2018-2019学年高中人教版数学A版必修1：第12课时函数的最大(小)值 含解析

3 3 3 在区间[0,5]上单调递减，所以当 x＝0 时，ymax＝ ，当 x＝5 时，ymin＝ .故选 C. 2 7 x＋2 x2＋6，x∈[1，2] 3．函数 f(x)＝ ，则 f(x)的最大值和最小值分别为( ) x＋7，x∈[－1，1 A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 答案：A x2＋6，x∈[1，2] 解析： 作出分段函数 f(x)＝ 的图象(图略)， 由图象可知 f(x)max＝f(2)＝22＋6＝10， f(x)min x＋7，x∈[－1，1 ＝f(－1)＝－1＋7＝6.故选 A. 4．若函数 y＝ax＋1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是( ) A． 2 B．－2 C．2 或－2 D．0 答案：C 解析：依题意，当 a>0 时，2a＋1－(a＋1)＝2，即 a＝2；当 a<0 时，a＋1－(2a＋1)＝2，即 a＝－2.故选 C. 5．已知关于 x 的不等式 x2－x＋a－1≥0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) 5 5 －∞， －∞， A. 4 B. 4 5 5 ，＋∞ ，＋∞ C. 4 D. 4 答案：D 解析：记 f(x)＝x2－x＋a－1，则原问题等价于二次函数 f(x)＝x2－x＋a－1 的最小值大于或等于 0.而 f(x)＝ 1 x－ 2 5 1 5 5 5 2 ＋a－ ，当 x＝ 时，f(x)min＝a－ ，所以 a－ ≥0，求得 a≥ .故选 D. 4 2 4 4 4 6．定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)，且当 x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，则当 x∈(－1,0]时，f(x)的最小 值为( ) 1 1 A．－ B．－ 8 4 1 C．0 D. 4 答案：A 解析： 设 x∈ (－ 1,0]，则 x＋ 1∈ (0,1]，因为当 x∈(0,1]时，f(x)＝ x2－x，所以 f(x＋1)＝ (x＋1)2－(x＋1)＝x2 1 1 1 1 x＋ 2 1 1 1 ＋x.又 f(x＋1)＝2f(x)，则 f(x)＝ x2＋ x＝ 2 － ，所以当 x＝－ 时，f(x)取得最小值－ .故选 A. 2 2 2 8 2 8 二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分) 7．若函数 y＝x2＋x－2 的定义域为[－1,2]，则值域为________． 9 － ，4 答案： 4 1 9 x＋ 2 9 － ，4 9 解析：∵y＝x2＋x－2＝ . 2 － ，∴－ ≤y≤22＋2－2，即 y∈ 4 4 4 8．函数 y＝ －x2＋x＋2的最大值为________，最小值为________． 3 答案： 0 2 1 x－ 2 9 1 9 3 2 解析：令 u＝－x ＋x＋2，则 u≥0，且 u＝－ 2 ＋ .所以当 x＝ 时，umax＝ ，即 ymax＝ .又因为 u≥0， 4 2 4 2 所以 ymin＝0. 9．已知函数 f(x)＝kx2＋2kx＋1 在 x∈[－3,2]上的最大值为 4，则实数 k 的值等于________． 3 答案：－3 或 8 解析：因为 f(x)＝kx2＋2kx＋1 的顶点横坐标为 x0＝－1(k≠0)，－1∈[－3,2]．当 k＞0 时，[f(x)]max＝f(2)＝4k 3 ＋4k＋1＝4，解得 k＝ ；当 k＜0，时，[f(x)]max＝f(－1)＝k－2k＋1＝4，解得 k＝－3；当 k＝0 时，f(x)＝1，无 8 最值． 解析：因为函数 y＝
第 12 课时
函数的最大(小)值
课时目标 1.理解函数最大(小)值的概念． 2．能利用函数的单调性求最值． 3．会求二次函数在闭区间上的最值． 识记强化 1．函数的最大值． 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值， 记作 f(x)max＝M. 2．函数的最小值． 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足： ①对任意 x∈I；都有 f(x)≥N； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝N， 就称 N 是函数 y＝f(x)的最小值， 记作 f(x)min＝N. 课时作业 (时间：45 分钟，满分：90 分) 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．定义在[－2,2]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的最大值和最小值分别是(
)
A．f(2)，0 B．2，f(－1) C．2，－1 D．2，－2 答案：C 解析：函数 y＝f(x)图象的最高点的纵坐标 2 为其最大值，最低点的纵坐标－1 为其最小值． 3 2．函数 y＝ (x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( ) x＋ 2 3 A. ，0 7 3 B. ，0 2 3 3 C. ， 2 7 1 D．最小值为－ ，无最大值 4 答案：C
3－2a，a≥1 x2＋2x＋a 11．(13 分)已知函数 f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)． x 1 (1)当 a＝ 时，求函数 f(x)的最小值； 2 (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围． 1 x2＋2x＋ 1 2＝x＋ 1 ＋2. 解：(1)当 a＝ 时，f(x)＝ 2 2x x 1 1－ 任取 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)· 2x1x2 <0， 所以 f(x1)<f(x2)，即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增． 1 7 所以函数 f(x)在[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝1＋ ＋2＝ . 2 2 x2＋2x＋a (2)依题意 f(x)＝ >0 在[1，＋∞)上恒成立，即 x2＋2x＋a>0 在[1，＋∞)上恒成立． x 记 y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，由 y＝(x＋1)2＋a－1 在[1，＋∞)上单调递增知，当 x＝1 时，y 取得最小 值 3＋a. 所以当 3＋a>0，即 a>－3 时，f(x)>0 恒成立． 于是实数 a 的取值范围为(－3，＋∞)． 能力提升 12．(5 分)对于每一个实数 x，设 f(x)是 y＝4x＋1，y＝－2x＋4 和 y＝x＋2 三个函数中的最小值，则 f(x)的最 大值是( ) 8 A. B．3 3 2 1 C. D. 3 2 答案：A 解析：作出函数 f(本大题共 4 小题，共 45 分) 10．(12 分)已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数 f(x)的最小值． 解：f(x)＝(x－a)2＋2－a2 的图象开口向上，且对称轴为直线 x＝a.
2a.
当 a≥1 时，函数 f(x)的大致图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为 f(1)＝3－2a； 当－1<a<1 时，函数 f(x)的大致图象如图(2)所示，函数 f(x)在区间[－1,1]上先减后增，最小值为 f(a)＝2－a2； 当 a≤－1 时，函数 f(x)的大致图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为 f(－1)＝3＋ 3＋2a，a≤－1 于是 f(x)min＝ 2－a2，－1<a<1.