数学建模-红绿灯问题

红绿灯优化问题
摘要
红绿灯（交通信号灯）系以规定之时间上交互更迭之光色讯号，设置于交岔路口或其他特殊地点，用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人，管制其行止及转向之交通管制设施。

为一由电力运转之交通管制设施，以红、黄、绿三色灯号或辅以音响，指示车辆及行人停止、注意与行进，设于交岔路口或其他必地点。

有些红绿灯在设计的时候，由于考虑不周全，环境的发展变化，出现了一系列问题，使得不能真正的方便于人。

为了使红绿灯能真正的方便于人，本文建模过程根据实际情况，考虑诸如道路车辆行驶速度、行人行走速度、车流量、人流量、路段宽度等相关问题，对这些因素进行了数据收集，利用数学方法对其进行了分析，得出了各个影响红绿灯变化的规律及其拟合方程。

一、问题重述
灯是用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人，管制其行止及其转向之交通管制设施，红绿灯灯亮的时间长短问题影响了车辆和行人的通行。

如控制方案不佳，会导致行人和车辆通行的不便，怎样设置才能使红绿灯时间达到最佳。

在日常生活中我们知道红绿灯的表示如下：
（一）绿灯亮时，准许车辆通行，但转弯的车辆不得妨碍被放行的直行车辆、行人通行；
（二）黄灯亮时，已越过停止线的车辆可以继续通行；
（三）红灯亮时，禁止车辆通行。

根据其工作原理我们可以知道，在红绿灯前首先司机会看到黄灯，黄灯亮
后变成红灯，红灯亮后，没有通过停止线的车辆则要停止，行人此时过马路。

此后再变绿灯，以此循环。

但由于变化的规律性，地域的差异，红绿灯时间很难达到最佳。

红绿灯时间差的决定因素大体可以归为两个：车流量和人流量。

第一个因素车流量会因为地域经济发展程度而决定。

所谓的地域经济发展程度会影响该地域人们的经济，人们的经济条件则决定车的总量。

第二个因素人流量的主要影响条件也是地域经济发展程度，所以我们把总因素，即红绿灯的时间差因素归纳为地域经济发展因素的影响。

根据路口设置信号灯的交通流量标准表，下表所示：
根据路口设置信号灯的交通流量标准表，下表所示：
二、模型的建设
1、假设公路路面行驶顺畅，所以车辆设为质点，车距相等；
2、假设司机的反应时间相同；
3、假设车辆离红绿灯较远的速度和离开红绿灯后的速度相等。

三、符号说明
Q为等候红绿灯的人流量
W为车流量
V为车辆离红绿灯较远时的速度（m/s）
T为红绿灯所占时间周期（s）
I为相邻两红绿灯的道路长度（m）
E为所需通行时间占周期总时间的比例
K为车辆密度（辆/km）
四、模型建立与求解
在公路上选定一个坐标原点，记作x=0.以车流运动方向作为X轴的正向，对于每一时刻t和每一点x，引入3个基本函数；
流量W(x,t)时刻t单位时间内通过点x的车辆数；
密度K(x,t)时刻t点x处单位长度内的车辆数；
速度u(x,t)时刻t通过点x的车流速度；
单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车辆速度的乘积，即
W(x,t)=u(x,t)K(x,t)①
由这三个函数我们可以得知，车流速度u 总是随着车流密度K 的增加而减小的。

当一汽车前面没有车辆的时候，它将以最大速度V 行驶。

当亮红灯时，车队首尾连接造成堵塞，车辆无法前进，此时K 为最大值，车辆行驶速度u=0.
在交通模型中这个关系常用如下二次函数表述： W=uK(1-K/Km)② 由①②得出： U=um(1-k/km)
最后得到，W 的最大极值点为Km/2
说明，红灯亮时道路中间的车辆密度为最大，首尾两端递减。

若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度K （x ）是常数。

某时刻交通灯突然变红灯，于是前面车辆继续行驶，后面的车辆则一辆辆地堵塞起来。

红绿灯的变化必然引起密度函数K （x,t ）的间断，一连串的间断点（x,t ）在平面上构成一条孤立连续的间断线。

考虑到如果汽车以V0 (m/s)行驶的过程中遇到红灯，汽车将会经历一个减
速过程，最后停在红灯线前，为了使模型较为简练，近似地取
b 3v v =
作为汽车在
这个过程中的速度。

同样的，当绿灯亮时，汽车将经历一个加速过程，最后以一个较大Va=V0的速度离开路口，模型建立的时候认为加速过程较短，可以忽略，汽车离开路口的速度为Va 。

定义一个变量车流密度k(辆/km)表示在一千米长的道路上的平均的车辆数目。

假设k 只是速度v 的函数，即()k k v =，并且，v 越大，则k 越小，v 越小，
则k越大。

列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。

车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。

此车流波动沿道路移动的速度称为波速。

假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为w(w为垂线S相对于路面的绝对速度)，并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正。

如下图1.1表示：
首先看波速公式的推导：
假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S 分割这两种密度，称S 为波阵面，设S 的速度为w （ w 为垂线S 相对于路面的绝对速度），并规定垂线S 的速度w 沿车流运行方向为正。

