东北三诗北师大附中哈师大附中辽宁省实验中学2021届高三数学第二次联考试题文含解析

东北三省东北师大附中、哈师大附中、某某省实验中学2021届高三数
学第二次联考试题文（含解析）
一、选择题（每小题5分）.
1．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B 的所有元素之和为（）
A．16B．18C．14D．8
2．设复数z＝（其中i为虚数单位），则z•＝（）
A．1B．3C．5D．6
3．命题p：∀x∈R，x3+3x＞0，则￢p是（）
A．∃x∈R，x3+3x≥0B．∃x∈R，x3+3x≤0
C．∀x∈R，x3+3x≥0D．∀x∈R，x3+3x≤0
4．已知，，，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．8
6．等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a17是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）
A．S7B．S8C．S13D．S17
7．一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，则m＞n的概率为（）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图，若x1，x2∈（1，4），且f（x1）+f（x2）＝0（x1≠x2），则＝（）
A．1B．0C．D．
9．A，B是椭圆C长轴的两个端点，M是椭圆C上一点，tan∠MAB＝1，tan∠MBA＝，则C 的离心率为（）
A．B．C．D．
10．已知三棱雉A﹣BCD的各条棱都相等，M为BC的中点．则AM与BD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．
11．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，X徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图，揭示了X微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）
A．B．C．D．
12．已知函数f（x）＝e x﹣3，g（x）＝+ln，若f（m）＝g（n）成立，则m﹣n的最大值为（）
A．1﹣ln2B．ln2C．2ln2D．ln2﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上。

13．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝．
14．已知向量＝（x﹣1，2），＝（y，﹣4），若∥，则9x+3y的最小值为．
15．三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝，AD＝AC＝BD＝BC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为．
16．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：＝1；C2：x4+y4＝1，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：
甲：曲线C1关于y＝x对称；
乙：曲线C2关于原点对称；
丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1＜；
丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2＜．
四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分. 17．S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝9．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求b8+b9+…+b100．
18．如图，半圆柱O1O中，平面ABB1A1过上、下底面的圆心O1，O，且AB＝AA1＝2，点C为半圆弧的中点，N是CO的中点．
（Ⅰ）在线段BB1上是否存在点M使MN∥平面CO1B1，若存在，给出证明；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣O1B1N的体积．
19．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：
100位男性居民评分频数分布表
分组频数
[50，60） 5
[60，70）15
[70，80）64
[80，90）7
[90，100] 9
合计100
100位女性居民评分频数分布表
分组频数
[50，60） 3
[60，70）12
[70，80）72
[80，90）8
[90，100] 5
合计100
（Ⅰ）根据100位男性居民评分的频率分布表估计男性居民评分的均值；
（Ⅱ）若规定评分小于70分为不满意、评分大于等于70分为满意，请完成下列2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关．
满意不满意合计男性
女性
合计
参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．
p（K2≥k0）
k0
20．椭圆离心率为，过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过H（1，0）的直线交椭圆于A，B两点，A关于x轴对称点为E，求证：直线BE过定点．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）≤0恒成立，某某数a的取值X围；
（Ⅱ）求证：（x+1）＜e x．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为极角），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤x；
（Ⅱ）设f（x）的最大值为t，如果正实数m，n满足m+2n＝t，求的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B 的所有元素之和为（）
A．16B．18C．14D．8
解：由x∈A＝{1，2}，y∈B＝{1，2，3}，
可得：z＝xy＝1，2，3，4，6，
∴集合A*B＝{1，2，3，4，6}，
可得：所有元素之和＝1+2+3+4+6＝16，
故选：A．
2．设复数z＝（其中i为虚数单位），则z•＝（）A．1B．3C．5D．6
解：复数z＝＝＝＝2+i，
则z•＝（2+i）（2﹣i）＝5，
故选：C．
3．命题p：∀x∈R，x3+3x＞0，则￢p是（）
A．∃x∈R，x3+3x≥0B．∃x∈R，x3+3x≤0
C．∀x∈R，x3+3x≥0D．∀x∈R，x3+3x≤0
解：∵命题p：“∀x∈R，x3+3x＞0，”是全称命题
∴￢p为：∃x∈R，x3+3x≤0
故选：B．
4．已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解：∵0＜＜，
＞，＜log31＝0，
∴c＜a＜b，
故选：D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．8
解：由题意，几何体的直观图如图：
是正方体去掉一个三棱锥的几何体，
几何体的体积为：2×2×2﹣＝．
故选：C．
6．等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a17是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）
A．S7B．S8C．S13D．S17
解：当首项a1和d变化时，a2+a8+a17＝a1+a9+a17＝（a1+a17）是一个定值，
∴S17＝是一个定值．
故选：D．
7．一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，则m＞n的概率为（）A．B．C．D．
解：一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，
基本事件总数N＝6×6＝36，
