高中数学 第3章 概率综合能力测试 北师大版必修3

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 概率综合能力测试 北
师大版必修3
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于概率是1‰的事件，下列说法正确的是( ) A ．概率太小，不可能发生 B ．1 000次中一定发生1次
C ．1 000人中，999人说不发生，1人说发生
D ．1 000次中有可能发生1 000次 [答案] D
[解析] 概率是1‰是说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.
2．下列事件中，随机事件是( ) A ．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间 B ．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间 C ．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间 D ．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间 [答案] C
[解析] 选项A 为必然事件，选项B 与D 为不可能事件，只有C 为随机事件． 3．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )
A.30
40 B ．1240 C.
1230
D ．以上都不对
[答案] B
[解析] 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为1240
.
4．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14
B ．13
C.12 D ．23
[答案] C
[解析] 不妨设两间空房为A 、B ，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A ；甲、乙都住B ；甲住A ，乙住B ；甲住B ，乙住A 共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P ＝24＝1
2
.
5．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )
A.34 B ．14 C.12 D ．18
[答案] A
[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝3
4
.
6.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )
A.235 B ．215
C.195
D ．165
[答案] A
[解析] 据题意得
S 阴影S 矩形＝S 阴影2×5＝138300⇒S 阴影＝23
5
. 7．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是8
9
的是( )
A ．颜色全相同
B ．颜色不全相同
C ．颜色全不相同
D ．无红颜色球
[答案] B
[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为1
9.因此，颜色
不全相同的概率为1－19＝8
9
，故选B.
8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形
OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A ．1－2
π
B ．12－1π C.2π
D ．1π
[答案] A
[解析] 本题考查几何概型的计算方法．
设图中阴影面积为S 1，S 2，令OA ＝R ，∴S 2－S 1＝πR 2
4－π·(R 2
)2
＝0，即S 2＝S 1，
由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC ) ＝2[
π·
R
2
2
4
－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 2
8
， ∴P ＝S 1＋S 2S 扇AOB ＝π－2R 2
4πR 2
4
＝1－2
π
， 充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．
9．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A.18 B ．38 C.58 D ．78
[答案] D
[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．
4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24
＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78
.
10．在边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四边的中点，将均匀的粒子撒在正方形中，则粒子落在下列四个图中阴影部分区域的概率依次为P 1，P 2，P 3，
P 4，则关于它们的大小比较正确的是( )
A ．P 1<P 2＝P 3<P 4
B ．P 4<P 2＝P 3<P 1
C ．P 1＝P 4<P 2<P 3
D ．P 1＝P 4<P 3<P 2
[答案] D
[解析] 正方形ABCD 的面积为2×2＝4，对于图1，阴影部分区域的面积为4－4×1
2，
所以概率为P 1＝24；对于图2，阴影部分区域的面积为π，所以概率为P 2＝π
4；对于图3，
阴影部分区域的面积为4－2×12＝3，所以概率为P 3＝34；对于图4，阴影部分区域的面积为
1
2×2×2＝2，所以概率为P 4＝2
4
，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．
[答案] 0.32
[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为32
100
＝0.32.
12．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 3
4
[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇
数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝3
4
.
13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1
4，则去打篮球；否则，在家
看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
[答案]
1316
[解析] 本题主要考查几何概型． ∵去看电影的概率P 1＝π×12
－π×
12
2
π×12
＝34
； ∴去打篮球的概率P 2＝π×
142
π×12
＝1
16. 小波不在家看书的概率P ＝34＋116＝13
16
.
14．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是__________________．
[答案] 12
[解析] 从4件产品中不放回的任取两件，共有基本事件总数为4×3÷2＝6.取出的两件中恰有一件次品，则另一件为正品包括1×3＝3(种)可能结果，故恰有一件次品的概率为36＝12
. 15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧
DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．
[答案] 1
3
[解析] 连接AC ，则tan ∠CAB ＝13
，∠CAB ＝π
6，由几何概型的计算公式得P ＝π6π2＝13.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：
(1)两次全是红球的概率； (2)两次颜色相同的概率； (3)两次颜色不同的概率．
[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：
(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)． (1)两次全是红球的概率是P 1＝14
.
(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P 2＝14＋14＝1
2
.
(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P 3
＝1－12＝12
.
点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事
17．(本小题满分12分)现从A ，B ，C ，D ，E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：
(1)A 被选中的概率； (2)A 和B 同时被选中的概率； (3)A 或B 被选中的概率．
[解析] 基本事件有“ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，CDE ，BCD ，BCE ，BDE ，ADE ”共10个．
(1)事件A 被选中包含6个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE . ∴P 1＝6
10
＝0.6.
(2)事件A 和B 同时被选中包含3个基本事件， 即ABC ，ABD ，ABE ， ∴P 2＝3
10
＝0.3.
(3)A 、B 都不被选中只有事件CDE 一种，所以事件A 或B 被选中包含9个基本事件， ∴P 3＝9
10
＝0.90.
18．(本小题满分12分)(2014·陕西文，19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
[分析] (1)当赔付金额为3000,4000元时大于投保金额，利用互斥事件求和． (2)分别求出样本车主中为新司机人数及赔付金额为4000的车辆车主人数，问题易解． [解析] (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”以频率估计概率得
P (A )＝
1501000＝0.15，P (B )＝120
1000
＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24
100＝0.24.
由频率估计概率得P (C )＝0.24.
19．(本小题满分12分)将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是多少？
[解析] 用列举法列举所有可能的情况，如下图所示：
由此可知，所有可能的情况有n ＝16种．其中出现两正两反的情况有①②③④⑤⑥共6种，因此出现两正两反的概率是P ＝616＝3
8
.
20．(本小题满分13分)已知关于x 的一元二次方程x 2
－2(a －2)x －b 2
＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．
[解析] (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2
>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2
＋b 2≥16，
设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19
.
(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *
}，其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14
×π×42
＝4π.
故所求的概率为P (B )＝4π16＝π
4
.
21．(本小题满分14分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s至18s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)若成绩大于或等于14 s且小于16 s认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|>1”的概率．
[解析](1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，
所以该班成绩良好的人数为27.
(2)设事件M：“|m－n|>1”
由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3，
设这3人分别为x，y，z；
成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4，
设这4人分别为A，B，C，D.
若m，n∈[13,14)时，则有xy，xz，yz共3种情况；
若m，n∈[17,18]时，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m－n|>1.
共有12种情况．
11 所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，
则事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种.
所以P (M )＝1221＝47
.。