五年级寒假衔接教材

目录
第一讲 :分数的加减法 (2)
第二讲：分数的乘法 (8)
第三讲：分数的除法 (13)
第一部分：倒数认识 (13)
第二部分：分数除法的意义及计算法则 (13)
第四讲：分数除法解决问题 (18)
第五讲：长方体与正方体的认识 (22)
第六讲：方体的表面积 (26)
第七讲：长方体的体积 (29)
第八讲：列方程解决问题 (32)
第九讲：因数与倍数的关系 (37)
第十讲： 2，3，5 的倍数的特征 (40)
第一讲 :分数的加减法
【知识体系】
1. 分数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法
（分母不变，分子相加减）
（2） 异分母分数加、减法
（通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。

（4） 结果要是最简分数
2. 带分数加减法 : 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

【知识精讲 】
例 1：
分析：在同分母相加减中，一定要注意分母不变，分子相加减，上面两题计
算步骤正确。

【学以致用】
1 2 5 3 7 4
5 5
8 8 11 11
1
3 2 3
4 1 1
3
3 2
10 10
5
5
5
5 5
例 2：
分析：异分母相加减时，我们一定要先找到最小公分母通分，然后根据同分母的计算方法来计算。

【学以致用】
113131
2342515
例3：
分析：第一个题：有三个分数，那么我们可以选择先通分两个分数，然后再通分第三个分数，也就是解法 1 的作法。

我们还可以选择三通分数同时同分，当然公分母可能既要复杂一些，但是和找两个分数的公分母方法是一样的。

第二个题：有括号，在四则运算中我们知道有括号的先算括号内，记住：整数的计算法则在分数中照样有效。

【学以致用】
4＋2＋17
－(
3
－
3
)
53510710
例 4：把分数、、、化成小数。

【学以致用】
把分数化成小数。

例 5：把小数 0.05,0.8,1.24,7.25化成分数。

【学以致用】
把小数 0.24,1.8,0.35化成分数
【课堂练习】
一、填空。

1.把8米长的一根绳子平均剪成 5 段，平均每段是8 米的 ()，每段长()米。

2. 13
的分数单位是()，它里面有()个这样的单位，再增加5
()个这样的分数单位就是最小的质数。

3. 一项工程需要 9 天完成，平均每天完成这项工程的，5天完成这项工程的，还剩下这项工程的。

4. 把 5 克糖放入 100 克水中，糖占水的 ，糖占糖水的 ，糖水重量是糖的重
量的（ ）倍。

5.
72
=
24 =12÷（
）=6
≈（
）（保留两位小数）
36
6.8 吨的
1
等于 1吨的。

15
7. 分母是 6 的真分数有（ ），其中最简分数有（
）。

8. 4 米表示 (
)
，还表示 (
)。

5
9. 3 的分子加上 6，要使分数值不变，分母应（
）。

4
10. 在下面的括号里填入合适的分数或整数。

75
厘米 =（ ）米 465 平方分米 =（ ）平方米
260
秒 =（
）分
40
时=（
）日
二、判断：
1. 大于 1
而小于 3
的分数只有 2。

（
）
5 5 5
2. 分数的分子和分母都乘或除以相同的数，分数的大小不变。

（
）
3. 分母不相同的两个分数有可能相同。

（ ）
4. 最简分数一定是真分数。

（ ） 5.3 小时 25 分等于 3 1
小时。

（
）
4
三、约分：
80
125 39 140 32
120
52
28
四、通分并比较大小：
3 和 7
5 和 7 7、5和9
11 12
18
27
12
32
48
【课后作业】
1. 把下面的分数化成小数。

