扭转

第三部分 扭转
4.1预备知识
一、基本概念
1、扭转变形
扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。

此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。

同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。

2、外力偶
杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。

若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549
Nm n
P
T =。

3、扭矩和扭矩图
圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。

扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。

如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。

扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似
4、纯剪切 切应力互等定理
单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。

5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。

当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即
τ=G γ
G 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。

6、圆杆扭转时的应力和强度计算
(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为
ρτρp
I T =
图
式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。

(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数
实心圆截面324D I p π=
， 163
D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(324
4a D I p -=π， )1(16
43απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）
(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处
t
W T =
max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。

圆杆扭转时的强度条件
[]ττ≤max
(4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示。

其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。

低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。

铸铁材料抗压能力最强，抗剪能力次之，抗拉能力最差，因而铸铁材料圆杆扭转破坏是沿与杆轴线约成450的斜截面被拉断的。

7、圆杆扭转时的变形和刚度计算
圆杆扭转时的变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度ϕ来度量，称为扭转角。

长度为l 的等截面圆杆承受扭矩M n 时，圆杆两端的相对扭转角
p
GI l
T =
ϕ （rad ） 式中GI p 称为圆杆的抗扭刚度。

当两截面之间的扭矩或GI p 为变量时则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和，即为全杆的扭转角。

单位长度扭转角 p
GI T
l
=
=
ϕ
θ （rad/m ） 把弧度换算为度，圆杆扭转时的刚度条件为
[]θπ
θ≤=
180
p n GI M （0/m ）
8、非圆截面杆的扭转
(1) 非圆截面杆扭转的概念
非圆截面杆在扭转变形后横截面不再是平面，变成一个曲面并发生翘曲，这是非圆截面杆扭转时的一个重要特征。

由于截面的翘曲，平面假设不再成立，因而圆杆的扭转公式不能应用于非圆截面杆。

(2) 矩形截面杆
矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知，横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切应力为零。

横截面上最大切应力发生在长边的中点处。

设矩形截面杆长为l ，承受扭矩T ，矩形截面的长为h ，宽为b 。

最大切应力
2max hb
T W T t ατ==
杆两端的相时扭转角
3hb
G l
T GI l T p βϕ==
式中α，β是与长宽比h/b 相关的系数，计算时可查阅有关手册。

当长宽比10/ b h 时，称为狭长矩形，α，β可近似为1/3。

二、重点与难点
1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算。

2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，最大切应力在外表面处。

3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断。

铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与
杆轴线成450
螺旋面被拉断。

三、解题方法要点 1、 2、
4.2典型题解
一、计算题
等截面传动轴的转速n=150r/min ，由A 转输入功率N A =8kW ，由B 、C 、D 各轮输出功率分别为N B =3kW ，N C =1kW ，N D =4kW 。

己知轴的许用剪应力[τ]=60MPa ，剪切弹性模量G=80GPa ，[θ]=20/m 。

要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。

解：四轮各位置如图，其中A 轮应放在轴的中间位置，使得从A 轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。

根据功率转化为扭矩关系，A 、B 、C 、D 各点的扭矩
)
(6.2541504
9548)
(6.631501
9548)
(0.191150
3
9548)(2.5091508
9548
Nm T Nm T Nm T Nm T D C B A ========
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图。

从扭矩图可知，最大扭矩应在DA 、AB 段，为
kNm T 6.254max =
最大剪应力为
32
6
.2543max max d W T t πτ==
强度条件为
][max ττ
得到
mm m T d 35035.010
6014.332
6.254][32363
max ==⨯⨯⨯=⨯≥τπ (1) 由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA 、AB 段，等圆截面杆的单位长度的
扭转角
π
πθ0
4max max max
18032⋅
==d G T I G T p
刚度条件为
][max θθ
得
mm m G T d 31031.010
6014.3180326.254]
[180
324
6
2
4
2
max ==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≥θπ (2)
(a)
A B C
D
-63.6Nm
(b)
从式(1)和式(2)中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，轴的直径
d=31mm
二、计算题
一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d 1 ，空心轴外径D 2 、内径d 2 ，内外径之比α=d 2/D 2=0.8。

若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。

解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样 A 1=A 2 ，即
)(4
4
222221d D d -=
π
π
可得
)1(22221α-=D d
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等 T 1=T 2 。

