就是几个函数. ( ) (3)任何一个图形都可以表示函数的图像. ( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
思想方法
求函数的解析式 【例1】 根据下列各条件,求函数f(x)的解析式: (1)f(x)是一次函数,且满足f(2x)+4f(x-2)=18x-29; (2)f(√������-2)=x-4√������+2;
得 a=-32(舍去);
②当 a<0 时,由 f(1-a)=f(1+a)得,-(1-a)-2a=2(1+a)+a,得 a=-34.
综上知 a 的值为-34. 答案:(1)B (2)-34
探究一
探究二
探究三
思想方法
分段函数的图像及应用
【例3】 已知
f(x)=
������2,|������| ≤ 1, 1,|������| > 1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练3作出下列函数的图像,并写出函数的值域. (1)y=|x+2|+|x-3|; (2)y=|x+1|-|x-2|. 分析:本题考查含绝对值函数图像的作法,求解时可根据绝对值 的定义,去掉绝对值符号将函数解析式化简后求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
1-2������,������ ≤ -2,
由已知可得 6������ = 18, 5������-8������ = -29,
解得
����)=3x-1.
(2)方法一(配凑法):
因为 f(√������-2)=x-4√������+2=(√������)2-4√������+4-2=(√������-2)2-2(√������-2≥-2),
2.2 函数的表示法
学习目标
思维脉络
1.通过实例,体会函数的三种
表示方法及各自的特点.
2.学会选择恰当的方法表示函 数. 3.理解分段函数及其表示法,
会处理某些简单的分段函数
问题.
一
二
一、函数的表示法
一
二
【做一做1】 购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别 用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指 出函数的值域.
-∞,
1 2
.
答案:
-∞,
1 2
探究一
探究二
探究三
思想方法
函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数图像上方的函数 值大于下方所有函数图像对应的函数值,故可以根据函数图像的上、 下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例中 借助分段函数的图像可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系 求解.
1 2
答案:B
=f
-
3 2
=
1 1+94
=
143.
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或 范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号 时,应由内向外依次求解.
2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论 求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的 条件.
解:(1)y=|x+2|+|x-3|= 5,-2 < ������ ≤ 3,
2������-1,������ > 3.
函数图像如图①所示,由图像可知函数值域为[5,+∞).
-3,������ ≤ -1,
(2)y=|x+1|-|x-2|= 2������-1,-1 < ������ ≤ 2,
3,������ > 2,
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 1(1)已知 f
1 ������
= 1-������������2,求 f(x);
(2)已知 f(x)为一次函数,且 f(f(x))=9x+4,求 f(x).
解:(1)方法一:令1������=t,则 x=1������,且 t≠0,
1
∴f(t)=
������
1-������12
2.已知函数f(x)的图像如图所示,则此函数的定义域、值域分别是 ()
A.(-3,3),(-2,2) B.[-3,3],[-2,2] C.[-2,2],[-3,3] D.(-2,2),(-3,3) 答案:B
12345
3.设函数 f(x)=
1-������2,������ ≤ 1, ������2 + ������-2,������ >
所以 f(x)=x2-2(x≥-2).
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法二(换元法): 令√������-2=t(t≥-2),则 x=(t+2)2(t≥-2),
于是由已知得 f(t)=(t+2)2-4 (������ + 2)2+2
=(t+2)2-4t-8+2=t2-2(t≥-2). 故 f(x)=x2-2(x≥-2). (3)由于 f(x)+2f(-x)=x+1,因此以-x 替换 x,得 f(-x)+2f(x)=-x+1, 由以上两式可解得 f(x)=-x+13.
探究一
探究二
探究三
思想方法
0,������ > 0,
变式训练 2(1)已知 f(x)= -1,������ = 0, 则 f(f(5))+f(-2)等于( )
2������-3,������ < 0,
A.8
B.-8
C.1
D.-1
(2)已知实数
a≠0,函数
f(x)=
2������ + ������,������ < 1,若 -������-2������,������ ≥ 1,
解:(解析法)y=2x,x∈{1,2,3,4}. (列表法)
x1234 y2468
(图像法)
一
二
二、分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的解 析式,这样的函数通常叫作分段函数.