（除不尽的保留两位小数）
5 2 7 2
1
8
3
9
16
2. 口算：
＋ ＝
－ ＝ ＋ ＝
－ ＝
＋ ＝
－ ＝
3. 递等式计算：（能简算的用简便方法）
3 ＋ 5 ＋
1
5－4＋2
4 7 2
17
51 3
1－
17
－
1
11＋15 ＋ 8
18 18 12 16
15
4、列式计算：
（1） 一个数比 1 多 3
，这个数是多少？
4 7
（2） 2 减去 2 ，再减去 1
，结果是多少？
3 5 6
5. 张大伯收了一批西瓜，第一天卖出了总数的
1
，第二天卖出了总数的
1
，两天
5
6
共卖出总数的几分之几？
6. 王彬看一本书，第一天看了全书的
2
，第二天比第一天多看了全书的
4。

两天927
一共看了全书的几分之几？
7.有一筐 72 千克的苹果，第一天吃了它的，第二天吃了它的。

（1）还剩下几分之几？
（2）还剩几千克？
【思维拓展】
1.某市举办数学竞赛设一、二、三等奖若干名 , 获一、二等奖占获奖总人数的 , 获二、三等奖占总人数的，获一等奖的人数占获奖总人数的几分之几？
2.有三个分母相同的分数，分子是三个连续的自然数。

在这三个分数中，最小的
一个是真分数，其余的两个是假分数，三个分数的分子之和是24. 你能算出这三个分数的和是多少吗 ?
第二讲：分数的乘法
【知识体系】
分数乘法意义：
1、分数乘整数是求几个相同加数的和的简便运算，与整数乘法的意义相同。

2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

分数乘法的算法：
1、分数与整数相乘，分子与整数相乘的积做分子，分母不变。

2、分数与分数相乘，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

3、分数的化简：分子、分母同时除以它们的最大公因数。

4、关于分数乘法的计算：可在乘的过程中约分，也可将积的分子分母约分，提倡在计算过程中约分，这样简便。

5、约分的书写格式：把两个可以约分的数先划去，分别在它们的上下方写
出约分后的数。

6、分数的基本性质：分子分母同时乘或者除以一个相同的数时 (0 除外 ) ，分数值不变。

【知识精讲】
例1、小明、小红和小芳是三个好朋友，一天小明过生日买了一个蛋糕，他们三
2
人一起吃蛋糕，每人吃9
个，3人一共吃多少个？
【小结】 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数和
的简便运算。

2、分数乘整数的计算方法：用分子乘整数的积作为分子，分母不变。

能约分的，可以先约分，再计算。

例 2、计算
3
5
6
75 51551
4122017
【学以致用】
1、计算
11133121742435 18102415
2、算一算，填一填
3
平方分米 =（
）平方厘米
5
时=（
）分
17 吨 （
）千克
5
4
20
例 3、计算
3
1
2
4
5
5
5
3
2
4
7
9
5 6 7
18
1 1
例 4、 1 桶水有 8L 。

3 桶水共有多少升？
2
桶是多少升？
4
桶是多少升？
【小结】
一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。

【学以致用】
1、计算
3 3 15 5 9
8
32
9
16
16
16
6
2、列式计算
（1）100m 的 1
是多少米？
（2） 150kg 的 3
是多少千克？
4
5
例 5、李奶奶家有一块 1 公顷 的地。

种土豆的面积占这块地的
1
，种番茄的面积占
2
5
3 。

5
（1）种土豆的面积是多少公顷？ （2）种番茄的面积是多少公顷？
【小结】
分数乘分数的计算方法：分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母。

用字母表示为
b d b d （ɑ≠0,b ≠0）
a c
a c
【学以致用】
1 2
1 2 3 5 3 2 5 5
7
3
4 2
5 7
例 6、一种鱼游泳的速度快的，它的速度 9
千米 / 分。

王叔叔的游泳速度是这种
10 鱼的4。

45
（1）王叔叔每分钟游多少千米？ （2）30 分钟这种鱼可以游多少千米？
【小结】
分数乘分数的简便算法是先约分，再计算。

计算结果一般是最简单分数。

【学以致用】 1、计算
3
5
1 2 16 9 5 7 16 6
8 3
21 8
14 5
2、解决问题
张叔叔骑自行车上班，平均每分钟行
4
千米，需要
1
小时，张叔叔家距上班的
15
12
地方有多远？
【课堂练习】
5
1、14 ×7 表示
；
3
3
3
2、10 +
10 +10 =(
)
×(
)=( )
4
4
4
11+
11+11 =(×(
3、计算。