由流量守恒可知，在t 时间内由A 进入S 面的车辆数等于由S 面驶入B 的车辆数，即：
1122()()v w K t v w K t -=- 可解得2211
21V K V K w K K -=
-
如图，2211
21V K V K w K K -=
- (1.1)
其中
S1,S2 由于红灯，绿灯所造成的车流的扰动而引起的车流波的波面， W1,W2 分别为两波的传播速度/m
V1 =V0 /3 在受到红灯车流波影响前的车的速度m/s
V2 =0 汽车在等红灯时的速度
V3 =V0 绿灯亮之后汽车离开的速度m/s K1,K2,K3 分别为三个阶段的车流密度 辆/km O 红绿灯的位置
P 车流波影响的最终位置，即波面S1,S2在此相遇 Tr,Tg 单位周期内红灯绿灯的时间
先讨论使得路口交通畅通时的约束条件，由前面的车流波和波速的概念可以求得
221111
12112v K v K v K
w K K K K -=
=--， (1.2) 332233
23232v K v K v K
w K K K K -=
=-- (1.3)
如果要使得因红灯而停在马路口的车辆得以全部消散，要求： W2> W1
(1.4)
又设从绿灯亮到所有车均消散开所经历的时间为
121r
w T t w w ∆=
- (1.5)
则要求
g
t T ∆< (1.6)
由于车辆进入城区的方向与时间未定，假设车辆从两个垂直方向进入城区的事件分别为A ，B ，且有P(A)=P(B)=0.5，同时假设在汽车行驶的过程中不拐弯，即汽车在每个路口都只能往前行驶。

式1.5、1.6为模型的约束条件，除此之外还有非负约束。

如果要使车辆进入城区的用时极小，则使
Min E(t)=P(A)E(t|A)+P(B)E(t|B) (1.7) 式1.7为模型目标函数。

现在分别考虑E(t|A)和E(t|B)计算方法：
由于红绿灯有一个固定周期为(Tr+Tg)，现在假设汽车进入道路时红绿灯的相位x ，~[0,1]x U ，假设0x =的时刻为在汽车驶入城市道路的时候，离它最近
的第一个红灯刚好处于刚亮的状态，则当
()
1
r g r
x T T T +<，表示汽车进入道路的瞬
间，红灯亮，而若
()
1
r g r
x T T T +>，表示汽车进入道路的瞬间，绿灯亮。

则考虑到这样的周期性，可以有如下的划分：
其中假设道路的原长为l0，则有
00
(1)(){}()()r g r g r g l x T T v s T T v T T v --+=++ (1.8)
假设当红灯刚好亮的时候距红灯距离为S0的范围内，所有的车辆会受到红
(1-x)(T
绿灯波的影响。

21221
01121()r r K w T t K T w w s K K w w +∆=
=
-（将（1.5）代入）(1.9)
如果有S<S0，则汽车走完这S 的路程所用的时间可表示为：
11
2223s r sK sK T T K w K v =+
+
(1.10)
上式等式右边第一项表示等待红灯所需要的时间，第二项表示由于绿灯波的延迟所造成的时间差，而第三项表示从停车位置行驶到路口所花的时间。

此时的总的时间为
00()r s l s
T x T v -=+
(1.11)
而如果S0< S<(Tr+Tg)V0时可以想象该车将不再受到红灯的影响，即它可以以它现在的匀速速度V0通过红绿灯路口。

此时它通过该段路所用的时间为：
0()g l T x v =
(1.12)
00
11222300
(|)()()()()[]g r r g r r g r g T l s
l T sK sK t x A p r T x p g T x T T T K w K v v T T v -=⋅+⋅=⋅++++⋅++ （1.13）
1
(|)=(|)()E t A t x A p x dx
⎰ (1.14)
同样的道理有
1
(|)=(|)()E t B t x B p x dx
⎰ (1.15)
g T r T .
模型的优化变量为g T、r T，根据不同约束条件下的结果，计算结果列于下表。

表1.1 不同车流密度k取值下优化结果
注：表中K下标第一位表示第几阶段的车流密度，第二位表示南北向或东西向。

上表的求解结果表明，对于本模型的优化目标函数，约束1.5，1.6均为松弛约束，或者说，模型的最优分配方案是红、绿灯周期尽可能地短。

显然，这样的求解结果与实际情况完全不同。

导致问题的原因在1.4.2中讨论，下面仅从一点修正模型，即假设为了让行人有足够的时间通过马路，两个方向绿灯时间有下界，即将非负约束加强为某一正值下界约束。

求解结果列于下表。

不同下界约束下的优化结果
表1.2
优化结果将趋向于使红绿灯周期尽可能地小，这一点不应修正改变。

该模型成立的一个必要条件是车流是连续的均匀流，才有了车流波的概念，但实际上由于司机的主观意识的影响，车的运动极不规律，也就是说实际中的车流难以满足连续均匀流这样苛刻的条件。

如果以车的实际运动或者简化的加速减速进行计算，必然牵扯到微积分的计算，将使计算的难度将大大地提高。

在遭遇红绿灯前后车的减速和加速不可能是一个瞬间的突变的过程，同时车流密度K不可能仅仅是v的函数，也是随着v而连续变化的，这样的话，模型的推导必须以微积分的知识为基础。

车流波的形式将变得很复杂，不再简单地满足该模型。

最为重要的一点是，根据1.4.1中的求解结果可以推测出，由于没有考虑到司机的反应时间，还有穿过马路的行人对交通的影响导致求解的结果是Tr和Tg 越小得到的时间期望越低。

但是在实际的运用中，如果Tr和Tg过小可能会导致出现绿灯期间没有车会通过马路或者没有行人能够通过人行道的情况。

参考文献
（1）杨树祺，道路交通常用数据手册，中国建筑工业出版社，2002年11月。