实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
2
221
11,p p GI l T GI l T =
=
ϕϕ
式中，l 为轴的长度。

故两轴最大相对扭转角之比
4
1
4424
14421
221)
1(32)1(32d D d D I I p p απαπ
ϕϕ-=
-=
=
将)1(22221α-=D d 代入上式，则
[]
2
2
2242222
4422111)1()1()1()1(ααααααϕϕ-+=--=--=D D 再将α＝0.8 代入上式，得
56.48.018.012
2
21=-+=ϕϕ 可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。

因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。

三、计算题
两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图所示。

两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D=40mm ，壁厚t=2mm ，长度为l 。

两杆承受的扭矩相同。

试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。

解 (1) 开口薄壁圆环
开口薄壁圆环可以看成一个长为D π、宽为t 的狭长矩形，则最大切应力
222max 33
1
311Dt M Dt M hb M n
n n ππτ===
扭转角
33333
1
311Dt G l
M Dt G l M hb G l M n n n ππϕ===
(2) 闭口薄壁圆环 最大切应力
t
D M t D M At M n
n n 22max 24
1222ππτ=
⨯==
扭转角
p
n p n GI l
M GI l M ==
2ϕ 对于薄壁圆环，I p 可以写成
[]
t D t D Dt t D t D I p 32244
4
)(832
)()
(32
π
π
π
≈+=
--+=
因此
t
D G l M t
D G
l M n n 3
3
44
2ππ
ϕ=
=
(3) 两杆最大切应力之比
302
240
323232122max max =⨯⨯===t D t
D M Dt M n n
ππττ
两杆扭转角之比
3002440343432122
2233=⨯⨯===t D t
D G l M Dt G l
M n n ππϕϕ 讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。

4.3 练习题
一、概念题
1、问答题
低碳钢、铸铁及木材（顺纹方向与轴线平行）的圆棒两端受力偶作用，如图所示，直到破坏。

试画出三种棒破坏时裂纹的方向，并说明为什么从此方向破坏。

2、是非判断题
（1） 圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。

（ 对 ）
（2） 杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。

（ 错 ） （3） 薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。

（ 错 ） （4） 圆杆扭转变形实质上是剪切变形。

（ 对 ）
（5） 非圆截面杆不能应力用圆杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假
设”不能成立。

（ 对 ）
(6) 材料相同的圆杆，它们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数
值相等。

（ 对 ）
(7) 剪断钢板时，所用外力使钢板产生的应力稍大于材料的屈服极限。

（ 错 ） (8) 矩形截面杆自由扭转时，横截面上的剪应力呈线性分布。

（ 错 ）
3、选择题
（1） 阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ）。

A 扭矩最大的截面；
B 直径最小的截面
C 单位长度扭转角最大的截面
D 不能确定
低碳钢 （a ）
铸铁 （b ）
木材
(c)
（2） 空心圆轴的外径为D ，内径为d ，α=d /D 。

其抗扭截面系数为（D ）。

A )1(163
απ-=
D W P B )1(16
23
απ-=
D W P
C )1(163
3απ-=D W P C )1(16
43απ-=D W P （3） 扭转切应力公式ρτρp
n
I M =
适用于（ D ）杆件。

A 任意截面； B 任意实心截面；
C 任意材料的圆截面
D 线弹性材料的圆截面。

（4） 单位长度扭转角θ与（ A ）无关。

A 杆的长度；
B 扭矩
C 材料性质；
D 截面几何性质。

（5） 图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。

扭转变形时，横截面上切应力分布如图
（ B ）所示。

（6）若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的（ D ）。

A 2倍
B 4倍
C 8倍
D 16倍
(7) 空心圆轴，其内外径之比为α，扭转时轴内的最大剪应力为τ，这时横截面上内边缘
的剪应力为（ B ）。

Ａ τ Ｂ ατ
Ｃ 零 Ｄ τα)1(4-
(8) 实心圆轴扭转，己知不发生屈服的极限扭矩为T 0，若将其横截面积增加１倍，那么极限
扭矩是（ C ）。

Ａ 02T Ｂ 02T
（A ） （B ）
Ｃ 022T Ｄ 04T
(9) 对于受扭的圆轴，关于如下结论： ① 最大剪应力只出现在横截面上；
② 在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力； ③ 圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。

现有四种答案，正确的是（ A ）。

A ②③对
B ①③对
C ①②对
D 全对
二、计算题
1、 试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩T ，并作扭矩图。