2
1
5
13 ×6
4 × 8 12
×16
3
3
1
5 4
12×8
5 × 4
7
× 15
4、解答下列应用题。

3
①一瓶果汁重 5 千克， 20 瓶果汁重多少千克？
2
② 一个等边三角形的一条边长
9 米，它的周长是多少米？
5、列式计算。

3
1 1
5 的10 是多少？
8 的2 是多少？
6、在○里填上“＞” 、“＜”或“＝”。

11
8 11 7 11 7 3 3
12 ×9 ○12 8×9 ○8
4 ×1○4 ×0
【课后作业】
1、在○里填上“＞” 、“＜”或“＝”。

1 1
3 3 7 7
6 ×10○6
4 ×1○4
13 ×0○13
7 7
7
7
2、 20 +20+20+20 =(
)× (
)=(
)
1 1
1
1
4 +
4 + 4 +⋯⋯+4 =( )
×( )=( )
100 个
9
3、 实验小学有一长方形花坛，花坛的宽是
10 米，长是宽的 20 倍，花坛的
面积是多少平方米？
4、计算下列个题
9
3
7
14 × 21=
5
×11 =
9 ×7= 20× 3= 9 × 4
=
5×21= 21 8
20 15
14 25 5
7
4
5、12 小时 =（ ）分 20 米=（
）厘米
25 吨=（
）千克
6、填空
（1）看图列式计算
（
）×（
） =（
）
（ ）×（
）=（
）
（3） 1
× 4
表示（
），
1
的
1
是（
）。

4 3
4
5
7、解决问题 :
(1) 一辆汽车每小时行驶 50 千米。

照这样计算，这辆汽车 3
小时可行驶多少千米？
5
(2) 长方形的长是 5 米, 宽是
14
米 , 它的面积是多少平方米 ?
7 15
2
(3) 一本书 36 页，第一天看了 9 ，第二天应从第几页看起？
【思维拓展】
1. 陈爷爷有 17 头牛 , 它他想把牛分给三个儿子 , 就对他们说：“我只有 17 头牛 , 你们三兄弟按照我的办法分 , 老大分得 1/2, 老二分得 1/3, 老三分得 1/9. ”三个儿子
很听话 , 可怎么都不会分 , 因为 17 除以 2 得不到整数 , 除以 3 或 9 也得不到整数 . 谁能替他们想出分牛的办法呢 ?
第三讲：分数的除法
第一部分：倒数认识
【知识体系】
1. 倒数的意义：乘积为 1 的两个数互为倒数。

2. 特别强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单
独存在。

3. 求倒数的方法： （1） 求分数的倒数是交换分子分母的位置。

（2）
求整数的倒数是把整数看做分母是
1 的分数，再交换分子分母的位置。

（3） 3、 1 的倒数是它本身。

因为 1*1=1
（4）
4、 0 没有倒数。

=
练习
1、 3
的倒数是（
），0.25 和（
）互为倒数。

8
2、 1
×（
）＝（
）×
18
＝ 1×（
）＝ 3×（
）＝ 1
2
7
第二部分：分数除法的意义及计算法则
【知识体系】
1、分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求
另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：
除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。

