安徽2019高三级示范高中名校联考-数学(理)

安徽2019高三级示范高中名校联考-数学（理）
数学〔理科〕
本试卷分第I 卷〔选择题〕和第a 卷〔非选择题〕两部分。

第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷总分值150分，考试时间120分钟。

考生本卷须知
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂、黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第B 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷〔选择题共50分〕
【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1.i
是虚数单位，那么
2013在复平面内对应的点位于〔 〕
A 、第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设函数()(1)(1)f x x x x =-+，那么满足0
'()a f x dx
⎰
＝0的实数a 的有〔 〕
A. 3个
B.2个
C.1个
D.0个
3.如下图程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔 〕 A. 3 B. 11 C. 38
D. 123
4.为了调查学生每天零花钱的数量〔钱数取整数元〕，以便引导学生树立正确的消费观、样本容量1000的频率分布直方图如下图，那么样本数据落在［6,14)内的频数为〔 〕 A. 780 B. 680 C. 648 D. 460 5、“n ＝10”j
“
n ”的展开式中有常数项的〔 〕
A.充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6、设D 是不等式组
101010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
表示的平面区域，那么D 中的点P 〔x,y 〕到直线2
x
y
+＝
1距离的最小值是〔 〕 A
、
5 B
、5 C
D
、5
7.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2
=4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，那么△OAF 的面积为〔 〕
D. 1 8、三个实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝3，那么b 的取值范围是〔 〕 A 、[1,0)- B 、(0,1] C 、[1,0)-∪(0,3] D 、[3,0)-∪(0,1] 9.如图，L ，M ，N 分别为正方体对应棱的中点，那么平面LMN 与平面PQR 的位置关系是
A.垂直
B.相交不垂直
C. 平行
D.重合
10、在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，假设每个顶点被选的概率相同，那么选到两个顶点的距离大于3的概率为〔 〕 A 、47
B 、37
C 、27
D 、314
2018安徽省省级示范高中名校高三联考
数学〔理科〕
第II 卷〔非选择题共100分〕
【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分、把答案填在答题卡的相应位1、 11.
极坐标方程
2sin ρθθ=+表示的图形的面积是＿＿＿＿
12.设向量a =(x,3),b =(2，1)，假设对任意的正数m, n ，向量ma + nb 始终具有固定的方向，那么x=＿＿＿
13、一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为
14、设△ABC 的内角A 、B,C 的对边分别为a 、b 、c ， 且满足acosB －bcosA ＝35
c
，那么tan tanA B
的值是＿＿＿＿
15、如下图，△ABC 是一个边长为3的正三角形，假设在每一边的两个三等分点中，各随机．．．①依此方法可能连成的三角形一共有8个；
②这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形； ③这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形； ④这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形； ⑤这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形、
【三】解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、解答写在答题卡上的指定区域内、 16.〔本小题总分值12分〕 设函数f(x)＝
22
sin(2)3x x x
π
+。

〔I 〕求f 〔x 〕的最小正周期及其图象的对称轴方程；
〔II 〕将函数f 〔x 〕的图象向右平移3
π个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间
[,]
63
ππ-
上的值域、
17.〔本小题总分值12分〕
NBA 总决赛采用7战4胜制，即两队中有一队胜4场那么整个比赛结束、假设2018年总决赛在甲、乙两个球队间进行，根据以往总决赛的战绩，甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是12
，记需要比赛的场数为X.
〔I 〕求X 的最小值，并求X 取最小值时的概率； 〔II 〕求X 的分布列和数学期望、 18.〔本小题总分值13分〕
如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥平面ABC,△ABC 为正三角形，且侧面AA 1C 1C 是边长为2的正方形,E 是A,B 的中点,F 在棱CC 1上。

〔I 〕当
112
C F =
CF 时，求多面体ABCFA 1的体积；
〔II 〕当点F 使得A 1F+BF 最小时，求二面角A －A 1F －B 的余弦值。

19.〔本小题总分值12分〕 椭圆2
2
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F 1〔3,0〕。

〔I 〕设P 是椭圆上任意一点,
2||d PF D ≤≤,其中d,D 为常数，且d ＋，求椭圆的方
程；
〔II 〕设直线y=kx 与椭圆相交于A,B 两点,M,N 分别为线段AF 1,BF 2的中点，假设坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，运用椭圆的几何性质证明线段｜AB ｜的长是定值、 20.〔本小题总分值13分〕 在数列｛n
a ｝中,a l =l,a 2=4,且函数
()()3211(),*n n n n f x a a x a a x n N +++=---∈，在x=1
时取得极值、
〔I 〕求数列｛n
a ｝的通项公式；
〔II 〕符号［x ］表示不超过实数x 的最大整数，记2[log (1)]n n b a =-，n
S 为数列｛n b ｝
的前n 项和，求n
S 。