答：
2、 图示一齿轮传动轴，传递力偶矩M e =10kN ．m,轴的直径d =80mm.。

试求轴的最大切应力。

答：τmax =100MPa
3、 设将例题4—2中直径d =0.０６m 的实心圆轴制成外径Ｄ与内径d 之比为３／２的空心圆轴，仍受力偶矩Ｍe ＝２.５kN ．m 的作用。

试求：使τmax 与该例题相同时，能节省多少材料？ 答：D ＝0.065m
D
A
3000N ．m 2000N ．ｍ 4000N ．m 5000N ．
m
4、 图示一圆锥形杆AB ，受力偶矩M e 作用，杆长为l ，两端截面的直径分别为d 1和d 2=1.2d 1，材料的切变模量为G 。

试求：（1）截面A 和B 的扭转角AB ϕ，（2）若按平均直径的等直杆计算扭转角，误差等于多少？ 答：
()%
7.2,152.71133241323112-=∆=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⋅=
Gd l M d d d d G l M e e AB πϕ
5、 如图所示的空心圆轴，外径D=100mm ，内径d =80mm ， l =500mm ，M 1=6kNm ，M 2=4kNm,
材料的剪切弹性模量G =80GPa 。

请绘轴的扭矩图，并求出最大剪应力。

答：
D
d MPa
D =
=-=ααπτ5.34)
1(64
4
3max:
1
d 6kNm
2kNm
+
6、 在图题3.9所示两端嵌固的圆轴上，外扭矩M e1=2M e2，距离a=c=L/4，b=L/2，圆轴直径
为d ，试求此圆轴横截面上的最大切应力。

答： 3
max:14
d
πτ=
7、 图示传动轴，主动轮B 输入功率P 1=368kW,从动轮A ，阵C 输出的功率分别为P 2=147kW, P 3=221kW, 轴的转速n =500r/min,材料的G =80GPa ，许用切应力[]τ=70MPa ，许用单位长度扭转角[]θ=10/m 。

（1）画出轴的扭矩图；（2）设计轴的直径；（3）讨论提高轴强度和刚度的措施
答：d=85mm
8、 钻探机钻杆的外径D =60mm ，内径d =50mm ，切率P =7.355kW,轴的转速n =180r/min ，钻杆钻入土层的深度l =40m ，材料的切变模量G =80GPa ，许用切应力[]τ=40MPa ，假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）土壤对钻杆单位长度的阻力矩m ；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）计算A 、B 截面的相对扭转角。

答：0m ax 5.8;8.17;/76.9===BA MPa m Nm m ϕτ
9、 用实验方法求钢的切变模量G 时，其装置的示意图如图所示。

AB 为直径d =10mm ，长度l =0.1m 的圆截面钢试件，A 端固定，B 端有长s =80mm 的杆BC 与截面联成整体。

当在B 端加转矩T =15N.m 时，测得BC 杆顶点C 有位移∆=1.5mm 。

试求：（1）切变模量；（2）杆内的最大切应力；（3）杆表面的切应变。

答：4m ax 1037.9;4.76;5.81-⨯===γτMPa GPa G
10、 图示一传动轴，主动轮I 传递力偶矩1kN ．m ，从动轮Ⅱ传递力偶0.4kN ．m ，从动轮Ⅲ传递力偶矩0.6kN ．m.。

己知轴的直径d =40mm ，各轮间距l =500mm ，材料的切变模量G =80GPa 。

要求（1）合理布置各轮的位置；（2）求出轴在合理位置时的最大切应力max τ和最大扭转角max ϕ。

答：max τ=47.8MPa,
max ϕ
=0.015rad
∆
11、 图示某带轮传动轴，己知：P =14kW ，n =300r/min ，[]τ=40MPa ，[]θ=0.01rad/min ，G =80GPa 。

试根据强度和刚度条件计算两种截面的直径：（1）实心圆截面的直径d ；（2）空心圆截面的内径d 1和外径d 2（d 1/ d 2=3/4） 答：d ≥49mm ， d 2≥53.7 mm
12、 图示一圆截面杆，左端固定，右端自由，在全长范围内受均布力偶矩作用，其集度为m e 。