【知识精讲】
例1：幼儿园李老师把4 个同样大的橙子分给小朋友。

（1）每人吃 2 个，可以分给几人？每人吃 1 个呢？解： 4÷2＝2（人）
4÷1＝4（人）
（2）每人吃1
个，可以分给几个人？2
1
（人）
4428
2
例 2： 4 米长的彩带，每2
米剪一段，可以剪多少段？3
23
（段）446
3 2
例3：量杯里有4
升果汁，平均分给 2 个小朋友喝，每人可以喝多少升？5
（升）
例 4：小刚 3 小时走了 3
千米，那么他一个小时走了多少千米？
10
5
3
3
3 10 2 （千米）
5 10
5
3
2 1
【课堂练习】
（1）计算
2 3 7 8 9 3 3 4 9 9 11 8 7 14 9 6 12 3 8 15
14
7
5 8
（2）一个数的 5 是 1
，这个数是多少？
8 12
（3） 列式计算
5
是
1
的多少倍？
9
3
4
乘一个数是
3
，这个数是多少？
5 10
（4） 食堂运来 240 千克大米，第一天吃了总数的
1
，第二周吃的数量相当于第
3
一周的 8
，第二周吃了多少千克大米？
9
（5） 解方程
1 2 5 3 4
2x
3
x
10
x
9
6
5
2 3 4
2 4 x
4
2x
9
5
（6） 能简算的就简算
7 11 5 2 (12
3 3) 25 9 5 11 5
7
14 4 49
3 13
13 5 2 3 5
(
16 )
2
5 8 8
8 16
7
【课后作业】
一、计算
1. 口算 6÷4
=
9÷3
=
32÷8
=
11 ÷ 22=
9
14
35
26 39
5 ÷25=
24÷4= 25÷15= 27÷2= 24 36
25
5
56
42
38
57
2. 计算
3÷7÷15
（4＋2）÷
2
3
÷0.2 ×
2
4 8 14 9
15
15 20
3
3. 求未知数 X ：
5
2
6 3 1
8 x ＝ 15
x
÷9＝7 4 x ÷ 6 ＝18
二．判断： 1、28 除以 14
的商（
）28 乘
14
的积。

15
15
A
大于 B
小于
C
等于 D
无法比较
2、9÷ 3
可以表示为（
）
4
A 9 ÷4×3
B 9 ×3÷4
C
9
÷3×4 D 9 ÷3÷4
3、小红的邮票除以 4
与小明相等，那么小红的邮票（
）小明。

5
A
多于 B
少于C
等于 D
无法比较
4、12÷ 3
与 12× 4
相比（
）
4 3
A 意义相同
B 结果相同
C
结果和意义相同
【思维拓展】
1. 一个自然数与它的倒数的差是 21
21
，这个数是多少？ 22
4 2 1 2. 如果 x ×
= y ×
=z ×
，且 x ，y ， z 均不为 0 ，请按照从小到大的顺序排
7
9
2
列这三个数。

第四讲：分数除法解决问题
【知识体系】
（未知单位“ 1”的量（用除法）：已知单位“ 1”的几分之几是多少，求单位“1”
的量。

）
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多如：“是”、“比”“占”、“相当于”、“等于”。

在含有上述几个字的句子中，后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“ 1”。

或看“的”、“几分之几的”前面的那几个字眼，就是单位“ 1”。

1、分数除法的数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”：单位“ 1”的量×分率=分率对应量
单位“ 1”的量 =分率对应的量÷ 分率
（2）分率前是“多或少”的意思：单位“ 1”的量×（1±分率）=分率对应量
单位“ 1”的量 =分率对应量÷（1分率）（ 3）2、解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率= 单位“ 1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几：就用这一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量÷单位“1”的
量或：
①求多几分之几：大数÷小数–1
②求少几分之几： 1 -小数÷大数
【知识精讲】
例1、一批煤，烧去 60 吨，正好少去这批煤的2
，这批煤多少吨？7
例2、一批煤，第一天烧去了 60 吨，第二天比第一天多少了1
，第二天烧了多少5
吨？
例 3、 30 是 45 的几分之几？例 4； 20 比 40 少几分之几？例 5： 55 比 45 多几分之几？
【课堂练习】
1、填空
9
千克是3
千克的（），（）米的
5
是50米。