【做一做2】 设函数 (1)求f(f(-2))的值;
f(x)=
-������,������ ≤ 0, ������2,������ > 0.
函数图像如图②所示,由图像可知函数值域为[-3,3].
探究一
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探究三
思想方法
数形结合思想在分段函数中的应用
【典例】
已知
f(x)=
������2 + 1,������ 1,������ < 0,
≥
0,
则满足不等式f(1-x)>f(x)的x
的取值范围是
.
综上可知,所求 x 的取值范围是
-∞,
1 2
f(1-a)=f(1+a),则
a
的值为
.
探究一
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思想方法
解析:(1)由于x>0时,f(x)=0,因此f(5)=0. 则f(f(5))=f(0)=-1. 又x<0时,f(x)=2x-3,故f(-2)=-7.
f(f(5))+f(-2)=-8.
(2)①当 a>0 时,由 f(1-a)=f(1+a)得,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,
则 1,
f
1 ������(2)
的值为
(
)
A.1156 C.89
B.-2176 D.18
解析:∵f(2)=22+2-2=4,∴������(12) = 14<1.
∴f
1 ������(2)
=f
1 4
=1-
1 4
2 = 1156.
答案:A
12345
4.已知函数 f(x)= 1-1,���,���������≥<00,,则不等式(x+1)f(x)>2 的解集是
12345
5.已知函数 f(x)=
������2 + 1,������ ≤ 0, -2������,������ > 0.
(1)求f(f(2)); (2)若f(m)=10,求m的值; (3)作出函数f(x)的图像; (4)求函数f(x)的值域.
12345
解:(1)f(2)=-2×2=-4,
于是f(f(2))=f(-4)=(-4)2+1=17. (2)当m≤0时,f(m)=m2+1=10,解得m=-3(m=3舍去); 当m>0时,f(m)=-2m=10,解得m=-5(舍去), 故m的值为-3. (3)当x≤0时,f(x)=x2+1,其图像是一段抛物线; 当x>0时,f(x)=-2x,其图像是一条射线(不含端点), 所以图像如图所示.
f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
由题设知 ������2 = 9, 解得 ������ = 3, 或 ������ = -3,
������������ + ������ = 4,
������ = 1 ������ = -2.
∴f(x)=3x+1 或 f(x)=-3x-2.
(1)画出f(x)的图像; (2)求f(x)的定义域和值域; (3)解不等式f(x)>x. 分析:(1)先要明确x的不同取值范围,再正确作出图像; (2),(3)利用数形结合的方法更为直观、简洁.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)函数f(x)的图像如图所示.
(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图像知,当|x|≤1时,f(x)=x2 的值域为[0,1],当|x|>1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].
(3)在同一坐标系中画出y=f(x)和y=x的图像,如图所示,
由图像知,不等式f(x)>x的解集为{x|x<0}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
分段函数作图及求解的几点注意 (1)作分段函数图像时要格外注意关键点及图像的衔接情况. (2)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”,其定义域 是自变量x各段取值的并集,值域是各段函数值取值范围的并集. (3)解抽象复杂的不等式问题利用数形结合既简洁,又直观.
.
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法二(数形结合法)画出函数
f(x)=
������2 + 1,������ 1,������ < 0
≥
0,的图像,如图
所示,由图像可知,若 f(1-x)>f(x),
则
1-������ 1-������
> >
0,解得 ������,
x<12,
即满足要求的 x 的取值范围是
12345
1.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后 来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好 的图像是( )
解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D, 首先加速前进,然后放慢速度,说明图像上升的速度先快后慢,故选C. 答案:C
12345
(3)f(x)+2f(-x)=x+1. 分析:(1)已知f(x)是一次函数,用待定系数法求解;(2)用配凑法或 换元法求解;(3)可用构造方程组求解法.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(2x)+4f(x-2)=2ax+b+4[a(x-2)+b]
=6ax+(5b-8a).
.
解析:因为
f(x)=
1-1,���,���������≥<00, ,所以(x+1)f(x)>2
可转化为
������ ������
≥ +
0, 1>
2,
或
������ < -������-1
0, >
解得 2,
x>1
或
x<-3.
故所求不等式的解集为{x|x>1,或 x<-3}.
答案:{x|x>1,或x<-3}