高中数学高一第一学期2.4基本不等式及其应用_教案2-沪教版

基本不等式及其应用
【教学目标】
（一）知识目标：
1．引入两个基本不等式：222a b ab +≥),(R b a ∈，
,)2a b a b R ++≥∈，并给出几何解释。

2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围。

（二）能力目标：
掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力。

（三）情感目标：
体会数学公式的内在联系，提高学习数学的兴趣。

【教学重难点】
1．引入两个基本不等式：222a b ab +≥),(R b a ∈，
,)2
a b a b R ++≥∈，并给出几何解释。

2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围。

【教学过程】
1．基本不等式1：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。

证明：
2222()0a b ab a b +-=-≥ 222a b ab ∴+≥
当a b ≠时，()20a b ->；当a b =时，()20a b -=；
所以，当且仅当a b =时，222a b ab +≥的等号成立。

（理解 “当且仅当”的含义）
【例1】已知,a b R ∈，求证：()2222a b a b ++≥
，当且仅当a b =时等号成立。

证法一：（作差比较） ()
()22
222220222a b a b a b ab a b +-+-+-==≥，
当且仅当a b =时等号成立。

证法二：（利用基本不等式1） 222a b ab +≥()222222a b a b ab ⇒+≥++ ()()2222a b a b ⇒+≥+
()
2222
a b a b +⇒+≥，当且仅当a b =时等号成立。

思考题：用不等符号连接2)(,2,222b a ab b a ++三者的大小：ab b a b a 22
)(2
22≥+≥+ 2．基本不等式2：对于任意正数,a b ，有
2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。

思考：
1）如何证明这个不等式；
2）不等式的使用前提，一定要是正数；
3）勿忘等号成立的条件；
我们把2
a b +和ab 分别叫做正数,a b 的算术平均数和几何平均数。

基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

基本不等式2的几何意义：
如图，,AC a BC b ==，DC AB ⊥
以,a b 之和为直径的半圆中，半径OD 的长度≥垂线段CD
的长度。

【例2】已知0ab >，求
b a a b +的最小值，并指出b a ,满足什么条件时取到最小值。

解：因为0ab >，所以
a b 与b a 均正，22=⋅≥+b a a b b a a b ，即最小值为2， 当且仅当b a b
a a
b =⇒=时取到最小值。

【变式】若改为0ab <，则a b b a
+有怎样的最值？ 解：有最大值2-，当且仅当b a b
a a
b -=⇒=时取到最大值。

【例3】
（1）代数式221x x +与2的大小关系是：2122≥+x
x （2）当0<x 时，x x 1+
与2-的大小关系是：21-≤+x x （3）代数式41422++
+x x 与2的大小关系是：24
1422>+++x x 【课堂练习】 1．已知实数,a b ，判断下列不等式中哪些是一定正确的？
（1）222a b ab +≥ 正确
（2）222a b ab +≥- 正确
（3）2b a a b
+≥ 错误 2．设0ab ≠，求||b a a b
+的取值范围。

[2,)+∞ 3．设,a b R ∈，比较224b a +与ab 4的大小、224b a +与ab 4-的大小，你能对基本不等式1进行推广吗？
解：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；有ab b a 222-≥+，当且仅当b a -=时等号成立。

因此ab b a 222≥+。

【作业布置】
1．如果,a b R ∈，且0ab >，那么下列不等式中正确的是 （ D ）
A ．222a b ab +>
B ．a b +≥
C ．11
a b +>．2b a a b +≥ 2．设0x y >>，则下列各式中正确的是 （ A ）
A ．2x y x y +>
>> B ．2x y x y +>>>
C ．2x y x y +>>>．2
x y x y +>>> 3．函数2
()f x = （ D ）
A ．4
B ．2
C ．k
D ．不能确定
4．已知,a b R ∈，比较||||2b a +
解：||||2
b a +≥2b a =时等号成立。

5．已知0a >，求证：322a a a +≥，并指出等号成立的条件。

6．已知0a >，0b >
+≥+。