秀英区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

秀英区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos
2
）a n +sin
2
，则该数列的前10项和为（ ）
A ．89
B ．76
C ．77
D ．35
2． 已知
a=，b=20.5，c=0.50.2
，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞a B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．c ＞b ＞a
3． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．2
4． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
5． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则7
4
S a =（ ） A ．
74 B ．14
5
C ．7
D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.
6． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
7． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),3
1(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）
A ．c a b >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 8． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=
，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=
，
则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9
9． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0 C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
10．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则
=（ ）
A ．（﹣5，﹣10）
B ．（﹣4，﹣8）
C ．（﹣3，﹣6）
D ．（﹣2，﹣4）
11．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}01
2
|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[
【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.
12．已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A
B B =
C ．()R A B ≠∅ð
D ．()R A B R =ð
二、填空题
13．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 14．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
15．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .
16．已知直线l 的参数方程是
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρ=8cos θ+6sin θ，则曲线C 上到
直线l 的距离为4的点个数有 个．
17．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .
18．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集；
（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．
20．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X 表示体重超过60kg 的学生人数，求X 的数学期望与方差．
21．已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2分别在x 轴上，离心率为，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1，过A 、F 1作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）判断▱ABCD 能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD 的形状，并求出其最大值．
22．（本小题满分12分） 已知函数2()x f x e ax bx =--.
（1）当0,0a b >=时，讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上零点的个数； （2）证明：当1b a ==，1[,1]2
x ∈时，()1f x <.
23．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n 。

24．已知f（）=﹣x﹣1．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
秀英区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故选：C．
2．【答案】A
【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，
∴0＜a＜c＜1，b=20.5＞1，
∴b＞c＞a，
故选：A．
3．【答案】D
【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．
下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．
故选；D．
4．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1
，，﹣2
）， 设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ
=|
（III ）由（II
）知
，设
，
则
设平面PBC
的法向量=（x ，y ，z ）
则=0，
所以
令
，
平面PBC
的法向量所以，
同理平面PDC
的法向量，因为平面PBC ⊥平面PDC ，
所以=0，即﹣
6+=0，解得
t=
，
所以
PA=
．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
5． 【答案】C.
【解析】根据等差数列的性质，4231112()32(2)a a a a d a d a d
=+⇒+=+++，化简得1a d =-，∴17
4
176
7142732a d
S d a a d d
⋅+
===+，故选C.
6． 【答案】 C
【解析】解：在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中
命题p ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ，
显然满足α∥β，l ⊂α，m ⊂β，而m 与l 异面，故命题p 不正确；﹣p 正确；
命题q ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，
直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ， 显然满足l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，而α∥β，故命题q 不正确；﹣q 正确；
故选C ．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
7．【答案】D
8．【答案】B
【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）
对称，
函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，
设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，
则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，
故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，
即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B ．
【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．
9． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，
∴a ＜0，
且△=b 2
﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．
故选A ．
10．【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B ．
11．【答案】C
12．【答案】A
【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，3(log 2,2]A =，(0,2]B =，∵3log 20>，∴A ØB ，选A ．
二、填空题
13．【答案】
【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝k 1＋2k 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（k 1＋k 2·2n ）－（k 1＋k 2·2n －1）＝k 2·2n －1，
∴k 1＋2k 2＝k 2·20，即k 1＋k 2＝0，① 又a 2，a 3，a 4－2成等差数列． ∴2a 3＝a 2＋a 4－2， 即8k 2＝2k 2＋8k 2－2.② 由①②联立得k 1＝－1，k 2＝1， ∴a n ＝2n －1. 答案：2n －1
14．【答案】 2 ．
【解析】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3，
∴此组数据的方差 [（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
15．【答案】1 【解析】
试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，
需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是2
12121c c
b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.1
16．【答案】 2
【解析】解：由
，消去t 得：2x ﹣y+5=0，
由ρ=8cos θ+6sin θ，得ρ2=8ρcos θ+6ρsin θ，即x 2+y 2
=8x+6y ，
化为标准式得（x ﹣4）2+（y ﹣3）2
=25，即C 是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
又圆心到直线l 的距离是，
故曲线C 上到直线l 的距离为4的点有2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
17．【答案】9 【解析】
考点：直线与圆的位置关系 【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.
18．【答案】12π
【解析】
考
点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）(]
[),06,-∞+∞；（2）[]1,0-.
【解析】 试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(][),06,-∞+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤.
试题解析：
（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2426x x x ≤⎧⎨
-+-≥⎩或24426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或4426x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩， 解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(][),06,-∞+∞；
考
点：不等式选讲．
20．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n ，前三个小组的频率为p 1，p 2，p 3，
则，
解得，，，…
由于，故n=55．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：
p=，
由题意知X 服从二项分布，即：X ～B （3，
），…
∴P （X=k ）=
，k=0，1，2，3，
∴EX==，DX==．…
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：（I ）由题意可得：，解得c=1，a=2，b 2=3．
∴椭圆E 的方程为=1．
（II ）假设▱ABCD 能为菱形，则OA ⊥OB ，k OA •k OB =﹣1．
①当AB ⊥x 轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：
=1，解得y=，
取A ，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD 不能为菱形．
②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y=k （x+1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
联立，化为：（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，
∴x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=．
∴
k OA •k OB =====
，
假设=﹣1，化为k 2=﹣，因此平行四边形ABCD 不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD 不可能是菱形．
（III ）①当AB ⊥x 轴时，由（II ）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD 为矩形，S 矩形ABCD =6．
②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y=k （x+1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
联立，化为：（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，
∴x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=．
|AB|==
．
点O 到直线AB 的距离d=．
∴S 平行四边形ABCD =4×S △OAB =
=2××=．
则S 2==＜36，
∴S ＜6．
因此当平行四边形ABCD 为矩形面积取得最大值6．
22．【答案】（1）当2(0,)4e a ∈时，有个公共点，当24e a =时，有个公共点，当2
(,)4
e a ∈+∞时，有个公共点；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得2x e a x
=,构造函数2()x
e h x x =,利用()'h x 求出单调性可知()h x 在(0,)+∞的最小值2
(2)4
e h =,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数2()1x h x e x x =---,利用导数可判断()h x 的单调性和极值情况,可证明()1
f x <.1
试题解析：
当2
(0,)4
e a ∈时，有0个公共点； 当2
4
e a =，有1个公共点； 当2
(,)4
e a ∈+∞有2个公共点. （2）证明：设2()1x h x e x x =---，则'()21x h x e x =--，
令'()()21x m x h x e x ==--，则'()2x m x e =-， 因为1(,1]2x ∈，所以，当1
[,ln 2)2
x ∈时，'()0m x <；()m x 在1[,ln 2)2
上是减函数， 当(ln 2,1)x ∈时，'()0m x >，()m x 在(ln 2,1)上是增函数，
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
23．【答案】 【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得
a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣
≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==，
∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。

24．【答案】
【解析】解：（1）令t=，则x=，
∴f（t）=，
∴f（x）=（x≠1）…
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…。