1647 2、找出题中的等量关系。

（1）白兔的只数为 30，占总只数的1。

3
（） ÷1= （）
3
（2）桌子的数量比椅子的数量多。

（）× （11） =（）
3
（4）
甲数正好是乙数的
4 。

5
（
）×
4
= （
）
5
4
3、六一班有男生 32 人，占全班总人数的
7 。

六一班共有学生多少人？
（1） 找出单位“ 1”，列等量关系式。

（ 2）单位“ 1”的量未知，列方程解答。

4、 一杯水喝去了 80 克，正好占这杯水的
1 ，这杯水多少克？
3
5、一张桌子比一把椅子贵 30 元，这个数目正好相当于椅子价钱的
1 。

椅子
3
和桌子各多少钱？
【课后作业】
一、填空
1、 8 千克大豆可以榨油 1
千克， 1 千克大豆能榨油（
）千克，要榨 1 千
9
3
克油需要（
）千克大豆。

4 是 28，这个数是（
）。

5
里包含（
）个5。

2、一个数的
7
7
21
1
2 2
3、把 3 × 9 ＝ 27
改写成两道除法算式。

（
）。

4、在○里填上＞、＜或＝。

9
1 9 3
3
3
1
3
10÷6○10
8÷6○8
4÷2○4×2
二、列式计算：
315
(1)4
是
16
的几分之几？
(2)一个数的5
是 45，这个数是多少？8
三，应用题
1.一个人血液占体重的1。

小明体内血液约 4 千克，他的体重约多少千克？13
2.有白糖 12 千克，每3
千克装成一包，一共可以装几包？5
3.口算比赛，小明做对了9
，正好 54 题。

小明做了多少题？10
4.汽车厂 8 月份比 7 月份多生产 500 辆，已知 8 月份比 7 月份增产1。

7 月份生9
产汽车多少辆？
思维拓展9、甲铁块重5
吨，相当于乙铁块的
5。

乙铁块重多少吨？612
10、一本故事书 162 页，张杨今天看了1
，他明天从第几页开始看？6
第五讲：长方体与正方体的认识
【知识体系】
【知识点 1】
要素棱面顶点
数特征数特征数量特征立体图形量量
互相平
长方体12行的棱
6
相对的面完全
8
长度相相同同一个顶点引出等的三条棱分别叫
垂直于
两个面是正方
做长、宽、高正方形
形，其余四个
特殊长方体12面的棱68
面是完全相同
长度相
的长方形
等
所有的所有面都是正
正方体12棱长度6方形且完全相8
都相等同
一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有 6 各面是正方形，但不会存在
3 个、
4 个、
5 个面是正方形！
【知识点 2】
棱长和公式：长方体棱长和=（长 +宽+高）× 4长+宽+高=棱长和÷ 4长方体棱长和 =下面周长× 2+高× 4
长方体棱长和 =右面周长× 2+长× 4
长方体棱长和 =前面周长× 2+宽× 4
正方体棱长和 =棱长× 12棱长=棱长和÷ 12【知识点 3】
经过折叠可以组合成长方体：
经过折叠可以组合成正方体:
【知识精讲】
例 1.如图
这个长方体长 ( ) 厘米，宽 ( ) 厘米，高 () 厘米。

由一个顶点引出的三条棱的长度和是() 厘米。

棱长总和是 () 厘米。

上下两个面是 () 形。

例 2. 长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长 2m，一共需要多少串彩灯？
50m
6m 30m
例3. 用一根长 84 厘米的铁丝焊接成一个正方体的框架，这个正方体的棱长是多少？
例 4.下列三个图形中，能拼成正方体的是（）
①②③
例5. 一个长方体的棱长总和是 160 厘米，它的长是 12 厘米，宽是 5 厘米，这个长方体的高是多少厘米？
例6. 把一个棱长是 8 厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体
的棱长总和比原来正方体的棱长总和增加了多少厘米？
【课堂练习】
1.一根铁丝可以扎成一个长 9 厘米，宽 5 厘米，高 1 厘米的长方体，如果用这根
铁丝扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？
2.判断并改正：
a)长方体的六个面一定是长方形； ( )
b)正方体的六个面面积一定相等； ( )
c)一个长方体 ( 非正方体 ) 最多有四个面面积相等； ( )
d)相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。

