2020年湖北省武汉市第五十一中学高二数学理下学期期末试题含解析
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2020
一、
1.已知f（n）=in﹣i﹣n（n∈N*），则集合{f（n）}的元素个数是（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
参考答案：
B
【考点】A1：虚数单位i及其性质；1A：集合中元素个数的最值．
【分析】利用i的幂运算，通过n的取值，求解即可．
【解答】解：因为in的周期为4，所以n=1时，f（n）=i1﹣i﹣1=2i；n=2时，f（n）=i2﹣i﹣2=0；n=3时，f（n）=i3﹣i﹣3=﹣2i；n=4时，f（n）=i4﹣i﹣4=0；
A. 256B. 255C. 16D. 31
参考答案：
D
【分析】
由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得 ，令 求解即可.
【详解】由 ，可得 ；
由 .
两式作比可得：可得 ， ，
所以 ， ， ，所以 .
故选D.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.
参考答案：
0.7
三、
18. (本小题满分14分)函数 是定义域为 的奇函数，且 。
⑴求 的解析式；
⑵用定义法证明 在 上是增函数；
⑶解不等式 。
参考答案：
⑴由 ，得
又 ，得，
所以 …………………………………………5分
⑵略……………………………………………………………9分
⑶由 得 即
，解得 ………………………………14分
略
19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，面PAB⊥面ABCD，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC= AD，E是线段AB的中点．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．
参考答案：
(1)由△ 是等边三角形， 是线段 的中点．
又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，
由 ，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ可化为（x﹣1）2+y2=1，
设与直线l平行的直线为y=x+b，
当直线l与曲线C相切时，有 ，即 ，
于是当 时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即 ．
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象的解析式为
y=sin[2（x+ ）﹣ ]=sin2x，
故选：A．
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn， ，且 ，则 （ ）
所以PE⊥AB,面PAB 面ABCD知： 平面 ，……3分
所以 是四棱锥 高．由 ， ，可得 ．因为△ 是等边三角形，可求得 ．
所以 ．………6分
（2）过C做CM⊥DE于M，连接CE、PM
所以∠CPM就为直线PC在平面PED上所成的角。………8分
因为
所以 ，而 ………10分
所以 ………12分
20.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
则集合{f（n）}的元素个数是：3个．
故选：B．
【点评】本题考查复数的单位的幂运算，集合的元素个数的最值，考查计算能力．
2.已知函数 ，g(x)＝x2－2bx＋4，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是( )
A． B．[1，＋∞] C． D．[2，＋∞]
A．2xB．2
C．2＋ΔxD．1
参考答案：
B
略
6. 的大小关系是（ ）
A B C D无法确定
参考答案：
A
略
7.已知点 F是抛物线 的焦点, 是抛物线上的动点,当 最小时, 点坐标是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
8.将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象的解析式为（ ）
A．.y=sin2xB．.y=﹣sin2xC．.y=cos2xD．y=﹣2cosx
参考答案：
C
3.设 , , , , 满足 ,则它们的大小关系是( )
A.G<F<H<T B.T>H>G>F C.H>G>F>T D.H>G>T>F
参考答案：
C
4.过点P(－2, m)和Q(m, 4)的直线的倾斜角为 ，则m值为（ ）
A．1B．4Ｃ．1或3Ｄ．1或4
参考答案：
A
5.y＝x2在x＝1处的导数为()
由已知数据得
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下没有充分的证据认为反感“中国式过马路 ”与性别有关.………………………………………………………………………………… ６分
（2）依题意，随机变量 的所有取值为2，3，4.…………………………………………７分
它们对应的概率分别为：
,……………………………………………………………………9分
,……………………………………………………………………11分
.……………………………………………………………………１３分
略
10.若实数x、y满足 ，则 的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据不等式组作出可行域，根据 的几何意义：可行域内的点与原点 连线的斜率，据此计算出 的取值范围.
【详解】作出可行域如下图：
由图可知：当点在直线 上时，此时斜率最小为： ，当点靠近 轴上，此时斜率 ，所以 .
故选：D.
参考答案：
略
13.以 表示值域为 的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 。例如，当 ， 时， ， .现有如下命题：
①设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；
②函数 的充要条件是 有最大值和最小值；
③若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则 ；
④若函数 （ ， ）有最大值，则 .
其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）
参考答案：
①③④
略
14.已知 ，则不等式 恒成立的概率为．
参考答案：
15.已知抛物线：y=4x2，则抛物线的通径长为．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将抛物线方程转化成标准方程，求得焦点坐标，代入椭圆方程，即可求得抛物线的通径长．
（Ⅰ） 写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ） 已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程k消去参数t得直线l普通方程又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（或先求圆心到直线的距离为 ，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值 ）
【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．
21.如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ，直线 与线段 、 分别交于点 、 .
