广西防城港市、桂林市高考数学一模试卷 理(含解析)

2015年广西防城港市、桂林市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合M={x|＞0}，集合N={x|y=}，则M∩N等于（）
A．（0，1） B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）
2．复数的虚部是（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
3．曲线y=+1上存在不同的两点关于直线l对称，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣3x+4 B．y=x C．y=﹣x+2 D．y=x+1
4．已知向量=（1，），单位向量，若|﹣|=，则＜，＞=（）A．B．C．D．
5．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位恰有1个相同的不同的选法种数是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
6．某几何体在网格纸上的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
7．已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，若a11=b10，则（）
A．a13+a9=b14b6B．a13+a9=b14+b6
C．a13+a9≥b14+b6D．a13+a9≤b14+b6
8．已知x，y满足条件，则z=的最大值是（）
A．2 B．3 C．﹣D．﹣
9．如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框应该填入（）
A．P=B．P=C．P=D．p=
10．若数列{a n}满足a1=1，a n﹣1+a n=（n∈N，且n≥2），则数列
{}的前6项和为（）
A．﹣3 B．﹣C．D．3
11．设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则P=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知命题p：函数f（x）=ln（e x﹣x+a2﹣10）（e为自然对数的底数）的值域为R，命题q：（+）dx＞+ln2．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，那么实数a的取值范围是（）
A．（1，3] B．（﹣∞，﹣3）C．[﹣3，1]∪（3，+∞） D．（﹣∞，1]∪（3，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若（1+ax）（1+x）5展开式中含x2的系数为15，则a= ．
14．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞t）=P（ξ＜t﹣2），则t的值为．
15．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．直线y=（x+c）与椭圆的一个交点为M，O为坐标原点，若|OM|=c，则椭圆的离心率是．16．已知函数f（x）=e﹣ax有且只有一个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=27，设∠ACB=θ，C点到AD的距离为h．
（Ⅰ）求h（用θ表示）
（Ⅱ）求AB+BC的最大值．
18．在北方某城市随机选取一年内100天的空气污染指数（API）的监测数据，统计结果如下：
API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300] （300，+∞）天数 4 13 18 30 9 11 15
（Ⅰ）已知污染指数API大于300为重度污染，若本次抽取样本数据有34天是在供暖季，其中有9天为重度污染，完成下面的2×2列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计 100
（Ⅱ）某企业由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气污染指数API（记为ω）的关系式为：S=．试估计该企业一个月（30天）内造成的经济损失S 的期望
附注：k2=，n=a+b+c+d
P（K2≥k）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.025 6.635 7.879 10.828
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥平面PCD，PA⊥CB，AB=2AD=2CD=2，E为PB的中点
（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
20．已知圆C1：（x+2）2+y2=，圆C2：（x﹣2）2+y2=，动圆Q与圆C1、圆C2均外切．求动圆圆心Q的轨迹为曲线C；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设点M（m，0），点Q为曲线C上位于x轴上方的动点，
①若m＜0，写出直线MQ倾斜角的取值范围；
②证明：∃整数λ，负数m，使得∠QC2M=λ∠QMC2．
21．已知函数f（x）=（x﹣a）lnx﹣x
（1）若f（x）为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=0时，证明：f（x）≥x（e﹣x﹣1）﹣2e﹣1．
一、请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲
22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．
一、选修4～4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴简历极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0，]