21、〔本小题总分值13分〕
函数f(x)＝lnx －mx 十m,m ∈R. 〔I 〕求f(x)的单调区间；
〔II 〕假设f(x)≤0。

在x ∈(0，＋00)上恒成立，求实数m 的取值范围、 〔III 〕在〔II 〕的条件下，任意的0＜a ＜b ，证明：()()
1<1f b f a b a
a
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数学〔理科〕试题参考答案
1.C 解析：
22,22i
i ==
∴ ⎪⎝
⎭2013
2012
10062i i
===
=,所以其对应点位于第三象限.
2.C 解析：
()()0,
a
f x dx f a '==⎰
得0a =或或1,-又由积分性质知>0a ,故1a =,选C.
3.D 解析：第一步：2=1+2=3<12a ，第二步：2321112a =+=<，第三步：
211212312a =+=>，输出123、
4.B 解析：由图及频率分布直方图的意义知4×〔0.02+0.03+0.03+0.08+x 〕=1，解得x=0.09，∴样本数据落在[6，14〕内的频数为1000×4×〔0.08+0.09〕=680、
5.A 解析：
1351
36
21C ()
()C ,
n r r n r
r
r r n
n
T x x x
--
-+=⋅=令350,n r -=得
3,
5
r n =∴当n 为5的倍数时展开式中都有常数项，应选A 、
6.A 解析：画图确定可行域，从而确定(1,0)-到直线1
2
x
y +=
7.C 解析：过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，那么2,22,2,FA m m m m =+==所以
1
12
OAF
AD S ∆==⋅⋅=8.D 解析：设公比为q ，显然0q ≠，
13
++=(+1+q)=3b=.
11++q a b c b q q
⇒
11
>0+2,0<1<0+-2,-3<0.
q b q b q q
≥∴≤≤∴≤当时，q ；当时，q 应选D 9.C 解析：如图，分别取另三条棱的中点,,A B C 将平面LMN 延展为平面正六边形AMBNCL ，
因为ＰＱ∥ＡＬ，ＰＲ∥AM ，且ＰＱ与ＰＲ相交，AL 与AM 相交，所以平面PQR //平面AMBNCL ，即平面LMN ∥平面PQR . 10.B 解析：从8个顶点中任取两点有
2828C =种取法，
其线段长分别有1，2，3
12条棱线，长度都3≤；②其中4条，边长(1,2)
对角线3=<；故长度3>的有2812412--=，故两点距离大于3的概率123287
P ==
.
11.4π
解析：
2222sin cos 2x y y ρρθθ=+⇒+=
+22((1)4,x y ⇒+-=面积为4.π
12.6解析：当a 与b 共线时，向量m n a +b 始终具有固定的方向，所以 6.x =
13.16π解析：该几何体是从一个球体中挖去14
个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面
积为()22
3
2422164
2
πππ
⋅⨯⋅+⋅
=.
14.4解析：
333
cos cos sin cos -sin cos =sin =sin(+)
555
3tan =sin cos +sin cos 2sin cos =8sin cos =4.5tan a B b A c A B B A C A B A A B B A A B B A B
-=⇒⇒⇒（） 15.①②⑤解析：如图编号，边长为3，那么选取三角形的边长为
1,或2三种之一；
①每边各选1点，三角形共
1112228C C C ⨯⨯=个；
②锐角三角形只有△DHF 和△IGE 两个；
③直角三角形有6个〔满足1
2〕； ④没有钝角三角形；
⑤两个正三角形△DHF 和△IGE
〔边长为；应选①②⑤.
16.解析：
〔Ⅰ〕
1()sin 2222f x x x x
=+-
1sin 222x x =
+26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,
所以
()
f x 的最小正周期为
22T π
π
==.………………3分 令
()
26
2
x k k π
π
π+
=+
∈Z ,得
()26
k x k ππ
=+∈Z , 故
()
f x 的图象的对称轴方程为
()26
k x k ππ
=+∈Z .………………5分 〔II 〕将函数
()
f x 的图象向右平移3
π个长度单位,得到函数
(
)2236g x x x
ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的图象,即
(
)2g x x
=.………7分
当
,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时,
22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥
⎣⎦
,得
1cos 2,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
.………………8分
所
以
2x ⎡∈⎢⎣,即函数
()
g x 在区间
,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域
是
⎡⎢⎣.………………12分
17.解析：〔Ⅰ〕依题意可知：X 的最小值为4.
当4X =时，整个比赛只需比赛4场就结束，这意味着甲连胜4场或乙连胜4场，于是由互斥事件的概率计算公式可得
()444
1142()28
P X C ===
.………………5分
〔Ⅱ〕4,5,6,7.X =
当5X =时，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜，显然这两种情况是互斥的，所以 ()334341111
52()();
2224
P X C -⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦
依此可得：
()()33535336361115
62()(),
222161115
72()();
