高观点下的中学数学作业四(陕师大)

１、用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：
（１）过 ABC 的顶点C 做一条直线，与边AB 以及中线AD 分别交于F 及E ，求证AE:ED=2AF:FB
证明１：（初等几何）过B 做CF//BH,并延长AD 交HB 于点G 。

因为CD=DB ，易得四边形CFBH 为平行四边形，从而得到ED=DG ；由平行线分线段成比例，则AE ：EG=AF ：FB ，又ＥＧ＝２ＥＤ，所以ＡＥ：２ＥＤ＝AF ：FB ，即AE:ED=2AF:FB 。

证明２（仿射变换）建立仿射坐标系：Ａ（０,０），Ｂ（ｂ，０），C （0，c ）则D （b/2,c/2），下面设CF ：y=kx+c ，分别求E 和F 的坐标。

因为AB ：y=0，从而得到F （-c/k,0），AD ：cx-by=0，与CF 联立，得
R G
B
E （bc/(c-kb),c^2/(c-kb)）
AF ：FB=-c/k （（b+c/k ）=-c/(kb+c),AE:ED
=bc/(c-kb):[b/2-bc(c-kb)]=-2c/(kb+c)）
所以，AE:ED=2AF:FB
（２）（梅耐劳斯定理）设L ，N ，M 分别在∆ABC 的边AB,AC,BC(或延长线)上，求证：L ，N ，M 三点共线的充要条件是1AL BM CM LB MC MA
⋅⋅= 证明：如图，建立仿射坐标系：以BC 为x 轴，以BA 为y 轴，B （0,0），
C （a ，0），A （0，b ），
00(,0),(0,)M x N y ，则直线AC 的方程为：1x y a b
+=， 00
00000000
00000000
0000000000000000ML 1()()(,)()
(),,()()
()1()
x y N x y ax b y by b y bx ay bx ay ax b y a b y x bx ay y x a AL BM CN ax b y LB y MC x a NA x b y bx ay b y x y x a AL BM CN LB MC NA y x a x b y +=---------====------⋅⋅=⋅⋅=--直线的方程为：，联立上述方程，可求得点坐标为所以，故本题结论得证
（３）已知∆ABC 中，Ｄ是BC 边上的中点，G 是AD 上的任一点，连M
C
B
接BG 并延长交AC 于E ，连接并延长交ＤＧ，ＡＢ于Ｆ，求证ＦＥ／／ＢＣ
证明：如图，延长ＡＤ至Ｋ使得ＤＧ＝ＤＫ，
由于ＢＤ＝ＤＣ，所以四边形ＢＫＣＧ为平行四边形，所以进一步得到ＦＧ／／ＢＫ，ＫＣ／／ＧＥ，在∆ＡＢＫ和∆ＡＫＣ中，根据平行线分线段成比例知：
,,//AF AG AE AG AF AE FE BC FB GK EC GK FB EC
==，从而所以
２、利用“圆的仿射变换像是椭圆”这一结论，试将与圆有关的一些结论移植到椭圆上去，并给出证明
K C
B
,,22
2222
22,
222,,,2
,21(0)1(0),OAB O A a O A a 12OAB OA B x y a b ab a b
x y a b a b
x x x y a y y
a S S a ππ∆∆+=>>+=>>⎧=+=∆⎨=⎩===椭圆的面积是证明：设椭圆方程：，则其经过仿射变换，对应图形为圆椭圆内的各定点的坐标为（0,0），（,0）,B(0,b),圆中对应的三角形顶点
坐标为（0,0），（,0）,B(0,a)
椭圆的面积圆的面积所以，即椭圆的ab π面积为。