（1）将半圆C化为参数方程；
（2）已知直线l：y=﹣x+6，点M在半圆C上，过点M斜率为﹣1直线与l交于点Q，当|MQ|最小值时，求M的坐标．
一、选修4～5：不等式选讲
24．已知f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．
（1）设a=2，解关于x的不等式：f（x）+g（x）≤7；
（2）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的取值范围．
2015年广西防城港市、桂林市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合M={x|＞0}，集合N={x|y=}，则M∩N等于（）
A．（0，1） B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出集合的等价条件，即可得到结论．
【解答】解：M={x|＞0}={x|x＞1或x＜0}，集合N={x|y=}={x|x≥0}，
则M∩N={x|x＞1}，
故选：B
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
2．复数的虚部是（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【考点】复数的基本概念．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．
【解答】解： =，
则复数的虚部是1，
故选：C
【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．3．曲线y=+1上存在不同的两点关于直线l对称，则直线l的方程可以是（）
A．y=﹣3x+4 B．y=x C．y=﹣x+2 D．y=x+1
【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】由题意，曲线y=+1表示x2+（y﹣1）2=1（y≥1），圆心为（0，1），直线y=x+1与曲线相交，即可得出结论．
【解答】解：由题意，曲线y=+1表示x2+（y﹣1）2=1（y≥1），圆心为（0，1），直线y=x+1与曲线相交，
所以曲线y=+1上存在不同的两点关于直线l对称，则直线l的方程可以是y=x+1，不同的两点：（0，2）与（1，1）关于直线y=x+1对称，
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
4．已知向量=（1，），单位向量，若|﹣|=，则＜，＞=（）A．B．C．D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】通过向量的模的平方，结合数量积求解即可．
【解答】解：向量=（1，），单位向量，若|﹣|=，
可得|﹣|2=3，即=3．
=3，
=．
∴．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积以及向量的夹角的求法，考查计算能力．
5．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位恰有1个相同的不同的选法种数是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】甲、乙大学生从4个公司中各选2个作为实习单位可分两步完成，第一步甲大学生选实习公司，第二步乙大学生选实习公司，两个步骤相乘可以得到结果
【解答】解：由题意知本题需要分步来解，
第一步甲大学生选实习公司，有=6种方法，
第二步乙大学生选实习公司，有=4种方法，
由乘法原理得：两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法有6×4=24种．
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理得应用，关键是分步，属于基础题．
6．某几何体在网格纸上的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和四分之一球组成的组合体，分别求出两者的体积，相加可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和四分之一球组成的组合体，
圆柱底面和球的半径R均为1，
故四分之一球的体积为： =，
圆柱的高h=1，故圆柱的体积为：πR2h=π，
故组合体的体积V=+π=，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
7．已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，若a11=b10，则（）
A．a13+a9=b14b6B．a13+a9=b14+b6
C．a13+a9≥b14+b6D．a13+a9≤b14+b6
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设{a n}是为公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的正项等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式和性质，作差比较结合完全平方公式和提取公因式，即可得到结论．【解答】解：设{a n}是为公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的正项等比数列，
即有a13+a9=2a11=2b10，b14b6=b102，
则a13+a9﹣b14b6=（2﹣b10）b10，
当b10≥2时，a13+a9≤b14b6；
当0＜b10＜2时，a13+a9＞b14b6．
又b14+b6=b1q13+b1q5，
由a13+a9﹣（b14+b6）=2b1q9﹣b1q13﹣b1q5，
=﹣b1q5（q8﹣2q4+1）=﹣b1q5（q4﹣1）2≤0，
则有a13+a9≤b14+b6．