(Ⅰ)当 时，求以 为焦点，且过 中点的椭圆的标准方程；
则 ,解得 …10分
所以圆心坐标为 ,经验证,该圆心在定直线 上…11分
②由①可得圆C的方程为 ………13分
该方程可整理为 ,
则由 ,解得 或 ,
所以圆 恒过异于点 的一个定点,该点坐标为 ………………16分
22.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取15名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
附： ，其中
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考答案：
解：（1）依题意，反感“中国式过马路 ”的路人共8人，故列联表如下：
男性
女性
合计
反感
5
3
8
不反感
3
4
7
合计
8
7
15
…………………………………………………………………………………3分
设 ：“中（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时， ，当 时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离．
【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由题，直线l的参数方程为 （其中t为参数）．
消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通方程为y=x+2．
【解答】解：由抛物线：y=4x2，标准方程为：x2= y，焦点坐标为（0， ），设A（x，y），
当y= ，则x= ，
抛物线的通径长丨AB丨=2x= ，
故答案为： ．
16.已知 ； ，若 是 的充分条件，则 的取值范围为．
参考答案：
17.某班委会3名男生与2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是.
(Ⅱ)①解法一:易得直线 ,
所以可得 ,再由 ∥ ,得 ……………8分
则线段 的中垂线方程为 ,线段 的中垂线方程为 ,
由 ,解得 的外接圆的圆心坐标为 ………10分
经验证,该圆心在定直线 上…………………………… 11分
解法二:易得直线 ,所以可得 ,再由 ∥ ,得 ………………………8分
设 的外接圆 的方程为 ,
【点睛】线性规划中常见的几种非线性目标函数的几何意义：
（1） ，表示可行域内的点与点 连线的斜率；
（2） ，表示可行域内的点到点 的距离；
（3） ，表示可行域内的点到直线 距离的 倍.
二、
11.已知一个球的表面积为 ，则这个球的体积为
参考答案：
略
12.在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率 等于
(Ⅱ)过点 作直线 ∥ 交 于点 ，记 的外接圆为圆 .
①求证:圆心 在定直线 上；
②圆 是否恒过异于点 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
参考答案：
(Ⅰ)设椭圆的方程为 ,当 时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分
而 ,所以 ，故椭圆的标准方程为 …………………5分
男性
女性
合计
反感
5
不反感
4
合计
15
已知在这15人中随机抽取 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是 .
(1)请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为反感“中国式过马路 ”与性别有关？
(2）若从这些不反感的人中随机抽取4人，要求女性人数不少于男性人数，并设女性人数为随机变量 ，求 的所有取值和相应的概率.
一、
1.已知f（n）=in﹣i﹣n（n∈N*），则集合{f（n）}的元素个数是（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
参考答案：
B
【考点】A1：虚数单位i及其性质；1A：集合中元素个数的最值．
【分析】利用i的幂运算，通过n的取值，求解即可．
【解答】解：因为in的周期为4，所以n=1时，f（n）=i1﹣i﹣1=2i；n=2时，f（n）=i2﹣i﹣2=0；n=3时，f（n）=i3﹣i﹣3=﹣2i；n=4时，f（n）=i4﹣i﹣4=0；
A. 256B. 255C. 16D. 31
参考答案：
D
【分析】
由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得 ，令 求解即可.
【详解】由 ，可得 ；
由 .
两式作比可得：可得 ， ，
所以 ， ， ，所以 .
故选D.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.
参考答案：
0.7
三、
18. (本小题满分14分)函数 是定义域为 的奇函数，且 。
⑴求 的解析式；
⑵用定义法证明 在 上是增函数；
⑶解不等式 。
参考答案：
⑴由 ，得
又 ，得，
所以 …………………………………………5分
⑵略……………………………………………………………9分
⑶由 得 即
，解得 ………………………………14分
略
19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，面PAB⊥面ABCD，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC= AD，E是线段AB的中点．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．
参考答案：
(1)由△ 是等边三角形， 是线段 的中点．
又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，
由 ，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ可化为（x﹣1）2+y2=1，
设与直线l平行的直线为y=x+b，
当直线l与曲线C相切时，有 ，即 ，
于是当 时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即 ．
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象的解析式为
y=sin[2（x+ ）﹣ ]=sin2x，
故选：A．
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn， ，且 ，则 （ ）
所以PE⊥AB,面PAB 面ABCD知： 平面 ，……3分
所以 是四棱锥 高．由 ， ，可得 ．因为△ 是等边三角形，可求得 ．
所以 ．………6分
（2）过C做CM⊥DE于M，连接CE、PM
所以∠CPM就为直线PC在平面PED上所成的角。………8分
因为
所以 ，而 ………10分
所以 ………12分
20.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
则集合{f（n）}的元素个数是：3个．
故选：B．
【点评】本题考查复数的单位的幂运算，集合的元素个数的最值，考查计算能力．
2.已知函数 ，g(x)＝x2－2bx＋4，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是( )
A． B．[1，＋∞] C． D．[2，＋∞]
A．2xB．2
C．2＋ΔxD．1
参考答案：
B
略
6. 的大小关系是（ ）
A B C D无法确定
参考答案：
A
略
7.已知点 F是抛物线 的焦点, 是抛物线上的动点,当 最小时, 点坐标是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
8.将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象的解析式为（ ）
A．.y=sin2xB．.y=﹣sin2xC．.y=cos2xD．y=﹣2cosx
参考答案：
C
3.设 , , , , 满足 ,则它们的大小关系是( )
A.G<F<H<T B.T>H>G>F C.H>G>F>T D.H>G>T>F
参考答案：
C
4.过点P(－2, m)和Q(m, 4)的直线的倾斜角为 ，则m值为（ ）
A．1B．4Ｃ．1或3Ｄ．1或4
参考答案：
A
5.y＝x2在x＝1处的导数为()
由已知数据得
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下没有充分的证据认为反感“中国式过马路 ”与性别有关.………………………………………………………………………………… ６分
（2）依题意，随机变量 的所有取值为2，3，4.…………………………………………７分
它们对应的概率分别为：
,……………………………………………………………………9分
,……………………………………………………………………11分
.……………………………………………………………………１３分
略
10.若实数x、y满足 ，则 的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据不等式组作出可行域，根据 的几何意义：可行域内的点与原点 连线的斜率，据此计算出 的取值范围.