( )
3.将一个棱长是 10 厘米的正方体 , 沿虚线切成三个完全相同的长方体 , 求切开后的
三个长方体的棱长比原来的正方体棱长和增加多少？
4.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面
上的字是（） A．我 B．中 C．国 D．梦
5.有一个正方体，六个面上分别写着数字 1，2，3，4， 5， 6，有三个人从不同
的角度观察，结果如下所示．
这个正方体上数字 1 相对的是数字 ______，数字 4 相对的是数字 ______，数字6 相对的是数字 ______．
【课后作业】
1.看图 2-7 并填空单位：厘米
这是一个 () 体，正方体的棱长是 () 厘米，
棱长之和是 () 厘米，每个面的面积是() 平
方厘米。

2.用一根长 72 厘米的铁丝做一个宽 5 厘米，高 5 厘米的长方体灯笼框架，长是多
少厘米？
3.一个长方体的棱长总和是 240 厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是多少？
4.一个长方体的棱长和是 72 厘米，它的长是 9 厘米，宽 6 厘米，它的表面积是多
少平方厘米？
5.用 18 个棱长为 1 厘米的小正方体摆成形状不同的长方体 , 可以摆出几种 ?每种的
长 , 宽, 高分别是多少厘米 ?
【思维拓展】
陈叔叔做了一个正方体的木制框架，他想给木框涂红、绿两种颜色，使每个面有
且只有一条绿棱，陈叔叔应涂几条绿棱，几条红棱？
第六讲：方体的表面积
【知识体系】
1.长方体表面积 =（长×宽 +长×高 +宽×高）× 2 = （a×b+a× c+b×c）× 2
=（前面面积 +上面面积 +右面面积）× 2
正方体表面积 =棱长×棱长× 6=a× a× 6=6a2
=任意一个面的面积× 6
2．据实际情况求表面积有时求 5 个面（如无盖鱼缸，粉刷墙面，铺瓷砖等），4个面（如烟囱，抽水管等）
3.小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题
【知识精讲】
例 1. 一个装饼干的方形铁盒，底面是正方形，边长是 20 厘米，高是 30 厘米，这个铁盒的四周印满商标，商标的面积是多少平方厘米？
例 2. 在校园里建一个长方体形状的游泳池，长 50 米，宽 25 米，深 2.5 米，在这个游泳池的四周和池底铺瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？
例3. 一个长方体的长、宽、高都扩大 4 倍，它的表面积就怎样变化？
例4. 在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？
有两个面图上漆的小正方体有几个？
有一个面涂上漆的小正方体有几个？
没有涂上漆的小正方体有几个？
例 5. 将一个长方体的高减小 5cm,就变成正方体 , 正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了 60 平方厘米 . 原来长方体的表面积是多少 ?
【课堂练习】
1.用 60 厘米长的铁丝焊接成一个正方体的框架，这个正方体的表面积是多少立
方厘米？
2.一个通风管的横截面是边长为 0.5 米的正方形，长 2.5 米，如果用铁皮做这样的
通风管 50 个，需要多少平方米的铁皮？
3.方体的棱长扩大 6 倍，表面积扩大（）倍。

4.图一中，长方体共有（）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体
共有（）个；没有露在外面的小正方体共有（）个。

5.在地上 4 个小正方体摆放如图的形体，那么共有 ___个小正方体表面露在外面．
【课后作业】
1.一张办公桌有 3 个抽屉，每个抽屉长 50 厘米，宽 30 厘米，高 10 厘米。

做这张
办公桌的抽屉至少需要多少平方厘米？
2.一个房间的长 6 米，宽
3.5 米，高 3 米，门窗面积是 8 平方米。

现在要把这个
房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方
米需要水泥 4 千克，一共要水泥多少千克？
3.一个抽屉，长 50 厘米，宽 30 厘米，高 10 厘米，做这样的 2 个抽屉，至少需要
木板多少平方厘米？
4.图二中三个图一次有（）、（）、（）小正方体组成。