综上可得，A，B，C均错，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和性质的运用，考查运算化简的能力，属于中档题和易错题．
8．已知x，y满足条件，则z=的最大值是（）
A．2 B．3 C．﹣D．﹣
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
则z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣3，1）的斜率，
由图象知AD的斜率最大，
由得，即A（﹣，），
则z=的最大值是=3，
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．
9．如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框应该填入（）
A．P=B．P=C．P=D．p=
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．
【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于N时，
圆周内的点的次数为4M，总试验次数为N，
所以要求的概率，
所以空白框内应填入的表达式是P=．
故选：A．
【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．
10．若数列{a n}满足a1=1，a n﹣1+a n=（n∈N，且n≥2），则数列{}的前6项和为（）
A．﹣3 B．﹣C．D．3
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】a n﹣1+a n=（n∈N，且n≥2），变形为（﹣1）n（）=，利用“裂项求和”可得： =1﹣．对n分类讨论可得：a n=（﹣1）n+1n．于是=
=．即可得出．
【解答】解：∵a n﹣1+a n=（n∈N，且n≥2），
∴（﹣1）n（）=，
∴﹣+﹣…+（﹣1）n
=+…+=1﹣．
当n为奇数时， =，
∴a n=n．
当n为偶数时， =1﹣，解得a n=﹣n．
∴a n=（﹣1）n+1n．
∴==．
∴数列{}的前6项和=
﹣…+
=
=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了“裂项求和”方法，考查了变形能力，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则P=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．
【解答】解：∵OD⊥A B，∴k OD•k AB=﹣1．
又k OD=3，∴k AB=﹣，
∴直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），
即为y=﹣+，
设A（x1，x2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，
又x1x2+y1y2=x1x2+（﹣x1+）（﹣x2+）
=x1x2﹣（x1+x2）+，
联立直线方程和抛物线方程，消y可得x2﹣（+2p）x+=0①
∴x1+x2=20+18p，x1x2=100，
∴x1x2+y1y2=×100﹣×（20+18p）+=0，
∴p=5，
当p=5时，方程①成为x2﹣110x+100=0显然此方程有解．
∴p=5成立．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理和向量垂直的条件是关键．
12．已知命题p：函数f（x）=ln（e x﹣x+a2﹣10）（e为自然对数的底数）的值域为R，命题q：（+）dx＞+ln2．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，那么实数a的取值范围是（）
A．（1，3] B．（﹣∞，﹣3）C．[﹣3，1]∪（3，+∞） D．（﹣∞，1]∪（3，+∞）【考点】复合命题的真假．
【专题】导数的综合应用；简易逻辑．
【分析】根据对数函数的值域与定义域便知道函数f（x）有意义时，e x﹣x+a2﹣10的取值范围为（0，+∞），而对函数e x﹣x+a2﹣10取导数容易求出该函数有极小值，即得到e x﹣x+a2﹣10≥a2﹣9，从而得出a2﹣9≤0，﹣3≤a≤3．对于命题q中的定积分，关键求出
：令x=asinθ，该定积分便等于，从而便可求得原定积分，从而得到，这便可求出a＞1，根据已知条件知道p真q假，或p假q真，求出每种情况下的a的取值范围再求并集即可．
【解答】解：（1）对于命题p，要使f（x）的值域为R；
则要使f（x）有意义，e x﹣x+a2﹣10的取值范围为（0，+∞）；
设g（x）=e x﹣x+a2﹣10，g′（x）=e x﹣1；
∴x＜0时，g′（x）＜0；x＞0时，g′（x）＞0；
∴g（0）=a2﹣9是g（x）的极小值；
∴g（x）≥a2﹣9；
∴a2﹣9≤0；
∴﹣3≤a≤3；
（2）对于命题q，先求；
设x=asinθ，则==
==；
∴=；
∴；
∴；
∴a＞1；
若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假；
∴；
∴﹣3≤a≤1，或a＞3；
∴实数a的取值范围是[﹣3，1]∪（3，+∞）．
故选C．
【点评】考查对数函数的定义域与值域，根据函数导数求函数极值的方法与过程，换元法求定积分的方法与过程，熟练对数的导数，正弦函数的导数，求定积分的方法，以及p∨q，p∧q 真假和p，q真假的关系．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若（1+ax）（1+x）5展开式中含x2的系数为15，则a= 1 ．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】二项式定理．
【分析】含有x2的可能有两种，一是1与（1+x）5展开式中含x2的项相乘得到，另一个是ax与（1+x）5展开式中含x的项相乘得到，可求a．
【解答】解：由题意，（1+ax）（1+x）5展开式中含x2的项为=（10+5a）x2，展开式中含x2的系数为15，所以10+5a=15，解得a=1；