m＞n包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共15个，则m＞n的概率为P＝＝．
故选：A．
8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图，若x1，x2∈（1，4），且f（x1）+f（x2）＝0（x1≠x2），则＝（）
A．1B．0C．D．
解：由图象可知A＝2，T＝2（4﹣1）＝6，
所以ω＝＝，由五点作图法可知×1+φ＝，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（x+），
因为x1，x2∈（1，4），且f（x1）+f（x2）＝0，
所以在区间（1，4）上，f（x）关于（，0）中心对称，
所以x1+x2＝5，
所以＝f（）＝0．
故选：B．
9．A，B是椭圆C长轴的两个端点，M是椭圆C上一点，tan∠MAB＝1，tan∠MBA＝，则C 的离心率为（）
A．B．C．D．
解：设点M的坐标为（x，y），如图所示：
因为tan∠MAB＝1，所以|MN|＝|AN|＝|y|，
又因为tan∠MBA＝，所以，所以|BN|＝4|MN||＝4|y|，
因为|AB|＝2a，所以|AN|+|BN|＝5|y|＝2a，则|y|＝…①
|x|＝|ON|＝a﹣|AN|＝＝…②
设椭圆方程为，
代入①②可得：，化简可得a2＝4b2，即，
所以椭圆的离心率为e＝，
故选：B．
10．已知三棱雉A﹣BCD的各条棱都相等，M为BC的中点．则AM与BD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．
解：取CD的中点N，连结MN，AN，如图所示，
设正四面体A﹣BCD的棱长为2，
在正三角形ABC中，AM＝AC•sin60°＝，
同理可得AN＝，
因为M，N分别为BC，CD的中点，
所以MN∥BD且MN＝，
所以∠AMN即为AM与BD所成的角，
在△AMN中，由余弦定理可得＝，
所以AM与BD所成的角的余弦值为．
故选：D．
11．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，X徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图，揭示了X微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）
A．B．C．D．
解：根据题意可得长方形的长为三角形的底，长方形的宽为三角形的高的一半，
故该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，
故该点落在标记“盈”的区域的概率为，
故选：A．
12．已知函数f（x）＝e x﹣3，g（x）＝+ln，若f（m）＝g（n）成立，则m﹣n的最大值为（）
A．1﹣ln2B．ln2C．2ln2D．ln2﹣1
解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，
∴e m﹣3＝+ln＝t，（t＞0），
∴m﹣3＝lnt，即m＝3+lnt，n＝2•，
故m﹣n＝3+lnt﹣2•（t＞0），
令h（t）＝3+lnt﹣2•（t＞0），
h′（t）＝﹣2（t＞0），h″（t）＝﹣﹣2＜0，
故h′（t）在（0，+∞）上是减函数，且h′（）＝0，
当t＞时，h′（t）＜0，当0＜t＜时，h′（t）＞0，
即当t＝时，h（t）取得极大值同时也是最大值，
此时h（）＝3+ln﹣2＝1﹣ln2，即m﹣n的最大值为1﹣ln2，
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上。

13．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝．
解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°
＝sin（20°+10°）＝，
故答案为：．
14．已知向量＝（x﹣1，2），＝（y，﹣4），若∥，则9x+3y的最小值为 6 ．解：向量＝（x﹣1，2），＝（y，﹣4），
由∥，得﹣4（x﹣1）﹣2y＝0，
所以2x+y＝2，
所以9x+3y＝32x+3y≥2•＝2•＝2•＝6，
当且仅当2x＝y＝1，即x＝，y＝1时取“＝”，
所以9x+3y的最小值为6．
故答案为：6．
15．三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝，AD＝AC＝BD＝BC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为π．
解：三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝，AD＝AC＝BD＝BC＝，如图，三棱锥扩展为长方体，设长方体的三度为x，y，z，由题意可得x2+y2＝5，y2+z2＝2，x2+z2＝5，3式相加可得：y2+x2+z2
＝6，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，所以外接球的半径为：，
所以外接球的体积为：πR3＝π．
故答案为：π．
16．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：＝1；C2：x4+y4＝1，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：
甲：曲线C1关于y＝x对称；
乙：曲线C2关于原点对称；
丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1＜；
丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2＜．
四位同学回答正确的有甲、乙、丙（选填“甲、乙、丙、丁”）．
解：甲说法：对曲线＝1，交换x，y得，方程不变，所以C1关于y＝x 对称，
故甲说法正确，
乙说法：若（x，y）在曲线C2上，即x4+y4＝1，所以（﹣x）4+（﹣y）4＝1，即点（﹣x，﹣y）在曲线C2上，所以曲线C2关于原点对称，
故乙说法正确，
丙说法：选择x+y＝1作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，
对＝1，第一象限均有0≤x≤1，0≤y≤1，
此时，，等号不能同时取得，所以1＝＞x+y，
所以＝1时，x+y＜1，且x+y＝1时，，
所以曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1＜，
故丙说法正确，
丁说法：选择x2+y2＝1作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，
若x2+y2≥1，则（x2+y2）2≥1，
即x4+y4+2x2y2≥1，
所以x4+y4≤1，
即曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2＞，
故丁说法错误，
故答案为：甲、乙、丙．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分. 17．S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝9．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求b8+b9+…+b100．
解：（Ⅰ）等差数列{a n}中，a1＝1，S3＝3a2＝9，
解得a2＝3，
所以d＝a2﹣a1＝2，
所以数列{a n}的通项公式为a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（Ⅱ）数列{b n}中，b n＝＝＝2n，
所以数列{b n}是以首项为2，公比为2的等比数列，
所以b8+b9+…+b100＝28+29+…+2100＝＝2101﹣28．
18．如图，半圆柱O1O中，平面ABB1A1过上、下底面的圆心O1，O，且AB＝AA1＝2，点C为半圆弧的中点，N是CO的中点．
（Ⅰ）在线段BB1上是否存在点M使MN∥平面CO1B1，若存在，给出证明；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣O1B1N的体积．
解：（Ⅰ）在线段BB1上存在点M使MN∥平面CO1B1，M是BB1的中点.
