2019-2020年高三补充试题 数学文 含答案

2019-2020年高三补充试题 数学文 含答案
1.已知集合 P = {x ∈N | 1≤x ≤10}，集合Q = {x ∈R | x 2+x －6=0}，则P ∩Q 等于( A ) A ． {2} B ．{1， 2} C ．{2，3} D ．{1，2，3}
2.已知α为第三象限的角，则
2
α
所在的象限是( D ) A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C.第一或第三象限 D 第二或第四象限
3．函数)5(51
-≠+=
x x y 的反函数是（ A ） A ．)0(51≠-=x x y B.5()y x x =+∈R C.)0(51
≠+=x x
y D ．5()y x x =-∈R
4.已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于( D ) A.2 B.1 C.0 D.1-
5.下列大小关系正确的是（ C ）
A.20.440.43log 0.3<<
B.20.440.4log 0.33<<
C.20.44log 0.30.43<<
D.0.424log 0.330.4<<
6.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF =2，则该多面体的体积为（ A ） A ．
3
2 B.
3
3
C ．34
D.
2
3
7.若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b b
y x 上变化，则y x 22
+的最大值为（ A ）
A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b
B ．⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442
b b b b C ．442+b D ．b 2 8.若函数f (x )=
1
21
x
+,则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A ) A.单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
9.设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）
A.
2
B .1
2
C.2-
1 10.函数f x x ax ()=--2
23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ） A. a ∈-∞(,]1 B. a ∈+∞[,)2 C. a ∈[,]12 D. a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 11．在R 上定义运算:(1),x y x y ⊗⊗=-若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（C ）
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2321<<-
a D ．2
123<<-a 12.已知x 和y 是正整数，且满足约束条件10,2,27.x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
则z ＝2x ＋3y 的最小值是（ B ）
A.24
B.14
C.13
D.11.5 二、填空题：
13. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为12
-
14．在△ABC 中，∠A=90°，k k 则),3,2(),1,(==的值是2
3-. 15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，
∠APB =60°，则动点P 的轨迹方程为 x 2+y 2=4 .
16.如图，正四面体ABCD 的棱长为1，平面α过棱AB ，且CD ∥α，则正四面体上的所有
点在平面α内的射影构成的图形面积是12
.
三、解答题：
17.若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列. (Ⅰ)求数列124,,S S S 的公比; (Ⅱ)若24S =，求{}n a 的通项公式.
解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ,由题意，得 2214S S S =⋅ ， 所以2111(2)(46)a d a a d +=+，因为0d ≠，所以 12d a = ,故公比2
1
4S q S ==, （Ⅱ）因为2121114,2,224,S d a S a a a ===+= 所以11,2a d ==,因此21(1)2 1.a a n d n =+-=-
18.ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，
且3cos 4
B =
. （Ⅰ）求cot cot A C +的值；
（Ⅱ）设3
2
BA BC ⋅= ，求a c +的值.
解：（Ⅰ）由3cos 4B =得sin B ==
由2
b a
c =及正弦定理得2
sin sin sin B A C = 于是11cot cot tan tan A C A C +=
+cos cos sin sin A C A C =+ cos sin cos sin sin sin A C C A
A C
+= ()
2sin sin A C B
+=2sin sin B B = 1sin B = =（Ⅱ）由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4
B =可得2ca =，即2
2b =
由余弦定理 2
2
2
2cos b a c ac B =+-⋅得2
2
2
2cos 5a c b ac B +=+⋅=
()
2
222549a c a c ac +=++=+=
∴ 3a c +=
19．某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：
X
06 7 8 9 10 P
0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (I)求该运动员两次都命中7环的概率; (II)求ξ的分布列;
(III) 求ξ的数学期望E ξ.
解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、10.
04.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP
39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP
36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP
ξ分布列为
(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 20. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2,CA CB CD BD AB AD ======
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

方法一：
（I ）证明：连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥
在AOC ∆
中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =
222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O =
AO ∴⊥平面BCD
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
在OME ∆中，
111,222
EM AB OE DC =
=== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，1
1,2
OM AC ∴=
=
cos 4OEM ∴∠=
∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为arccos 4
（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h
11
, (33)
E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=
在ACD ∆
中，2,CA CD AD ===
12ACD S ∆∴==
而211,22CDE AO S ∆===
1.CDE
ACD
AO S h S ∆∆∴=
=
=∴点E 到平面ACD
的距离为7
方法二：
（I ）同方法一.
A
B
M
D
E
O
C
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),
B D-
1
(0,0,1),((1,0,1),(1,
2
C A E BA CD
=-=-
.
cos,
4
BACD
BA CD
BA CD
∴<>==
∴异面直线AB与CD所成角
的大小为arccos
4
（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),
x y z
=
n则
(,,).(1,0,1)0,
.(,,1)0,
AD x y z
AC x y z
⎧=--=
⎪
⎨
=-=
⎪⎩
n
n
0,
0.
x z
z
+=
⎧⎪
∴
-=
令1,
y=
得(
=
n是平面ACD的一个法向量。

又
1
(
2
EC=-
∴点E到平面ACD的距离
.
7
EC
h===
n
n
21．若函数1
)1
(
2
1
3
1
)
(2
3+
-
+
-
=x
a
ax
x
x
f在区间（1，4）内为减函数，在区间
（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.
解：函数)
(x
f的导数.1
)
(2-
+
-
=
'a
ax
x
x
f令0
)
(=
'x
f，解得
)
,1
(
,
)1
,1(
,
)1,
(
)
(
,
2
1
1
,
)
,1(
)
(
,
2
1
1
.1
1
+∞
-
-
-∞
>
>
-
+∞
≤
≤
-
-
=
=
a
a
x
f
a
a
x
f
a
a
a
x
x
在
内为减函数
在
上为增函数
在
函数
时
即
当
不合题意
上是增函数
在
函数
时
即
当
或
为增函数.
依题意应有当.0
)
(
,
)
,6(
,0
)
(
,
)4,1(>
'
+∞
∈
<
'
∈x
f
x
x
f
x时
当
时
所以.6
1
4≤
-
≤a解得.7
5≤
≤a
所以a的取值范围是[5，7].
22.设双曲线C：1
:
)0
(1
2
2
2
=
+
>
=
-y
x
l
a
y
a
x
与直线相交于两个不同的点A、B.
y
（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.12
5
=
求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-.1,
12
22y x y a
x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得
（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①
2
422
10.48(1)0.
a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩所以
0 1.a a <<≠解得双曲线的离心率
).,2()2,2
6
(
2
26
,120.1112
2
+∞≠>∴≠<<+=
+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a
a e
（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A
.
12
5
).1,(125
)1,(,12
5212211x x y x y x =-=-∴=
由此得
由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，
2
22
2
222
222
172.
12152.
1212289
,,60117
0,13a x a a x a a x a a a =--=---=->=
所以消去得由所以.。