故答案为：1．
【点评】本题考查了二项式的展开式系数；关键是明确x2是怎么得到的，明确二项式的展开式的通项．
14．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞t）=P（ξ＜t﹣2），则t的值为3 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞t）=P（ξ＜t﹣2），结合曲线的对称性得到点t与点t﹣2关于点2对称的，从而做出常数t 的值得到结果．
【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），
∴曲线关于x=2对称，
∵P（ξ＞t）=P（ξ＜t﹣2），
∴t+t﹣2=4，
∴t=3
故答案为：3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
15．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．直线y=（x+c）与椭圆的一个交点为M，O为坐标原点，若|OM|=c，则椭圆的离心率是．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意求出直线与坐标轴的交点，求出M的坐标，然后椭圆方程即可求解椭圆的离心率．
【解答】解：直线y=（x+c）与坐标轴的交点分别为A（﹣c，0），B（0， c）．|AB|=2c．直线y=（x+c）与椭圆的一个交点为M，O为坐标原点，若|OM|=c，
可得M是AB的中点，M（）．
则：，即，
化简得：，
解得e=．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
16．已知函数f（x）=e﹣ax有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{} ．
【考点】函数零点的判定定理；函数的零点．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】函数f（x）=e x﹣ax有且只有一个零点可化为函数y=e与y=ax的图象有且只有一个交点；分a＜0与a＞0作图讨论即可．
【解答】解：∵函数f（x）=e x﹣ax有且只有一个零点，
∴函数y=e与y=ax的图象有且只有一个交点；
当a＜0时，作函数y=e x与y=ax的图象如下，
结合图象知，当a＜0时成立，
当a＞0时，作函数y=e x与y=ax的图象如下，
相切时成立，
故（e）′=e=；
故x2=；
且切点（x，e）在直线y=ax上知，
=a•；
故a=；
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{}．
故答案为：（﹣∞，0）∪{}．
【点评】本题考查了学生作图与用图的能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=27，设∠ACB=θ，C点到AD的距离为h．
（Ⅰ）求h（用θ表示）
（Ⅱ）求AB+BC的最大值．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）由已知k可求∠ADC=90°﹣θ，在△ACD中，由正弦定理可求AC的值，又∠CAD=30°+θ，且0＜θ＜60°，由h=AC•sin∠CAD即可得解．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理分别求出AB，BC，将AB+BC表示成9+18sin（2θ+60°），由正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得：∠ADC=360°﹣（90°+120°+60°+θ）=90°﹣θ…1分
在△ACD中，…3分
∴AC==18cosθ…4分
又∠CAD=30°+θ，且0＜θ＜60°，
∴h=AC•sin∠CAD=18cosθsin（30°+θ），（0＜θ＜60°）…6分
（Ⅱ）在△ABC中，AB==18sin2θ，…7分
BC==36cosθsin（60°﹣θ）=9…8分∴AB+BC=9+9cos2θ+9sin2θ=9+18sin（2θ+60°）…10分
∵0＜θ＜60°，…11分
∴当θ=15°时，AB+BC取到最大值9…12分．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，正弦函数的图象和性质的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．
18．在北方某城市随机选取一年内100天的空气污染指数（API）的监测数据，统计结果如下：
API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300] （300，+∞）天数 4 13 18 30 9 11 15
（Ⅰ）已知污染指数API大于300为重度污染，若本次抽取样本数据有34天是在供暖季，其中有9天为重度污染，完成下面的2×2列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计 100
（Ⅱ）某企业由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气污染指数API（记为ω）的关系式为：S=．试估计该企业一个月（30天）内造成的经济损失S 的期望
附注：k2=，n=a+b+c+d
P（K2≥k）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.025 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（1）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论；
（2）任选1天，求出该天的空气污染造成的经济损失，即可估计该企业一个月（30天）内造成的经济损失S的期望．
【解答】解：（1）根据以上数据得到如表：
非重度污染重度污染合计
供暖季25 9 34