第二个长
方体中有三个面在外面得正方体有（）个，两个面在外面的正方体有（）个，一个面在外面的有（）个，没有露在外面的小正方体（）。

【思维拓展】
如图是一个棱长为4 厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心
位置挖去一个棱长1 厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平
方厘米？如果把这些洞都打穿，表面 ... 展开
第七讲：长方体的体积
【知识体系】
1. 单位换算
长度单位： mm、cm、dm、 m相邻两个单位进率为 10
2222相邻两个单位进率为 100面积单位： mm、 cm、 dm、 m
3333
相邻两个单位进率为 1000
体积单位： mm、 cm、 dm、 m
容积单位： ml、l相邻两个单位进率为 1000
33
1 方=1m3
特别的： 1ml=cm1l=1dm
不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。

大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。

进率×高级单位的数
高级单位
低级单位
低级单位的数÷进率
例如：手指尖约占了 1 立方厘米的空间，即它的体积约为 1 立方厘米。

一个粉笔盒的体积约为 1 dm3。

建一游泳池，约要挖土6000 方。

1.36 dm 3 =1360 cm 3 4.573m3=4573 dm3
一个烧杯约能装水 500ml。

520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm3=5670cm3
2.容积与体积基本概念
体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小
3.体积计算方法：
长方体的体积 =长×宽×高
正方体的体积 =棱长×棱长×棱长长
方体和正方体的体积 =底面积×高
【知识精讲】
例 1.
3.2 立方分米 =（）立方厘米640毫升 =（）升0.8 升=()毫升1200毫升 =() 立方厘米
例 2.一个正方体的棱长和是12 分米，它的体积是多少立方分米？
例 3. 长方体的木料，它的横截面的面积是 0.16 平方米，长是 5 米。

12 根这样的木料，体积一共是多少立方米？
例4. 一个仓库，从里面量长 15 米，宽 10 米，高 4 米，这个仓库的容积是多少立方米？如果里面堆货高 2.5 米，每立方米货重 1.2 吨，那么仓库的货共重多少吨？
例5. 把一个棱长为 6 分米的正方体钢坯，锻造成一个长 3 分米、宽 2 分米的长方体钢条，这个钢条长多少米？
【课堂练习】
1 30立方分米＝（）立方米0.85升=（）毫升
9立方米 500 立方分米 =（）立方米 =（）立方分米
2、学校要挖一个沙池，长 6 米，宽 3 米，深 0.5 米。

如果一辆汽车每次可以运沙2.5 立方米，需要运几次才能把沙池填满？
3、一种油箱从里面量长6 分米，宽3 分米，高4 分米。

油箱的容积是多少升？如果每升油可以行驶 7 千米，一箱油可供汽车行驶多少千米？
4.将一块长 4.5 分米，宽 4 分米，高 2 分米的长方体钢块，熔铸成一根横截面的
边长是 2 分米的方钢，这根方钢的长是多少分米？
【课后作业】
1. 2.7 立方米 =() 升1200毫升=() 立方厘米
1.24 立方米 =() 升=() 毫 3.06升=（）升（）
毫升
40 立方米＝（）立方分米
4 立方分米
5 立方厘米＝（）立方分米
2.填上合适的单位
一个水池能装水 400 立方米，这是指（），占地 2 公顷指的是（）。

a)一块橡皮擦的体积约是 8()。

b)一本书的封面约是 2()。

c)运货集装箱的体积约是 40()。

d)一支钢笔长 18()。

e)一台录音机的体积约是 20()。

3.一个长方体，长是 8 分米，宽是长的一半，高是 5 分米，这个长方体的体积是
多少立方分米？
4.一个棱长是 40 厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个底面为 200 平方厘米
的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？
5.一个长方体的体积是 30 立方厘米，长是 5 厘米，高是 3 厘米，宽是多少厘米？
【思维拓展】
一个长方体鱼缸，从里面量长是 40cm，宽是 25cm，高是 15cm,把一个棱长为 8cm 的正方体花岗石放入鱼缸里，（水未溢出）鱼缸内水面升高多少？
第八讲：列方程解决问题
【知识体系】
列方程解应用题的一般步骤：
（1）设：审题，设未知数x；
（2）找：找等量关系；
（3）列：根据等量关系列方程；
（4）解：解方程；等式的性质
（5）验：检验；
（6）答：写答。

