人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第6章 计数原理 组合 组合数

5×4
8
C8 =3× 3×2×1-2× 2×1+1=149.
2
C100
+
1
C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
.
!
!
2·!
证明左边=
+
+
(+1)!(--1)!
(-1)!(-+1)!
!(-)!
!
=120.
(4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为
A310 =720.
规律方法
1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素中取出
m(m≤n)个不同的元素.
2.只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的
组合.
3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,
(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?
解 (1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为A210 =90.
(2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序
2
区别,组合数为C10
=45.
3
(3)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合数为C10
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
5
解 (1)C12
=792 种不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的 9 人中选 2 人,共有C92 =36 种不同
的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的 9 人中选 5 人,共有C95 =126 种不
=
·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]
(+1)!(-+1)!
!
=
·(n+2)(n+1)
(+1)!(-+1)!
(+2)!
=
(+1)!(-+1)!
+1
=C+2
=右边.
规律方法
(1)公式C
=
A
(-1)(-2)…(- +1)

与顺序无关的是组合问题.
探究点二
组合数公式
问题3我们已知组合的定义以及组合数公式.如何利用组合数公式及性质
计算下列与组合相关的问题?
98
199
【例 2】 (1)计算:①3C83 -2C52 + C88 ;②C100
+ C200
.8
②C100
+
199
C200
+
=
8×7×6
基础落实·必备知识全过关
知识点1 组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合.
可类比集合元素的无序性
2.相同组合:两个组合只要 元素相同 ,不论元素的顺序如何,都是相同的.
名师点睛
排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
!(- )!
n 为具体数的题目,多用于组合数的计算;公式C =
n 为字母的题目,多用于解不等式或证明恒等式.
微思考
“组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别?
提示 “组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中
取出m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一组对象;组合数
是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是
一个数.
知识点3 组合数的性质
性质
1:C
=
-
C .
组合数的对称性
-1


性质 2:C+1 = C + C .
重难探究·能力素养全提升
问题1我们已经学习了排列与排列数,也知道排列与组合有关系,我们能否

利用这种关系,由排列数 A
38-
对点题)求C3
3
+ C21+
的值.
解 由组合数的定义知,
19
≤ ≤ 38,
0 ≤ 38- ≤ 3,
即 2
0 ≤ 3 ≤ 21 + ,
21
0≤≤
.
2
∴
19
2
∴
38-
C3
≤n≤
+
1 2 3 4
21
*
.
∵n∈N
,∴n=10.
2
3
C21+
=
28
C30
+
30
C31
=
2
C30
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
微思考
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列与组合的区别是什么?
提示 排列要求取出的元素要有顺序的排成一组,而组合则只要求取出后构
成一组即可,不要求顺序.
知识点2 组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联
系与区别.(数学抽象)
学习目标
2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之
中.(数学运算)
3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题
.(数学建模、数学抽象、数学运算)
来求组合数
C

呢?
探究点一
组合概念的理解与应用
问题2我们已知排列与组合的联系与区别.根据定义,如何判断以下问题是
排列问题还是组合问题?又如何通过排列数或组合数进行求解?
【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或
组合数.
(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?
(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?
1 2 3 4
=
7·!·(7-)!
,
10·7!
4.(例3对点题)从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
(1)共有多少种不同的选择方法?
(2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法?
解 (1)根据题意,从 2 位女生,4 位男生中选出 3 人参加垃圾分类宣传活动是
组合问题,其选择方法种数为C63 =20.
= C +
探究点三
常见的组合问题
问题4对于常见的组合问题,如何根据题目要求进行建模,利用组合数解决
问题?
【例3】 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5
人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
应用.
2.方法归纳:公式法、间接法、分类讨论法.
3.常见误区:(1)分不清“排列”还是“组合”;(2)易忽视组合数中m与n的限制
条件;(3)计算中不能构造组合数性质.
学以致用·随堂检测全达标
1.(例1对点题)下列四个问题中,属于组合问题的是( C )
A.从3个不同小球中,取出2个排成一列,共有多少种排法
(2)根据题意,从 6 人中选出 3 人,不同的选择方法种数为C63 ,其中没有女生入
选的选择方法种数为C43 =4,
所以至少有 1 位女生入选的选择方法种数为C63 − C43 =20-4=16.
1 2 3 4
有C95 种,
5
所以,共有C12
− C95 =666 种不同的选法.
规律方法
组合问题的基本解法
判断是不是组合问题→是否分类或分步→根据组合的相关知识进行求解
本节要点归纳
1.知识清单:(1)组合与组合数的定义;(2)组合数的计算与证明;(3)组合数的
两个性质及应用;(4)排列与组合的区别与联系;(5)组合数在实际问题中的

C
组合数
个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的
,用符号 表示.

2.组合数公式: C
A


= A
n,m∈N*,并且m≤n.
0
C
另外,我们规定 = 1 .
(-1)(-2)…(- + 1)
!
=
!
= !(-)!,这里
名师点睛
公式C =
A

常用于

A
!
常用于
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 种
选法,再从另外的 9 人中选 4 人有C94 种选法.共有C31 × C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法一
直接法)可分为三类:
第 1 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C31 × C94 种选法;
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌,共有多少种排法
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星,共有多少种
选法
D.将3张不同的电影票分给10人中的3人,每人 1张,共有多少种分法
解析 只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关,是组合问题.
1 2 3 4
2.(例 2
第 2 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C32 × C93 种选法;
第 3 类,甲、乙、丙 3 人均参加,有C33 × C92 种选法.
所以,共有C31 × C94 + C32 × C93 + C33 × C92 =666 种不同的选法.
5
(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12
种,甲、乙、丙三人不能参加的
*
=
(m,n∈N
,且
A

!

m≤n),一般用于求
值计算.
(2)公式C
=
!
(m,n∈N*,且
!(- )!
m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,
要根据题目特点正确选择.
(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C
=
-
C , C+1
-1
C (m,n∈N*,m≤n),能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
1
+ C31
=
30×29
+31=466.
2×1
3.(例 2
解
1
对点题)已知
C5
1
由C
5
1
− C
6
=
−
1
C
6
=
7

,求C
.

8
10C 7
7
!·(5-)!
!·(6-)!
得, 5!
−
10C
6!
7
化简得 m2-23m+42=0,解得 m=2 或 21.
又 0≤m≤5,∴m=2,∴ C8 = C82 =28.