非供暖季60 6 66
合计85 15 100
K2的观测值K2=≈5.316＞5.024
所以有97.5%的把握认为空气重度污染与供暖有关；
（2）任选1天，设该天的空气污染造成的经济损失为S，则
P（S=0）=P（0≤ω≤100）=；
P（S=400）=P（100≤ω≤300）=；
P（S=2000）=P（ω＞300）=
∴ES=0×+400×+2000×=572元，
∴该企业一个月（30天）内造成的经济损失S的期望30×ES=17160元．
【点评】本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，考查学生的计算能力，比较基础．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥平面PCD，PA⊥CB，AB=2AD=2CD=2，E为PB的中点
（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）通过计算可得AC=BC=，利用勾股定理知AC⊥BC，根据线面垂直的判定定理即得结论；
（2）通过（1）得BC⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理可知能以C为原点建立空间直角坐标系，则直线PA与平面EAC所成角的正弦值即为平面EAC的法向量与的夹角的余弦值的绝对值，计算可得a=2或1，分类讨论即可．
【解答】（1）证明：由已知可得AB=2，AD=CD=1，ABCD是直角梯形，
∴AC=BC=，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
由已知有PA⊥CB，又PA∩AC=A，PA、PC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC；
（2）解：由（1）得BC⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，
由已知得AD⊥平面PCD，
又PC⊂平面PCD，∴PC⊥AD，
又AD、BC是平面ABCD内的两条相交直线，
∴PC⊥平面ABCD，
以C为原点，建立空间直角坐标系如图，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），
设P（0，0，a），（a＞0），则E（，﹣，），
=（1，1，0），=（1，1，﹣a），=（，﹣，），
设平面EAC的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取=（a，﹣a，﹣2），
同理可得平面PAC的一个法向量为=（1，﹣1，0），
设直线PA与平面EAC所成角θ，
则sinθ====，
解得a=2或1，
当a=2时， =（2，﹣2，﹣2），===，当a=1时， =（1，﹣1，﹣2），===，
∴二面角P﹣AC﹣E的余弦值为或．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查分类讨论的思想，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．已知圆C1：（x+2）2+y2=，圆C2：（x﹣2）2+y2=，动圆Q与圆C1、圆C2均外切．求动圆圆心Q的轨迹为曲线C；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设点M（m，0），点Q为曲线C上位于x轴上方的动点，
①若m＜0，写出直线MQ倾斜角的取值范围；
②证明：∃整数λ，负数m，使得∠QC2M=λ∠QMC2．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）根据圆的方程便可得到圆的圆心和半径，再由两圆外切时圆心距离和半径的关系即可得到|QC1|﹣|QC2|=2，根据双曲线的定义即可知道圆心Q的轨迹是双曲线，并且可写出方程；
（Ⅱ）①求出曲线C的一条渐近线的倾斜角，并画出双曲线C及它的渐近线，根据图形即可得出QM倾斜角的范围；
②可设Q（x0，y0），当让y0趋向正无穷时，∠QC2M趋向，而∠QMC2趋向，这样就可求得λ=2，再由x0=2时，可得到m=﹣1，然后证明存在λ=2，m=﹣1使得∠QC2M=2∠QMC2．需分x0≠2，x0=2两种情况：x0≠2时，根据直线的斜率公式分别求出tan∠QC2M，tan∠QMC2，二倍角公式求出tan2∠QMC2，便可得到∠QC2M=2∠QMC2；x0=2时，该结论更易得到，这便完成了证明过程．
【解答】解：（Ⅰ）圆C1的圆心C1（﹣2，0），半径R1=，圆C2的圆心C2（2，0），半径；设动圆Q半径为r，则：|QC1|=，；
∴|QC1|﹣|QC2|=2；
∴点Q的轨迹是以C1（﹣2，0），C2（2，0）为焦点，实轴长为2的双曲线的右支；
∴动圆圆心Q的轨迹方程是；
（Ⅱ）①y=是曲线C的一条渐近线，该渐近线的倾斜角为，如图所示：
由图可以看出QM的倾斜角从0开始，当Q点的横坐标增大时，QM的倾斜角增加，当横坐标趋向正无穷大时，QM更接近渐近线，所以QM的倾斜角小于；
∴QM的倾斜角的范围为（0，）；
②设Q（x0，y0），（x0≥1，y0＞0）；
当y0→+∞时，∠QC2M→，∠QMC2→；
∴λ=2；
当x0=2时，∠QC2M=90°，∠QMC2=45°；
∴m=﹣1；
以下证明：当λ=2，m=﹣1时，恒有∠QC2M=2∠QMC2：
证明：∵Q在曲线C上，∴；
当x0≠2时， =，；
tan2∠QMC2===；
∴tan∠QC2M=tan2∠QMC2；
又2∠QMC2，∠QC2M；
∴∠QC2M=2∠QMC2；
当x0=2时，，，满足∠QC2M=2∠QMC2；
∴∃λ=2，m=﹣1，使得∠QC2M=λ∠QMC2．
【点评】考查圆外切时圆心间距离和半径的关系，双曲线的定义，圆的标准方程，双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线，由两点坐标求直线的斜率，注意寻找λ=2，m=﹣1的过程．
21．已知函数f（x）=（x﹣a）lnx﹣x
