平面向量中的三角形中“四心问题”

专题分析
平面向量中的三角形“四心”
江苏省启东中学 张 杰
在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力。

现就“四心”作如下介绍：
一．“四心”的概念与性质
1．重心：三角形三条中线的交点叫重心。

它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2：1；在向量表达形式中，设点G 是ABC ∆所在平面内的一点,则当点G 是ABC ∆的重心时，有0=++GC GB GA 或)(31++=(其中P 为平面内任意一点)；反之，若0=++GC GB GA ，则点G 是ABC ∆的重心；在向量的坐标表示中，若G 、A 、
B 、
C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G ),(y x 、A ),(11y x 、B ),(22y x 、C ),(33y x ，则有3321x x x x ++=，3
321y y y y ++=。

2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心。

它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若H 是ABC ∆的垂心，则⋅=⋅=⋅，或
2
22222+=+=+，反之，若
⋅=⋅=⋅，则H 是ABC ∆的垂心。

3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心。

内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；在向量表达形式中，若点I 是ABC ∆的内心，则有 0||||||=⋅+⋅+⋅IC AB IB CA IA BC 或||||||AB AC BC ++(其中P 为平面内
任意一点)，反之，若||||||=⋅+⋅+⋅，则点I 是ABC ∆的内心。

4．外心：三角形三条中垂线的交点叫外心。

外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点O 是ABC ∆的外心，则
0)()()(=⋅+=⋅+=⋅+或||||||==，反之，若||||||==，则点O 是ABC ∆的外心。

二．“四心”的典型例题
例题1. 已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ),0(+∞∈λ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 心。

[分析]探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之。

[解析]由原等式得： )(AC AB OA OP +=-λ，即)(AC AB AP +=λ，根据平行四边形法则知:+是ABC ∆的中线所在向量的2倍，所以点P 的轨迹必过ABC ∆的重心。

改编之一: 若动点P 满足||||AC AB ++=λ，),0(+∞∈λ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的 心。

[解析]由条件得)||||(AC AB OA OP +=-λ，即||||(AC AB AP +=λ||AB |
|AC ,的单位向量，由这两向量组成的平行四边形是菱形，知
||AB ||AC BAC ∠，即平分BAC ∠，所以点P 的轨迹必过ABC ∆的内心。

改编之二: 若动点P 满足(
++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 心
[研析]由条件得：cos ||cos ||(C AC B AB +=λ，
从而BC AP +=⋅λ
=+λ=0，得⊥，则动点P
的轨迹一定通过△ABC 的垂心。

改编之三: 若动点P 满足)cos ||cos ||2C
AC B AB +++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心。

[解析] 由条件得cos ||cos ||(2C
AC B AB OP +=+-λ， 即)cos ||cos ||(2C
AC B AB CP BP +=+λ，所以 0cos ||cos ||(2=+=⋅+C
AC B AB λ， 即0)(2
=-⋅+CP BP ，得22=
，=，所以动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心。

例2．已知△ABC 内一点O 满足关系32=++，试求
AOB COA BOC S S S ∆∆∆::之值。

[分析]本题条件32=++与三角形的重心性质0=++GC GB GA 十分类似，因此我们通过添作辅助线，构造一个三角形，使点
O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶
点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比。

[解析]延长OB 至B 1，使BB 1=OB ，延长OC 至C 1，使CC 1=2OC ， 则OB 21=，OC 31=，由条件得11=++OC OB ，
所以点O 是△AB 1C 1的重心，从而S S S S AOB OA C OC B 3
11111=
==∆∆∆,其中S 表示△AB 1C 1的面
积，所以S S S S AOB COA 61,91==
∆∆，S S S S OC B OC B BOC 181312121111=⨯==∆∆∆， 于是
3:2:161:91:181::==∆∆∆AOB COA BOC S S S 。

[推广引申]已知△ABC 内一点O 满足关系
0321=++OC OB OA λλλ，试证明：
321::::λλλ=∆∆∆AOB COA BOC S S S 。

例3．求证ABC ∆的垂心H 、重心G 、外
心O 三点共线，且GO HG 2=。

[分析]本题是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系。

我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量。

[研析] 对于ABC ∆的重心G ，易知3
OC OB OA ++=， 对于ABC ∆的垂心H ，设)(m ++=，则
)(OC OB OA m AO AH +++=OC m OB m OA m ++-=)1(。

由0=⋅得0)]()1[(=-++-OB OC OC m OB m OA m ，
0)()()1(22=-+-⋅-m m
=， 所以，0)()1(=-⋅-m ，但与不一定垂直，所以只有当1=m 时，上式恒成立，所以OC OB OA OH ++=，从而OH OG 31=
，得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且GO HG 2=。

[引申推广]重心G 与垂心H 的关系： )(31HC HB HA HG ++=。

链接高考:（2011上海文理17.）、设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r 成立的点M 的个数为（ ）
A 0
B 1
C 5
D 10
分析: 根据三角形中的四心知识可知,在ABC ∆中满足=++的点只有重心一点, 利用类比的数学思想可知,满足本题条件的点也只有1个,故选B.
答案:B
点评:本题以向量为载体,考查了类比与化归,归纳与猜想等数学思想. 本题的详细解答过程如下: 对于空间两点A,B 来说,满足=+的点是线段AB 的中点; 对于空间三点A,B,C 来说满足=++,可认为是先取AB 中点G,再连CG,在CG 上取点M,使MG CM 2=,则M 满足条件,且唯一; 对于空间四点A,B,C,D 来说,满足
=+++,可先取ABC ∆的重心G,再连GD,在GD 上取点M,使
MG DM 3=, 则M 满足条件,且唯一,不妨也称为重心G;与此类似,对于空间五点A,B,C,D,E 来说,满足=++++,可先取空间四边形ABCD 的重心G, 再连GE,在GE 上取点M,使MG EM 4=, 则M 满足条件,且唯一.
说明:上述思维过程与物理中的相关知识类似.
三．“四心”练习题
1．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
sin ||sin ||(C AC B AB OA OP ++=λ),0(+∞∈λ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的
心。

2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足λ++=2
),0(+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△AB C 的 心。

3．在ABC ∆中，O 为外心，H 为ABC ∆所在平面内一点，且OC OB OA OH ++=，则点H 为ABC ∆的 心。

4．在ABC ∆中，H 为垂心，O 为ABC ∆所在平面内一点，且OC OB OA OH ++=，则点O 是ABC ∆的 心。

5．在ABC ∆中，存在一点P ，使222||||||PC PB PA ++最小，则点P 是△ABC 的重心。

参考答案：1.k C B ==, 所以原等式即为 )(k +=λ
，所以P 点的轨迹一定通过ABC ∆的重心。

2．原等式化为AP OC OB OP λ22=--，即AP CP BP λ2=+，可证CA BA CP BP +=+，所以)(21AC AB AP +-=λ
，P 点的轨迹一定通过ABC ∆的重心。

3．因OC OB OH AO AH +=+=，所以0))((=-+=⋅， 所以⊥，同理⊥，⊥，则点H 为ABC ∆的垂心。

4．参照第3题，逆推即得点O 是ABC ∆的外心。

5．因-=，-=，-=，所以
2
222222)(23||||||+++⋅++-=++， 因=++，所以当02=时，222||||||PC PB PA ++有最小值， 222||||||++，即点P 与G 重合。