【人教A版】高中数学必修五：1.1.2《余弦定理》pdf导学课件

接
∴sin(A－B)＝0.
又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，
所以 A＝B，又由 a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝21.
栏
又 0°＜C＜180°，所以 C＝60°，
目 链
接
∴△ABC 为等边三角形．
a＋c＝2b c＝b－4.
栏
目
∴a＞b＞c，∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°，
链 接
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×－12，
即 b2－10b＝0.
解得 b＝0(舍去)或 b＝10，此时 a＝14，c＝6.
题型3 判断三角形的形状
例 2 在△ABC 中，已知 c＝acos B，b＝asin C，判断三角形形状．
由余弦定理，有
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝6k22·＋（6k·3＋（1）3＋2k21－）4kk2＝ 22，
∴A＝45°.
栏
目
cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4k2＋2×（2k（3＋13）＋21k）2－k6k2＝21，
链 接
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
(2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且 b2＋c2＞a2且 c2＋a2＞b2.
(3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或 b2＋c2＜a2或 c2＋a2＜b2. π
(4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝ 2 .
4．在△ABC 中，已知 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C， 请确定△ABC 的形状．
解析：方法一 利用边的关系来判断：
由正弦定理得ssiinn CB＝bc，
栏
目
由 2cos Asin B＝sin C，
链
பைடு நூலகம்
接
有 cos A＝2ssiinnCB＝2cb.
又由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2.
∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，
即 c2＝b2＋c2－a2，
所以 a2＝b2，所以 a＝b，又∵a2＋b2－c2＝ab，
栏 目
链
∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.
接
当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°.
当 a＝6 时，由正弦定理 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二 由 b＜c，B＝30°；
由 b＞csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两解． 由正弦定理
解析：因为 A＝120°，b＝3，c＝5，
栏
所以根据余弦定理，得
目 链
接
a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋25－2×3×5×cos 120°＝49，所以 a
＝7.
答案：7
2．在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求 AC.
解析：由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 30°，
弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，
栏
再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列
目 链
接
出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边
长．这样可免去取舍解的麻烦．
1． 已知△ABC 中，A＝120°，b＝3，c＝5，则求边 a＝
________．
栏
∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2.∴b＝c，∴a＝b＝c，
目 链
接
∴△ABC 为等边三角形．
方法二 利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，
∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
栏 目
链
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
点评：1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从
“统一”入手，即用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：
(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．
(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三角之间的数量关系．
栏
目
2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
链
接
(1)△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或 c2＝a2＋b2或 b2＝a2＋c2.
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关 键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用栏目
链
正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三接 角．
3．在△ABC 中，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，
求三边的长．
解析：由a－b＝4，得a＝b＋4.
sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23，
栏 目 链 接
∴C＝60°或 120°.当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得：
a＝ b2＋c2＝ 32＋（3 3）2＝6， 当 C＝120°时，A＝30°，
△ABC 为等腰三角形，∴a＝3.
点评：已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正
1．1.2 余弦定理
栏 目 链 接
掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
栏 目 链 接
题型1 已知两边及其一角解三角形
例 1 △ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°，解此三角形．
解析：方法一 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B.
得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°，
解析：由余弦定理知 cos B＝a2＋2ca2c－b2，
代入 c＝acos B 得：
栏 目
链
c＝a·a2＋2ca2c－b2，∴c2＋b2＝a2，
接
∴△ABC 是以 A 为直角的直角三角形．
又∵b＝asin C，∴b＝a·ac，∴b＝c， ∴△ABC 也是等腰三角形． 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．
栏 目
链
接
∴AC2－2 3AC＋3＝0，
∴AC＝ 3.
题型2 已知三边解三角形
例 2 已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的各内角度数．
栏 目
分析：由比例的性质可以引入一个字母 k，用 k 表示 a、b、c，链
接
再由余弦定理求解各角． 解析：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， ∴令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k.