（1）若f（x）为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=0时，证明：f（x）≥x（e﹣x﹣1）﹣2e﹣1．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）f′（x）=lnx﹣（x＞0），由f（x）为增函数，可得f′（x）=lnx﹣≥，化为a≤xlnx；令g（x）=xlnx（x＞0），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）当a=0时，f（x）≥x（e﹣x﹣1）﹣2e﹣1⇔xlnx≥xe﹣x﹣2e﹣1．由（1）可得：．令h（x）=xe﹣x﹣2e﹣1．利用导数研究其单调性极值，求出最大值，只有证明h（x）max即可得出．
【解答】（1）解：﹣1=lnx﹣（x＞0），
∵f（x）为增函数，∴f′（x）=lnx﹣≥，化为a≤xlnx；
令g（x）=xlnx（x＞0），g′（x）=lnx+1，
当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
∴当x=时，函数g（x）取得极小值即最小值， =﹣，
∴．
∴a的取值范围是．
（2）证明：当a=0时，f（x）≥x（e﹣x﹣1）﹣2e﹣1⇔xlnx≥xe﹣x﹣2e﹣1．由（1）可得：．令h（x）=xe﹣x﹣2e﹣1．h′（x）=，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（1）=﹣．
由以上可得：xlnx≥xe﹣x﹣2e﹣1．
∴f（x）≥x（e﹣x﹣1）﹣2e﹣1．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题等价转化方法，考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力，属于难题．
一、请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲
22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．
【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．
（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．
【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
解：（2）因为△ABE∽△ADC，
所以，
即AB•AC=AD•AE．
又S=AB•ACsin∠BAC，
且S=AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．
【点评】相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．
一、选修4～4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴简历极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0，]
（1）将半圆C化为参数方程；
（2）已知直线l：y=﹣x+6，点M在半圆C上，过点M斜率为﹣1直线与l交于点Q，当|MQ|最小值时，求M的坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（1）首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步转化成参数方程，注意参数的取值范围．
（2）利用点一直线的位置关系，建立最值成立的条件，进一步求出结论．
【解答】解：（1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0，]，
转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0（0≤x≤2）
再把半圆C化为参数方程为：（α为参数，），
（2）设M到l的距离为d，则：|MQ|=，
所以：|MQ|取最小值时，仅当d最小，故半圆C在M处的切线与直线l平行，
由CM⊥l，又l的倾斜角为，
所以：点M对应的参数为：
则：点M对应的点的坐标为（1，2+）．
【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的平行问题，
一、选修4～5：不等式选讲
24．已知f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．
（1）设a=2，解关于x的不等式：f（x）+g（x）≤7；
（2）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．
【分析】（1）运用零点分区间的方法，讨论当x≥1时，当＜x＜1时，当x≤时，去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；
（2）求出g（x）≤5的解集，再由绝对值不等式的解法再求f（x）≤6的解集，由恒成立思想即可得到a﹣3≤﹣2，解出即可．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）+g（x）≤7即为
|2x﹣2|+|2x﹣1|≤5，
当x≥1时，不等式即为2x﹣2+2x﹣1≤5即1≤x≤2；
当＜x＜1时，不等式即为2﹣2x+2x﹣1≤5，解得1≤5，即有＜x＜1；
当x≤时，不等式即为2﹣2x+1﹣2x≤5，解得﹣≤x≤，
综上可得，不等式的解集为[﹣，2]；
（2）g（x）≤5即|2x﹣1|≤5，解得﹣2≤x≤3，
f（x）≤6等价为a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，
即有a﹣3≤x≤3，
由恒成立思想可得，a﹣3≤﹣2，
解得a≤1．
则a的取值范围是（﹣∞，1]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法以及恒成立思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．。