泰勒公式在计算及证明中的应用

2. 求极限 例 2 lim 2cosx- e x→0 x [x+ln(1- x)] 解: 把 cosx,e
2 - x 2 2 - x 2
,ln(1- x)在 x=0 处的泰勒公式
2 - x
2 4 2 4 2 cosx=1- x + x +o(x4), e =1- x + x +o(x4), 2! 4! 2 8 2 ln(1- x)=(- x)- (- x) +o(x2)代入,得 2 - x ( 1 - 1 )x4+o(x4) 2 lim 2cosx- e =lim 24 8 =1 x→0 x [x+ln(1- x)] x→0 6 - 1 x4+o(x4) 2 注: (1)此题不宜使用洛必达法则。 (2)使用泰勒公式展开时,需通过观察展开到合适的阶数。 二、 泰勒公式在证明中的应用 1. 证明不等式 例 3 求证:若坌x∈(a,b) 有 f''(x)≥0,则对任意 n 个数 x1,x2,…,xn∈(a,b)
其中常数 λ1,λ2,…,λn∈(0,1)且Σλi=1。
i=1
2. 关于界的估计 例 4 设 f(x)在[0,1]上二阶可导， 且 f(x) ≤1, f''(x) ≤2 求证： 当 0<x<1 时 f'(x) ≤3
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1 3 1 3
苏久亮
极值
ξ ξ ξ ξ的简单的近似公式。
1- x 1+x
1 3 1 3
1 3
1 3
解:
1+x 1- x 2x 2x = 1+ - 1ξ 1- x ξ ξ 1+x ξ ξ 1- x ξ ξ 1+x ξ ≈[1+ 2x ]- [1- 2x ]= 4x 2 3(1- x) 3(1- x) 3(1- x ) ≈ 4泰勒公式， 有 f(0)=f(x)+f'(x)(0- x)+ f''(ξ1) (0- x)2 其中 0<ξ1<x 2 f''( f(1)=f(x)+f'(x)(1- x)+ ξ2) (1- x)2 其中 x<ξ2<1 2 两式相减得 f(1)- f(0)=f'(x)+ 1 [(1- x)2f''(ξ2)- x2f''(ξ1)] 2 从而 f'(x) ≤ f(0) + f(1) + 1 [(1- x)2 f''(ξ2) - x2 f''(ξ1) ] 2 ≤2+[(1- x)2+x2]≤3 得证。 一般地,可证得: 若 f(x)在[0,1]上二阶可导， 且 f(x) ≤a, f''(x) ≤b 则当 0<x<1 时, f'(x) ≤2a+ b 2 3. 证明中值公式 例 5 设 f(x)在[a,b]上三阶可导 求证： 埚ξ∈(a,b)使得 f(b)=f(a)+f'( a+b )(b- a)+ 1 f'''(ξ)(b- a)3 2 24 证: 设 k 为使下式成立的实数: f(b)- f(a)- f'( a+b )(b- a)- 1 k(b- a)3=0 24 2 下面只需证:埚ξ∈(a,b)使得 k=f'''(ξ)。 令 g(x)=f(x)- f(a)- f'( a+x )(x- a)- 1 k(x- a)3 则 g(a)=0=g(b) 24 2 根据罗尔定理,埚c∈(a,b)使得 g'(c)=0 即 f'(c)=f'( a+c )+ (c- a) f''( a+c )+ k (c- a)2 2 2 2 8 注意到 f'(c)在 a+c 处的泰勒公式: 2 2 f'(c)=f'( a+c )+ (c- a) f''( a+c )+ f'''(ξ) (c- a) 其中 a+c <ξ<c 2 2 2 2 4 2 由上面两式得证。 4. 判断函数的极值点 例 6 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导,且 f(i)(x0)=0 (i=1,2,…,n- 1), f(n)(x0)≠0 求证： (1)当 n 为偶数时, x0 是极值点。且当 f(n)(x0)>0 时, x0 是极小值 点； 当 f(n)(x0)<0 时,x0 是极大值点。 (2)当 n 为奇数时, x0 不是极值点。 