高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本：第四章 三角函数 第七节 正弦定理和余弦定理 Word版含解析

第七节正弦定理和余弦定理
A组基础题组
1.(2016兰州实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cosC=( )
A. B.- C. D.-
2.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( )
A.无解
B.两解
C.一解
D.解的个数不确定
3.(2016河北武邑中学期中)△ABC中,c=,b=1,∠B=,则△ABC的形状为( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.(2016课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( )
A. B. C.- D.-
5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-c)sinA,则角B 的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
6.在△ABC中,∠A=,a=c,则= .
7.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.
8.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.
9.(2016武汉高三测试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+=4cosC,b=1.
(1)若A=90°,求△ABC的面积;
(2)若△ABC的面积为,求a,c.
10.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
B组提升题组
11.(2015山东菏泽期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若acosB+
bcosA=csinC,S=×(b2+c2-a2),则B=( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
12.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是角A、B、C的对边,若sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是( )
A.b+c=2a
B.b+c<2a
C.b+c≤2a
D.b+c≥2a
13.(2016临沂模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上的点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为.
14.(2016十堰模拟)给出下列命题:
①若tanAtanB>1,则△ABC一定是钝角三角形;
②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形;
③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形.
以上命题中正确命题的序号为.
15.如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=.
(1)求△ACD的面积;
(2)若BC=2,求AB的长.
16.(2016东北育才五模)已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.
(1)求角C;
(2)若c=,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求△ABC的面积.
答案全解全析
A组基础题组
1.B由题意得,b2=ac=2a2,b=a,∴cosC===-,故选B.
2.B∵=,∴sinB=sinA=·sin45°,∴sinB=.又∵a<b,B为三角形ABC的内角,∴45°<B<180°,∴B有两个值,即此三角形有两解.
3.D根据余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为直角三角形,故选D.
4.C解法一:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC===-,故选C.
解法二:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在Rt△ADC
中,AC=BC,sin∠DAC=,cos∠DAC=,又因为∠B=,所以cos∠BAC=cos=cos∠DAC·cos-sin∠DAC·sin=×-×=-,故选C.
5.A由==及(b-c)·(sinB+sinC)=(a-c)sinA得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac,又因为cosB=,所以cosB=,所以B=30°.
6.答案1
解析在△ABC中,∠A=,∴a
2=b2+c2-2bccos,即a2=b2+c2+bc.∵a=c,∴3c2=b2+c2+bc,∴b2+bc-2c2=0,∴(b+2c)(b-c)=0,∴b-c=0,∴b=c,∴=1.
7.答案-
解析由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故
cosA===-.
8.答案7
解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsinA=10得sinA=,因为A为锐角,所以A=60°,cosA=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7.
9.解析(1)∵b=1,∴a+=4cosC=4×=,∴2c2=a2+1.
又A=90°,∴a2=b2+c2=c2+1,
∴2c2=a2+1=c2+2,∴c=,
∴S△ABC=bcsinA=bc=×1×=.
(2)∵S△ABC=absinC=asinC=,
∴sinC=,∵a+=4cosC,sinC=,
∴+=1,化简得(a2-7)2=0,∴a=,则cosC=,利用余弦定理可得c=2.
10.解析(1)证明:由正弦定理及已知条件得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.
(2)由S=得absinC=,故有sinB·sinC=sin2B=sinBcosB,因sinB≠0,故sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.
B组提升题组
11.C由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin2C(R为△ABC外接圆的半径),即sin(A+B)=sin2C,∴sinC=sin2C,又sinC≠0,∴sinC=1,又C∈(0,π),∴C=,∴c2=b2+a2,S=ab,又S=×(b2+c2-a2),∴a=b,∴B=45°,故选C.
12.C∵sin2A-cos2A=,∴cos2A=-.
∵0<A<,∴0<2A<π,∴2A=,∴A=,
由余弦定理得,a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=,∴4a2≥(b+c)2,∴2a≥b+c(当且仅当b=c时取等).
13.答案
解析在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,
由余弦定理得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得=,所以AB=.
14.答案②③
解析①因为tanA·tanB>1,且A,B为三角形内角,所以tanA>0,tanB>0,所以A,B均为锐角,又因为tan(A+B)=-tanC=<0,所以tanC>0,所以C为锐角,所以△ABC不是钝角三角形,①错.
②由正弦定理及条件,得a2+b2=c2,
所以△ABC一定为直角三角形,②对.
③由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1及A、B、C为三角形内角,可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,③对.
15.解析(1)因为∠D=2∠B,cos∠B=,
所以cos∠D=cos2∠B=2cos2∠B-1=-.
因为∠D∈(0,π),
所以sin∠D==.
因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积
S=AD·CD·sin∠D=×1×3×=.
(2)在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12,所以AC=2.
因为BC=2=AC,=,
所以====,所以AB=4.
16.解析(1)根据=,可得csinA=asinC,
又∵csinA=acosC,∴asinC=acosC,
∴sinC=cosC,
∴tanC==,
∵C∈(0,π),∴C=.
(2)∵sinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,∴2sinBcosA=2×5sinAcosA.
∵△ABC为斜三角形,
∴cosA≠0,∴sinB=5sinA.
由正弦定理可知b=5a,①
∵c2=a2+b2-2abcosC,
∴21=a2+b2-2ab×=a2+b2-ab,②
由①②解得a=1,b=5,
∴S△ABC=absinC=×1×5×=.。