北师大版高中数学必修四同角三角函数的基本关系式与诱导公式同步练习(精品试题)

同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．[2011·衡水质检] cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－20π3＝( )
A.12
B.3
2 C ．－12 D ．－32
2．已知△ABC 中，1tanA ＝－125
，则cosA 等于( )
A.1213
B.513 C ．－513 D ．－1213
3．[2011·山西四校联考] 已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos α
sin α
的值为( )
A ．－1
B ．－2 C.1
2
D ．2 4．[2011·烟台调研] 若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
－π2，0，
则tan α＝________.
能力提升
5．已知A 是△ABC 的内角，则“cosA ＝12”是“sinA ＝3
2”
的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6．已知cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π3＋α＝－13，则
sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫α－π6的值为(
)
A.13 B ．－1
3 C.233 D ．－233
7．已知f(α)＝sin
π－αcos 2π－α
cos －π－αtan α
，则
f ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－31π3的值为( )
A.12 B ．－1
3 C ．－12 D.13
8．[2011·全国卷]
已知α∈⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.
9．[2011·焦作联考] 已知cos α＝－5
13，且α是第二
象限的角，则tan(2π－α)＝________.
10．已知函数
f(x)＝⎩⎨⎧
2cos π3x
x ≤2000，
x －100
x>2000，
则
f[f(2012)]＝________.
11．若tan α＝2，则11－sin α＋1
1＋sin α＝________.
12．(13分)已知sin α＝25
5
，求tan(α＋π)＋
sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αcos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫5π2－α的值．
难点突破
13．(12分)已知函数f(n)＝sin nπ
6
(n∈Z)．求值：
(1)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)；
(2)f(1)·f(3)·f(5)·…·f(101)．
课时作业(十七)
【基础热身】
1．C [解析]
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－20π3＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选
C.
2．D [解析] 由1tanA ＝－125，得tanA ＝－512<0，则A 为
钝角，
由sin 2
A ＋cos 2
A ＝1，sinA ＝cosAtanA ，得 cos 2
A ＝1
1＋tan 2A
＝
1
1＋⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫－5122＝144169， 因为A 为钝角，则cosA ＝－12
13
，故选D.
3．D [解析] 由sin α＋cos α＝2，得1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，
∴tan α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2
αsin αcos α＝1
sin αcos α＝2，故选
D.
4．－33 [解析] 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－1
2
，
∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－π2，0，
∴cos α＝1－sin 2
α＝32，tan α＝sin αcos α＝－3
3
.
或由sin α＝－12，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
－π2，0，得α＝－π6，tan α＝
－tan π6＝－3
3
.
【能力提升】
5．A [解析] ∵A 是△ABC 的内角，cosA ＝12，
∴0<A<π2，sinA ＝1－cos 2
A ＝32
，
若sinA ＝32，则cosA ＝±1－sin 2
A ＝±12
，故选A.
6．A [解析] ∵π3＋α＝π2＋⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫α－π6，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫α－π6＝－
13，∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫α－π6＝13，故选A.
7．C [解析] ∵f(α)＝sin αcos α
－cos αtan α
＝－cos α，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－31π3＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫－31π3 ＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12，故选
C.
8．－5
5
【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代
入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2
α＝15，又α∈⎝
⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2，∴cos
α＝－5
5
.
9.12
5 [解析] 由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2
α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－12
5
，则
tan(2π－α)＝－tan α＝12
5
.
10．－1
[解析] 由f(x)＝⎩⎨⎧
2cos π3x
x ≤2000，
x －100
x>2000
得
f(2012)＝2012－100＝1912，
f(1912)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1912×π3＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫636π＋43π＝2cos 43π＝
－1，故f[f(2012)]＝－1.
11．10 [解析] 原式＝
2
1－sin α
1＋sin α
＝
21－sin 2
α＝2cos 2α＝2
sin 2
α＋cos 2
α
cos 2α
＝2(tan 2
α＋1)＝2×
(4＋1)＝10.
12．[解答] ∵sinα＝25
5
＞0，∴α为第一或第二象限
角．
当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝
5 5
，
tan(α＋π)＋sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
5π
2
＋α
cos
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
5π
2
－α
＝tanα＋
cosα
sinα
＝sinα
cosα
＋
cosα
sinα
＝
1
sinαcosα
＝
5
2
.
当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－
5 5
，
原式＝
1
sinαcosα
＝－
5
2
.
【难点突破】
13．[解答] (1)∵sin n＋12π
6
＝sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
n
6
π＋2π＝sin
n
6
π，∴f(n＋12)＝f(n)，
且f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，
又102＝8×12＋6，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝sin π
6
＋sin
2π
6
＋sin
3π
6
＋sin
4π
6
＋sin
5π
6
＋sin
6π
6
＝
1
2
＋
3
2
＋1＋
3
2
＋
1
2
＋0＝2＋ 3.
(2)∵f(2n－1)＝sin
2n－1π
6
，其周期为6，
f(1)·f(3)·…·f(11)＝
1
2
×1×
1
2
×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
－
1
2
×(－1)×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
－
1
2
＝－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫1
2
4. 从1到101有51个奇数，而51＝6×8＋3，
∴原式＝
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫1
2
48·f(1)·f(3)·f(5)＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫1
2
34.。