22216
P X C P X C --⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣
⎦⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦
∴X 的分布列为：
∴数学期望
1155934567.
84161616
EX =⋅+⋅+⋅+⋅=………………12分
18.解析：〔Ⅰ〕
1111410,2,,.
233
AA FC C F CF AC CC CF S ===∴==直角梯形 由可得ABC ∆的高为3且等于四棱锥ACF A B 1
-的高.
39103310311=⨯⨯=∴-ACF
A B V ，即多面体1
ABCFA
的体积为.39
10…………5分 〔Ⅱ〕将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形1
1A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时
点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1
的中点.……7分
以1
,AC AA 分别为y 轴，z 轴，过点A 且与AC 垂直的直线为x 轴建立空间直角坐标系，那
么
1(0,0,0),(0,0,2),(0,2,1),
A B A F
显然平面1
AA F 的法向量为
1(1,0,0);
n =
设平面1
A F
B 的法向量为
2(,,),
n x y z =
∵
11(3,1,2),(0,2,1),
A B A F =-=-∴
20,20,
y z y z +-=-=⎪⎩令1,y =得
2(3,1,2),
n =
设二面角1
A A F
B --为,θ那么
12126
cos ||||n
n n n θ⋅==⋅………………13分
19.解析〔Ⅰ〕因为D d +=，所以
(
)()a c a c ++-=，解得a =，因为
222a b c =+，3c =，所以3b =，所以椭圆的方程为2
2
1189
x y +=.………………5分 〔Ⅱ〕由椭圆的中心对称性得，
OA OB
=，依题意得，OM ON ⊥，四边形2
OMF N 为
平行四边形，所以22AF BF ⊥，所以△2ABF 是直角三角形，所以226AB OF ==.
所以线段
AB
的长是定值6.………………12分
20.解析：〔Ⅰ〕设公差为d ,0d ≠.由得
121
114614
(2)(6)a d a d a a d +=⎧
⎨+=+⎩，
解得10d d ==或(舍去),所以12a =，
故1n
a n =+………………5分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1n
a n =+，所以[][]22log (1)=log n n
b a n =-………………6分
[]x 表示不超过x 的最大整数，当12
2t
t n +≤<时，[]2log n t =
[][][][][]22222222log 1log 2log 3log 4log 5...log (21)log 2n n n
S ⎡⎤⎡⎤=++++++-+⎣⎦⎣⎦
[][][][]2
3
123
22222222
22log 1(log 2log 3)(log 2...log 7)(log 2...log 15)...⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++++
⎣⎦⎣⎦⎣⎦1
1
1
22222(log 2
log (2
1)...log (21))log 2n n n n n
---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
234122223242...(1)2 n n S n n -+⨯+⨯+⨯++-⨯+=① 23412222232...(2)2(1)2 2n n n S n n n -+⨯+⨯++-⨯+-⨯+=②
①-②得：
234122222..222 .n n n n S n n
-=-++++++-⨯-
2(12)(21)
12
n n
n -=-⨯+-(2)22n n n =-⨯-- 2(2)22
n n S n n ∴=-⨯++.………………13分
21.解析：〔Ⅰ〕
1()(0)
mx
f x x x
-'=>. 当m=0时，()ln f x x =在
()0,+∞上单调递增； 当m <0时，
1()0
mx f x x
-'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当m >0时，令
1()>0mx f x x -'=得10x m <<，所以()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
令
1()0mx f x x -'=<得，1x m >，所以()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.……………4分 〔Ⅱ〕当m ≤0时，()f x 在
()0,+∞上单调递增，且()f x -∞<<+∞，所以()0f x ≤在
()0,+∞上不恒成立；
当m >0时，由〔Ⅰ〕得
max
1()ln 10
f x f m m m ⎛⎫
==--+≤ ⎪⎝⎭
，
令
()ln 1g m m m
=--+，
()111m g m m m
-'=-=
，所以()0,1m ∈，()0g m '<，
()1,m ∈+∞，
()0
g m '>，
()min (1)0
g m g ==，所以m=1.
综上，m 的取值范围是m=1.………………8分 〔Ⅲ〕
()()ln ln ln 111
1
b
f b f a b a a b b a b a a a
--=-=⋅----，因为0b a >>，所以1b a >， 由〔Ⅱ〕得，
()1,x ∈+∞时，ln <1x x -，令b t a
=，那么ln <1t t -，
又1t >，所以ln <1
1
t
t -，
因为1
a
>，所以
()()11
11<1<11b
ln f b f a a b a a b a a a
-⋅-----，即.………………13分。