【详解】作出可行域如下图：
由图可知：当点在直线 上时，此时斜率最小为： ，当点靠近 轴上，此时斜率 ，所以 .
故选：D.
参考答案：
略
13.以 表示值域为 的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 。例如，当 ， 时， ， .现有如下命题：
①设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；
②函数 的充要条件是 有最大值和最小值；
③若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则 ；
④若函数 （ ， ）有最大值，则 .
其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）
参考答案：
①③④
略
14.已知 ，则不等式 恒成立的概率为．
参考答案：
15.已知抛物线：y=4x2，则抛物线的通径长为．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将抛物线方程转化成标准方程，求得焦点坐标，代入椭圆方程，即可求得抛物线的通径长．
（Ⅰ） 写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ） 已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程k消去参数t得直线l普通方程又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（或先求圆心到直线的距离为 ，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值 ）
【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．
21.如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ，直线 与线段 、 分别交于点 、 .
(Ⅰ)当 时，求以 为焦点，且过 中点的椭圆的标准方程；
则 ,解得 …10分
所以圆心坐标为 ,经验证,该圆心在定直线 上…11分
②由①可得圆C的方程为 ………13分
该方程可整理为 ,
则由 ,解得 或 ,
所以圆 恒过异于点 的一个定点,该点坐标为 ………………16分
22.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取15名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
附： ，其中
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考答案：
解：（1）依题意，反感“中国式过马路 ”的路人共8人，故列联表如下：
男性
女性
合计
反感
5
3
8
不反感
3
4
7
合计
8
7
15
…………………………………………………………………………………3分
设 ：“中（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时， ，当 时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离．
【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由题，直线l的参数方程为 （其中t为参数）．
消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通方程为y=x+2．
【解答】解：由抛物线：y=4x2，标准方程为：x2= y，焦点坐标为（0， ），设A（x，y），
当y= ，则x= ，
抛物线的通径长丨AB丨=2x= ，
故答案为： ．
16.已知 ； ，若 是 的充分条件，则 的取值范围为．
参考答案：
17.某班委会3名男生与2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是.
(Ⅱ)①解法一:易得直线 ,
所以可得 ,再由 ∥ ,得 ……………8分
则线段 的中垂线方程为 ,线段 的中垂线方程为 ,
由 ,解得 的外接圆的圆心坐标为 ………10分
经验证,该圆心在定直线 上…………………………… 11分
解法二:易得直线 ,所以可得 ,再由 ∥ ,得 ………………………8分
设 的外接圆 的方程为 ,
【点睛】线性规划中常见的几种非线性目标函数的几何意义：
（1） ，表示可行域内的点与点 连线的斜率；
（2） ，表示可行域内的点到点 的距离；
（3） ，表示可行域内的点到直线 距离的 倍.
二、
11.已知一个球的表面积为 ，则这个球的体积为
参考答案：
略
12.在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率 等于
(Ⅱ)过点 作直线 ∥ 交 于点 ，记 的外接圆为圆 .
①求证:圆心 在定直线 上；
②圆 是否恒过异于点 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
参考答案：
(Ⅰ)设椭圆的方程为 ,当 时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分
而 ,所以 ，故椭圆的标准方程为 …………………5分
男性
女性
合计
反感
5
不反感
4
合计
15
已知在这15人中随机抽取 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是 .
(1)请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为反感“中国式过马路 ”与性别有关？
(2）若从这些不反感的人中随机抽取4人，要求女性人数不少于男性人数，并设女性人数为随机变量 ，求 的所有取值和相应的概率.