设杆的材料的切变模量为G ，截面的极惯性矩为I p ，杆长为l 。

试求自由端的扭转角B ϕ。

答：B ϕ=P
e GI l m 22
13、 一薄壁钢管受扭矩M e =2kN ．m 作用。

己知D =60mm ，d =50mm ，E =210GPa 。

己测得管表面上相距l =200mm 的AB 两截面的相对扭转角AB ϕ=0.430，试求材料的泊松比。

答：μ
=0.3
I
Ⅱ
Ⅲ
l
l
14、 一联轴器，由分别分布在半径为R 1和R 2圆周上的8只直径相同的螺栓相联接 （如图所示）。

则内圈（R 1）螺栓横截面上的切应力1τ与外圈（R 2）螺栓截面上的切应力2τ的比值为（ ）。

A ）1121=ττ； （
B ）1221R R =ττ； （
C ）2121R R =ττ； （
D ）2
21
221R R =ττ
15、 试作图4—32所示各轴的扭矩图，并求出[]max T 及其作用处。

16、 齿轮轴上有四个齿轮,见图4—33,己算出各轮所受外力偶矩为m A =52N •m 、m B =120N ·m 、m C =40N ·m、m D =28N ·m.己知各段轴的直径分别为d AB =15mm 、d BC =20mm 、d CD =12mm 。

①作该轴的扭矩图；
②求职1-2、 2-3、 3-3截面上的最大切应力。

A B C D E
(a)
(b)
17、 图4—37所示圆轴的AC 段为实心圆珠笔截面,CB 段为实心圆截面,外径D=30mm,空心段内径d=20mm 、外力偶矩m=200N ·m,试计算AC 段和CB 段横截面外边缘的切应力,以及CB 段内边缘处的切应力。

18、 图4—38所示实心圆轴通过牙嵌离合器把功率传给空心圆轴。

传递的功率N=7.5kW,轴的转速n=80r/min 。

试选择实心圆轴的直径d 和空心圆轴的外径d 2。

己知空心圆轴的内外径之比α1=d 1/d 2=0.8,许用扭转切应力[]τ=40MPa 。

19、 阶梯形圆轴直径分别为d 1=40mm,d 2=70mm,轴上装有三个皮带轮,如图所示。

己知由轮3输入的功率为N 3=3kW,轮1输出的功率为N 1=13kW,轴作匀速转动,转速n=200r/min,材料的许用切应力[]τ=60MPa,G=80GPa,许用扭转角[]θ=20
/m 。

试校核轴的强度和刚度。

绘扭矩图求最大切应力
A
20、 传动轴的转速为n=500r/min ，如图所示，主动轮1输入功率N 1=368kN.m/s ，从动轮2、3分别输出功率N 2=147kN ·m/s,N 3=221kN ·m/s 。

己知[]τ=70MPa ，[]θ=10
/m ，G=80GPa 。

①试确定AB 段的直径d 1和BC 段的直径d 2。

② 若AB 和BC 两段选用同一直径,试确定直径d .。

③主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
21、 悬臂圆轴AB,承受均布外力偶矩t 的作用,试导出该杆B 端扭转角φ的计算公式(见图示)
22、 阶梯形实圆轴承受扭转变形，圆轴最大剪应力max τ=_________。

常见传动轴的扭转问题
扭转强度问题
(m与d己知)
23、如图所示的空心圆轴，外径D=100mm，内径d=80mm，l=500mm，M1=6kNm，M2=4kNm，材料的剪切弹性模量G=80GPa。

请绘轴的扭矩图，并求出最大剪应力。

24、图示等截面传动轴的转速为500r/min，主动轮A输入功率368kW，从动轮B和C分别
输出功率147kW和221kW。

己知许用剪应力[]τ=70MPa，许用单位长度扭转角[]ϕ=10/m，材料的剪切弹性模量G=80GPa。

试：
（1）设计传动轴的直径d；
（2）举出一个提高传动轴承载能力的方法，并简述其理由。

A B C
25、两端固定的实心圆杆，其AC段的直径为2d,CB段的直径为d，试求在图示扭矩T C作用下，固定端A、B处的反扭矩以及C截面的扭转角。

26、 试作图示圆轴的扭矩图，并求B 截面相对A 截面的相对扭角及AB 段中最大相对扭转角（相对于截面A ）。

设T ，α,G ，d 均为已知，t 是均布扭转力偶矩的集度
α
(b)α
T T
x。