第七章要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数

1.反映规模报酬递增的若干成本变化
考虑只生产一种产品，设C(q)的为企业生产q产
量的（最优）总成本。假定成本函数除零点外二
阶可微。
C(q)
F
q C'(x)dx
0
q0
0
其他
F 0固定成本,C' (x)边际成本, q C'(x)dx可变成本 0
（1）若对所有可能的产出量q，C''(q)<0，则边 际成本严格递减。
SMC
线
F•
•E
ATC AVC
综 合 图
AFC Q
2.成本函数的二阶性质
pq (q) b
d p '(q) 0 利润最大化的一阶条件
dq
d 2 ''(q) d 2C 0 利润最大化的二进制阶条件
dq2
dq2
d 2C dq2
0
边际成本递增
三、长期成本函数
若生产函数为： q f (x1, x2, k) 则短期成本函数可表示为： STC r1x1 r2x2 (k) p 、r1和 r2给定时，x1和x2是q函数。此时
Q
曲线比较平缓，学习效应
不显著。
若考虑两个时期1，2。其产量分别为q1,q2。第一 期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。“学 习效应”是指 C2。/ q即1 第0 一期的产出量越多，则 第二期的生产成本会降下来。
有时学习曲线也可用要素的使用量来表示：
L AN
例：设有一公司，在累积产量达到20时，测得总 用工为200小时；在累积产量达到40时，测得总用 工时为360小时，试估计学习曲线。
L1 200 / 20 A20 L2 360 / 40 A40
L1 / L2,可得 :0.9 2
ln(0.9) 0.0152
ln 2
0.0152
从L1式中解出A：
10 A200.0152
A
10 200.0152
15.77
因此，学习曲线为：
L 15.77N 0.0152
二、成本函数的次可加性与规模报酬
（2）若对所有的产出量q1和q2，0<q1<q2，下式 成立，则平均成本严格递减。
C(q2 ) C(q1)
q2
q1
（3）若对所有的产出量qi，下式成立，则成本函 数严格次可加（在一个有限的产量变动范围内，
共同生产一组产量的总和比分别生产它们节约成
本）。
n
C(qi
)
C
n
qi
i1
i1
2.两个定理
第七章 要素需求函数、成本 函数、利润函数与供给函
本章要点
§1.要素需求函数 §2.短期成本函数和长期成本函数 §3.学习曲线与成本次可加性 §4.利润函数与供给函数
§1.要素需求函数
一、要素需求函数的推导
令q f (x1, x2 ),C r1x1 r2x2 b pq C
pf (x1, x2 ) r1x1 r2 x2 b
f11 f22
f12 f21
f11 f22
f122
0
当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。
pf1 pf2
r1 r2
0 0
求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分，可得：
pf11dx1 pf12dx2 f1dp dr1 0 pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2 0 pf11dx1 pf12dx2 f1dp dr1
dx1 dp
1 pD
[
f12
f2
f22 f1] 0
通常f12为正, D 0, f22 0, f1 0,于是有 : dx1 0 dp
§2.短期成本函数和长期成本函数
一、成本函数的定义
生产函数q f (x1, x2), r1, r2为要素价格, x1 0, x2 0,成本函数为:
C(r1 s.t.
【定理1】边际成本在任何地方都递减意味着平 均成本也如此。
证明:C(q) F q C' (x)dx 0
d dq
C(q) q
d dq
F q
d dq
q C' (x)dx / q
0
d dq
F q
F q2
x [0, q]范围内,有C'(q) C'(x)
C' (q) q C'(x)dx / q. 0
学习曲线的形状
AC aqb
式中AC是累积产量为Q时
厂商的平均生产成本，a,b
乃是大于零的常数。
a的经济涵义是第一单位 产出的平均成本，b则反映 厂商学习效应的大小：b越 大，平均成本下降的速度
160
A
B
120
C
100
越快(即学习曲线越陡)，
学习效应越显著；反之， 平均成本下降很慢，学习
O 1000 2000 3000
( p, r) ( y, x) max( py rx)
利润函数一定是指最大利润是存在的，且它只依 赖于产出价格和要素价格。
利润函数只有在规模报酬递减时才存在。
假设生产技术是规模报酬递增的。最大利润为 （在p和r给定时）：
pf (x' ) rx'
规模报酬递增意味着：
f (tx' ) tf (x' ) (对t 1)
'
(q) b
'(q)q ((q) b)
q
q2
0
'(q) (q) b
q
MC AC
同理可证，在AVC的最低点,AVC=MC。
C
MC先通过
AVC的最低
点，然后再
通过MC的最 O
低点。因为
C
当AVC最低
时，AFC还
在下降，AC
未达到最低。
O
STC
切线
切线
TVC
短
期 TFC 成
Q
本
曲
1 pD
[
f22
dr1
f12dr2
( f12 f2
Байду номын сангаас
f22 f1)dp]
1 dx2 pD [ f21dr1 f11dr2 ( f21 f1 f11 f2 )dp]
r1对x1的影响
令dr2 dp 0,则有
dx1
1( pD
f22dr1),即
dx1 dr1
1 pD
f22
0
(D
0,
f22
0)
x1
pf1
r1
0, x2
pf2
r2
0
即pf1 r1, pf2 r2
说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到 其边际产量的价值=要素价格。
由上述条件可导出要素的需求函数：
x1 x1(r1, x1, p), x2 x2 (r2, x2 , p)
例： q Ax1 x2 , 0, 0, 1, x1 0, x2 0.
, r2, q) min(r1x1 f (x1, x2) q
r2
x2
)
上述最小化问题的解 x1*(r1,称r2,为q) 条件（产出量给定 时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：
C(r1, x1, p) r1x1*(r1, x2 , p) r2x2*(r1, x2, p)
二、短期成本函数
§3.学习曲线和成本次可加性
一、学习曲线
如果厂商的生产规模并未发生变化，而其平均生 产成本却长时期地连续下降，那又该如何解释呢?
