高考数学压轴专题绍兴备战高考《复数》经典测试题含答案解析

【高中数学】数学《复数》复习资料
一、选择题
1．已知复数z 满足11212i i z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -
【答案】C
【解析】112i 11420i 34i 12i 5
z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.
2．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=
-+，则z (= ) A ．10
B ．10
C ．5
D ．5 【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】 4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)
=-=-=--+Q ，22z (1)(3)10∴=-+-=． 故选B ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )
A ．1
B ．2
C ．5
D ．3
【答案】D
【解析】
因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.
4．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ）
A ．61
B ．13
C ．20
D ．10 【答案】C
【解析】
由题意知点
、的坐标为、，则点的坐标为，
则，从而,选C.
5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
6．设i 是虚数单位，则()()
3211i i -+等于( ) A ．1i -
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i --
【答案】B
【解析】
【分析】
化简复数得到答案.
【详解】 ()
()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i
i -----===-++ 故答案选B
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
7．已知复数z 2
3(13)i i +-，则|z |＝( )
A ．14
B ．12
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为===，因此|z |＝12
8．已知i 是虚数单位，则
131i i +=+（ ） A ．2i -
B ．2i +
C ．2i -+
D ．2i --
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算计算复数的值即可.
【详解】
由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2
i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .
【点睛】
对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
9．设3443i z i -=
+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i +
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】 解：3443i z i
-=+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
10．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则
222m i i +=-（ ） A ．i
B ．1
C ．- i
D ．1-
【答案】A
【解析】 因为2(4)0m m i +->，所以2
(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)
m i i i i i ++==--，应选答案A ．
11．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】 由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1
x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D 选项.
12．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.
2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.
当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.
因此，点Z 的轨迹为线段.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13．若复数()234sin
12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23
π 【答案】B
【解析】
分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数()2
3412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 2
34sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈
，可知：sin 1
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.
已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）
A
．8-
B
．8+C
．1+D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意点(,)a b
在圆22(2)(1x y -+-=
(,)a b 到原点的距离，计
【详解】
|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，
(,)a b 到原点的距离，
故22a b +的最大值为
)221(18=+=+. 故选：B .
【点睛】
本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.
【详解】 ()2
222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；
213,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
16．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若
231z i i =+-，则4z i +=（ ）
A ．6
B ．50
C ．
D 【答案】C
【解析】
【分析】
计算5z i =-，再代入计算得到答案.
【详解】 由231z i i
=+-，得()()2315z i i i =+-=-
，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
17．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()
10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=+=+,
可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.
【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=++=+,
48
a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.
故选:B
【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()
222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
20．已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
（ ） A ．32i --
B ．33i --
C ．24i -+
D ．22i -- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．
【详解】
()()()2
2231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌 故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。