※ 关键：看清题中相等关系
找关键句
找等量关系
等式的性质：①等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；
②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，左右两边仍然相等。

相遇问题中的等量关系：
总路程＝速度和×相遇时间S =（V甲+ V乙）× t
总路程＝甲行的路程＋乙行的路程S=S甲+S乙
追及问题中的等量关系：
速度差×追及时间 = 相差路程
【知识精讲】
例 1、一台手机现价是968 元 , 比原价优惠了 248 元, 原价多少元 ?
设：审题，设未知数x解：设原价是x元
找：找等量关系原价-优惠的价钱=现价
列：根据等量关系列方程x - 248 = 968
解：解方程并检验x - 248 + 248 = 968 + 248
X = 1116
答：写答答：原价为116元
例2. 少年宫合唱队有 84 人，合唱队的人数比舞蹈队的 3 倍多 15 人。

舞蹈队有多少人？
3X
题意理解：舞蹈队人数：15
合唱队人数：
84
舞蹈队人数×3倍+ 15 =合唱队的人数
解：设舞蹈队有x 人
3X+15=84
3x + 15 - 15 = 84 - 15
3x = 69
3x ÷ 3 = 69÷ 3
X=23
答：舞蹈队有 23 人。

例3. 学校买了 18 个篮球和 20 个足球，共付了 490 元，每个篮球 14 元，每个足球多少元？
题意理解：根据题干，设足球一个x 元，则根据等量关系：足球的单价×数量+篮球的单价×数量 =总价 490 元，列出方程解决问题。

解：设足球一个x 元，根据题意可得方程：
14× 18+ 17x = 490
252 + 17x = 490
17x = 238
X=14
答：每个足球14 元。

例 4. 果园里一共种了 320 棵桃树和杏树，其中桃树的棵数是杏数的 3 倍。

两种树各种了多少棵？X
题意理解：杏树的颗数：320桃树的颗数：
3X
杏树 + 桃树=320 X+3X=320该设什么为x？
例 5. 水果市场运来一批水果，运来的苹果比梨多910 千克，苹果的重量是梨的1.7 倍，苹果和梨各多少千克？
X
题意理解：梨的克数：苹果比梨
多 910克
苹果的克数：
1.7x
苹果的克数 -梨的克数 = 910
1.7x - x = 910
例 6. 甲地与乙地相距 1520 千米，一列货车从甲地开出，平均每小时行 80 千米，一列客车以平均每小时 110 千米的速度同时从乙地相对开出，两车开出几小时后相遇？
解：设两车开出X 小时后相遇
货车×相遇时间 +客车×相遇时间 =甲乙两地距离
80X + 110X = 1520
或
（80 + 110 ）x = 1520
例 7. 一辆客车和一辆轿车从上海出发开往宁波，客车先行 20 千米后轿车出发，客车每小时行 50 千米，轿车每小时行 60 千米，轿车开出多少小时后追上客车？
客车行驶的第一段路程客车行驶的第二段路程
客车：20
轿车：
轿车行驶的路程
（轿车的速度 - 客车的速度）×追及时间=相差路程
（60 - 40 ）× x = 20
※ 注：求追及问题最关键的是找出追及者和被追及者的相差路程。

【课堂练习】
1. 实验小学五年级有女生134 人，比男生少 29 人，学校五年级男生共有多少人？
（用方程解答）
2.学校今年栽梧桐树 128 棵，比樟树棵数的 3 倍少 22 棵。

学校今年栽樟树多棵？
3.阿姨买 4 块肥皂、 2 条毛巾共用去 2.8 元，已知肥皂每块 0.26 元，毛巾每条多
少元？
4.粮店运来大米和面粉 480 包，大米的包数是面粉的 3 倍，运来大米和面粉多少
包？。