证: 在 x0 的邻域内， 由泰勒公式与已知条件， 有 (n) (x f n n 0) (x- x0) +o[(x- x0) ] f(x)=f(x0)+ n! (n) f f(x)f(x ) )n] 0 即 = (x0) + o[(x- x0n (x- x0)n n! (x- x0) f(x)- f(x0) 与 f(n)(x )同号， 则当 x- x0 充分小时， 从而得证。 0 (x- x0)n 注： 此例实际上是下面判定极值的第二充分条件的推广。 定理 （判定极值的第二充分条件 ） 设 f(x)在 x0 处二阶可导且 f'(x0)=0,f''(x0)≠0 则 (1)当 f''(x0)>0 时, f(x)在 x0 处取得极小值； (2)当 f''(x0)<0 时,f(x)在 x0 处取得极大值。 三、 结束语 本文介绍了泰勒公式在计算及证明中的一些应用。在解决实际问 题的过程中,还要做到举一反三,灵活应用,这对于解题能力的提高大有 裨益。 参考文献 ［1］ 同济大学数学系.高等数学(第六版［ ) M］ .北京:高等教育出版社, 2007. ［2］ 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第五版［ ) M］ .北京:高等教育出 版社,2008. ［3］ 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法 ［M］ .北京:高等教育出版 社,2006. ［4］ 施光燕.高等数学讲稿 ［M］ .大连:大连理工大学出版社,2008.
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高校理科研究
泰勒公式在计算及证明中的应用
浙江树人大学基础部
［摘 要］ 本文结合实例,介绍了泰勒公式在计算及证明中的应用。 ［关键词］ 泰勒公式 近似计算 极限 不等式 界的估计 中值公式 在大学 《高等数学》 课程中， 泰勒公式这一节学生普遍感到内容较 难、 不易掌握。高等数学教材中对泰勒公式应用涉及的较少且零散 ,本 文结合一些能给学生留下深刻印象的典型实例,介绍泰勒公式在计算及 证明中的应用。 首先回顾基础知识: 若 f(x)在包含 x0 的区间(a,b)上 n+1 阶可导,则对 x∈(a,b),有 (n) (n+1) f(x)=f(x0)+ f'(x0) (x- x0)+ f''(x0) (x- x0)2+…+ f (x0) (x- x0)n+ f (ξ) (x- x0)n+1 1! 2! n! (n+1)! 其中 ξ 是介于 x0,x 之间的某个值。上式称为 f(x)按(x- x0)的幂展开的 带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式。 若 f(x)在 x0 处 n 阶可导,则在 x0 的邻域内有 (n) f(x)=f(x0)+ f'(x0) (x- x0)+ f''(x0) (x- x0)2+…+ f (x0) (x- x0)n+o[(x- x0)n] 1! 2! n! 上式称为 f(x)按 x- x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公 式。 一、 泰勒公式在计算中的应用 1. 近似计算 1+x 例 1 当 x 很小时,推出 1- x
2
有 f( x1,x2,…,xn )≤ f(x1)+f(x2)+…+f(xn) n n 证: 令 x0= x1,x2,…,xn , 显然 x0∈(a,b) n 将 f(x)在 x0 处展成一阶泰勒公式,并将 x1,x2,…,xn 分别代入, 有 f(xi)=f(x0)+f'(x0)(xi- x0)+ f''(ξi) (xi- x0)2 其中 ξi 介于 x0,xi 之间 2 ≥f(x0)+f'(x0)(xi- x0) 从而有 1 Σf(xi)≥f(x0)+ 1 Σf'(x0)(xi- x0)=f(x0)得证。 n i=1 n i=1 一般地,可证得: 坌x∈(a,b) 有 f''(x)≥0,则对任意 n 个数 x1,x2,…,xn∈(a,b) 有 f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)