高中数学选修2-3课时作业1：2.2.2 事件的相互独立性

2.2.2 事件的相互独立性
一、基础过关
1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2是( )
A ．相互独立事件
B ．不相互独立事件
C ．互斥事件
D ．对立事件
[答案] A
[解析] 由题意可得A 2表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2是相互独立事件．
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )
A.512
B.12
C.712
D.34
[答案] C
[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16
，
∴P (A )＝12，P (B )＝56. 又A 、B 为相互独立事件， ∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512
. ∴A ，B 中至少有一件发生的概率为
1－P (A B )＝1－512＝712
. 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数
为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )
A.116
B.18
C.316
D.14
[答案] C
[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下：
x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.
∴所求事件的概率
P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)
＝14×14＋14×14＋14×14＝316
. 4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16
，其他几项标准合格的概率为15
，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
A.49
B.190
C.45
D.59 [答案] B
[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190
. 5．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23
，则P (A B )＝________；P (A B )＝________.
[答案] 16 16
[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23
， ∴P (A )＝12，P (B )＝13
. ∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16
， P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16
. 6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625
，则该队员每次罚球的命中率为________．
[答案] 35
[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ，
则1－p 2＝1625，∴p ＝35
. 7．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率？
解 记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，
(1)2人都射中的概率为：
P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72，
∴2人都射中目标的概率是0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A ·B 发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件A ·B 发生)．
根据题意，事件A ·B 与A ·B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.
∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.
(3)方法一 2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P ＝P (A ·B )＋[P (A ·B )＋P (A ·B )]＝0.72＋0.26＝0.98.
方法二 “2人至少有一人击中”与“2人都未击中”为对立事件，
2个都未击中目标的概率是P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－0.02＝0.98.
(4)方法一 “至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
方法二 “至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－0.72＝0.28.
二、能力提升
8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19
，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )
A.29
B.118
C.13
D.23 [答案] D
[解析] 由题意，P (A )·P (B )＝19
， P (A )·P (B )＝P (A )·P (B )．
设P (A )＝x ，P (B )＝y ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )(1－y )＝19，(1－x )y ＝x (1－y ).即⎩⎪⎨⎪⎧
1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ，
∴x 2－2x ＋1＝19
，
∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23. 9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( ) A.18
B.38
C.14
D.78
[答案] B
[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，
则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，
ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以
P (E )＝P (ABC )∪P (AB C )∪P (A B C )
＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )
＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )
＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38
. 10．在一条马路上的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．
[答案] 35192 [解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712
； P (C )＝4560＝34
； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )
＝512×712×34＝35192
. 11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率
均为45，每位男同学通过测验的概率均为35
，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．
解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A 为选出的3位同学中没
有男同学的事件，而P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56
. (2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，
所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．
而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35
， 所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125
. 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为A 1A 2A 3，
于是所求概率为P (A 1A 2A 3)＝910×89×18＝110
； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3，
于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)
＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)
＝110＋910×19＋910×89×18＝310
. 三、探究与拓展
13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13
，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．
解 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，
由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13
. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)
＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16
. (2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)
＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)
＝16＋56×15＋56×45×⎝⎛⎭
⎫1－34 ＝12
. (3)X 的可能取值为1,2,3,4.
P (X ＝1)＝P (A 1)＝16
， P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×⎝
⎛⎭⎫1－45＝16， P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16
， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12
， 所以，X 的分布列为。