由于厂商能够在生产过程中不断获取有关经验， 提高生产效率，因而其平均生产成本通常会随厂 商累积产出的增长而下降。形成这种现象的具体 原因是存在学习效应，又称为“干中学” （learning by doing）。
p)
1
同理,x2
r1
r
r2
r
1
( pA)r 2 (r1, r2, p)
用成本最小化求要素需求函数
ms.ti.n{f x(1xr11 ,x2x)2
r2} q
x1
0,
x2
0
拉氏函数为：
L(x1, x2 ) r1x1 r2x2 [q f (x1, x2 )
L x1
r1
f1
0
L x2
r2对x1的影响
令dr1 dp 0,则有
dx1 dr2
1 pD ( f12 ) 0
(D
0, 若f12
0)
可见，上式取决于f12的符号。 f12 是指x2增加后 对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。
p对x1的影响
令dr1 dr2 0,则有
dx1
1 pD ( f12 f2
f22 f1)dp,即
C
STC2 STC3
STC1 •d
•c
•b
LTC
a
140 300 900 q
C (q, k) (k) 令C (q, k) (k) G(C, q, k) 0为一隐函数,
G(C, q, k)对k求偏导,令其等于0 Gk (C, q, k) 0
说明当k变化时，企业充分利用了k的潜力。即找 出最佳k和q的关系。 由上式解得：
1.工人对设备和生产技术有一个学习与熟悉 的过程，生产实践越多，他们的经验就越丰 富，技术就越熟练，完成一定生产任务所需 的时间也就越短。
2.厂商的产品设计、生产工艺、生产组织会 在长期的生产过程中得到完善，走向成熟， 这将使产品的成本降低。
3.厂商的协作者(如原料供应厂家)和厂商合作 的时间越长，他们对厂商的了解越全面，其 提供的协作就可能越及时、有效，从而降低 厂商的平均生产成本。
pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2
后两式可写作：
pf11
pf21
pf12
pf22
dx1 dx2
f1d f2d
p p
dr1 dr2
用克莱姆法则解dx1和dx2, D f11 f22 f122 0,可得 :
dx1
1 p2D
[(
f1dp
dr1
)
pf22
( f2dp dr2 ) pf12 ]
求关于x1和x2需求函数：
解 : pf1 p Ax1 1x2 r1
pf2 p Ax1 x2 1 r2
x2
r1 r2
x1
把x2代入第1个式了,有:
p
Ax1
1
r1 r2
x1
r1
p
1
r1
r1 2
x1 1
令1 r,则
1
x1
r1
r
r2
r
1
( pA)r
1(r1, r2,
设q qi (1)
I
平均成本在任何地方都递减表示：
C(qi ) C(q) ,
qi
q
C(qi )
C(q) q
qi ,两边求和:
n
n C(q) C(q) n
C(qi )
i1
i1
q
qi
q
qi
i1
由（1）式可得到：
n
i1
C(qi )
C(q) q
q
C(q)
C
n i1
qi
边际成本在任何地方严格递减的条件最强，意味 着平均成本严格递减和严格次可加，但逆命题不 一定成立。
r2
f2
0
L
q
f
( x1 ,
x2 )
从
f1 f2
r1
r2
可解出要素的需求函数
注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是规 模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求函 数的方法更具有一般性。
二、要素价格变化对要素需求量的影响
定义： f (x1, x2 )严格为凹,如果
f11 0, f22 0
成本函数可表示为：
C (q, r1, r2 ) b
若生产函数为： q f (x1, x2),若要素价格给定,于是
C (q) b
1.平均成本（AC或ATC）与边际成本（MC）的关
系
ATC C (q) b
qq
AVC (q)
q
AFC b , MC '(q) dC
q
dq
在平均成本的最低点,AC=MC。
边际成本递减，则q点的边际成本必定是 x [0, q]
范围内边际成本最小值。于是边际成本必小于平
均成本。
由于边际成本递减，边际成本小于平均成本，因
此，严格递减的边际成本必导致递减的平均可变成
本。因此，
d q C'(x)dx / q 0
dq 0
d dq
C(q) q
0
【定理2】平均成本在任何地方都递减意味着生 产是次可加的。
C (q) 长期成本函数
例：
若一组短期成本函数由下式决定：
C 0.04q3 0.9q2 (11 k)q 5k2 (k 1, 2, )
即企业在不同阶段的短期成本函数，求长期成本 函数。
G(q,C, k) 0.04q3 0.9q2 (11 k)q 5k2 (k 1, 2, ) Gk 0 q 10k 0 k 0.1q C 0.04q3 0.95q2 11q
STC (q, r1, r2, k) (k)
r1和 r2给定时，
STC (q, k) (k)
长期总成本的定义：每一产量水平上所能达到的最 低总成本。
厂 商 打 算 供 应 140T ， 他 会 选 用 STC1这个规模。 现 假 设 供 应 的 产 量 为 300T ， 显 然 在 300-650T 之 间 的 范 围 内 ， 第二个规模更适用。 以下依次类推。 A.LTC曲线代表每一产量 水平上都选取一最优的生产 规模，此生产规模上对应的STC 曲线与LTC曲线相切。 B.LTC是STC曲线的包络线。 C.LTC曲线比STC平缓。
§4.利润函数和供给函数
利润最大化问题：
max py rx (x, y) 0 s.t. f (x) y
y* y( p, r) 供给函数 x* x( p, r) 投入品需求函数
一、利润函数的定义
利润函数是下列最大值函数：
( p, r) max py rx
(x, y) 0 s.t. f (x) y