证明如下：取CO1的中点P，连接NP，B1P，
∵N是CO的中点，∴NP∥OO1∥MB1，
∵M是BB1的中点，∴NP＝MB1，
∴四边形MB1PN是平行四边形，则MN∥PB1，
∵PB1⊂平面CO1B1，MN⊄平面CO1B1，
∴MN∥平面CO1B1；
（Ⅱ）＝．
19．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：
100位男性居民评分频数分布表
分组频数
[50，60） 5
[60，70）15
[70，80）64
[80，90）7
[90，100] 9
合计100
100位女性居民评分频数分布表
分组频数
[50，60） 3
[60，70）12
[70，80）72
[80，90）8
[90，100] 5
合计100
（Ⅰ）根据100位男性居民评分的频率分布表估计男性居民评分的均值；
（Ⅱ）若规定评分小于70分为不满意、评分大于等于70分为满意，请完成下列2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关．
满意不满意合计男性
女性
合计
参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．
p（K2≥k0）
k0
解：（Ⅰ）根据100位男性居民评分的频率分布表，计算平均值为
＝×（55×5+65×15+75×64+85×7+95×9）＝＝75；
（Ⅱ）根据题意，填写2×2列联表如下：
满意不满意合计男性80 20 100
女性85 15 100
合计165 35 200 计算K2＝≈0.866＜6.635，
所以没有99%的把握认为居民是否满意与性别有关．
20．椭圆离心率为，过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过H（1，0）的直线交椭圆于A，B两点，A关于x轴对称点为E，求证：直线BE过定点．
解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则E（x1，﹣y1），联立方程，消去x整理可得：（4+t2）y2+2ty﹣3＝0，
所以y，y，k，
所以直线BE的方程为：y＝，
令y＝0，则x＝＝＝
＝＝＝＝3+1＝4，
所以直线BE过定点（4，0）．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）≤0恒成立，某某数a的取值X围；
（Ⅱ）求证：（x+1）＜e x．
解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣a，
a≤0，f′（x）＞0，y＝f（x）为增函数，f（1）＝﹣a+1＞0，
f（x）≤0不恒成立，
a＞0，0＜x＜，f′（x）＞0，＜x，f′（x）＜0，
f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
f（x）max＝f（）＝ln≤0，a≥1；
（Ⅱ）证明：∵（x+1）＜e x，f（x）＝lnx﹣ax+1，
∴•（x+1）＜e x，即＜，设g（x）＝，h（x）＝，
g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max＝g（e）＝，
而h′（x）＝＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）＞h（0）＝1＞，故＜，（x+1）＜e x．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为极角），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．
解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），
转换为直角坐标方程为：，
所以直线的倾斜角为．
所以：，
曲线C1的参数方程为（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4．
转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，
曲线C2的极坐标方程为，
转换为直角坐标的方程为：，
整理得：，
线l交曲线C1于O，A两点，
则：，
解得：A（﹣2，），
直线和曲线C2于O，B两点
则：，
解得：B（﹣4，），
所以：|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4﹣2．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤x；
（Ⅱ）设f（x）的最大值为t，如果正实数m，n满足m+2n＝t，求的最小值．解：（Ⅰ）①当x≤﹣2时，f（x）＝﹣（x+2）+（x﹣1）＝﹣3≤x，∴﹣3≤x≤﹣2，
②当﹣2＜x＜1时，f（x）＝（x+2）+（x﹣1）＝2x+1≤x，∴﹣2＜x≤﹣1，
③当x≥1时，f（x）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝3≤x，∴x≥3，
∴不等式f（x）≤x的解集为[﹣3，﹣1]∪[3，+∞）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当x≤﹣2时，f（x）＝﹣3
当﹣2＜x＜1时，f（x）＝2x+1∈（﹣3，3），
当x≥1时，f（x）＝3，
∴f（x）的最大值为3，即t＝3，∴m+2n＝3，
∴+＝（+）（m+2n）×＝（++4）×≥（2+4）×＝，当且仅当＝，即m＝2n时取等号，
∴+的最小值为．。