2008-2009学年江西南昌二中高三年级第四次阶段性考试理

2008-2009学年度江西省南昌二中高三年级第四次阶段性考试
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．函数cos ,[,]62
y x x ππ
=∈-
的值域是 （ ）
A ．[1,1]-
B ．[0,1]
C
．[0,
2 D ．1
[,1]2
- 2．在△ABC 中，||3BC =，||4AB =，||5AC =，则CA AB ⋅=
（ ）
A ．16
B ．9
C ．—16
D ．—9
3．已知两条异面直线a 、b 所成的角为40，直线l 与a 、b 所成的角都等于θ，则θ的取
值范围为
（ ）
A ．[20,90]
B ．[20,90)
C ．(20,40]
D ．[70,90]
4．设a ，b 是非零向量，若函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图象是一条直线，则必有（ ）
A ．a ⊥b
B ．a //b
C ．||a ||b =
D ．||a ||b ≠
5．已知∆ABC 平面上动点P ，满足2
2
2AP BC AC AB ⋅=-，则P 点的轨迹过∆ABC 的（ ）
A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
6．已知数列{}n a 满足121,2a a ==，
121
1
,()n n n n n n a a a a n N a a ++++++-=∈，则13a 等于（ ） A ．26 B ．24 C ．12
212!⨯
D ．13
213!⨯
7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦
值为
（ ）
A ．
2
B ．
5
C ．
4
D ．
3
8．若二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为4和则二面角l αβ--的大小为 （ ）
A ．45或30
B ．30或60
C ．15或75
D ．15或60
9．在下列命题中，正确命题的个数是 （ ）
①过平面的一条垂线有且只有一个平面与已知平面垂直； ②过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直； ③分别过两条互相垂直直线的两个平面必垂直；
④三条共点的直线两两垂直，所得的三个平面也必两两垂直。

A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．已知四面体ABCD ，对于任意t R ∈，都有||||AC CB tBD AD ++≥，则下列结论正确
的是
（ ）
A ．AD ⊥BD
B ．AB ⊥CD
C ．AC ⊥BD
D ．BC ⊥CD
11．n 是正数，若对于任意大于2008的实数x ，总有2
220092008
x
n x n x +
>-成立，则n
的取值范围为
（ ）
A ．n >
B ．0n <<
C ．0n <<
D ．n >
12．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为/
()f x ，/
(0)0f >，对任意实数x ，都有
()0f x ≥，则
/
(1)
(0)
f f 的最小值为 （ ）
A ．3
B ．
5
2
C ．2
D ．
32
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．把函数sin(2)4
y x π
=+
的图象向右平移
8
π
个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
（纵坐标不变），则所得图象的解析式为 。

14．在等差数列｛n a ｝中，若1m a n =，1
n a m
=，则该数列前mn 项之和等于 。

15．方程2009
2009(2008)
22008x x x +++=-的解集为 。

16．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为A 1B 1的中点，则下列五个命题：
①点E 到平面ABC 1D 1的距离为
12
； ②直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于45； ③空间四边形ABCD 1在正方体六个面内的射影形成的图 形中，面积最小值为
12
；
④BE 与CD 1所成的角为arcsin 10
； ⑤二面角A —BD 1—C 的大小为
56
π。

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知||5AC =，||8AB =，5
11
AD DB =，0.CD AB ⋅= （1）求||AB AC -；
（2）设BAC θ∠=，且已知4cos()5x θ+=
，4
x π
π-<<-，求sin .x
18．（本小题满分12分）三角形ABC 的两条高所在的直线方程为2310x y -+=和
0x y +=，且A (1,2)是其一个顶点。

（1）求BC 边所在的直线方程； （2）求△ABC 三内角的正切值。

19．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()g x x = （1）若1x >，求证：1
()2()1
x f x g x ->+ （2）是否存在实数k ，使方程
221
()(1)2
g x f x k -+=有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由。

20．（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
且PD=AB=2，E 是PB 的中点，F 是AD 的中点。

（1）求证：EF ⊥平面PBC ；
（2）求异面直线PD 与AE 所成的角的大小； （3）求二面角F —PC —B 的大小。

21．（本小题满分12分）函数3
2()1,(0)3
a f x x ax x a =
-++>在1x x =及2x x =处有极值，且2
1
1 5.x x <
≤ （1）求实数a 的取值范围； （2）当95a =
时，存在t R ∈，使得[1,]x m ∈时，/
364()55
f t x x -≤-恒成立，求实数m 的最大值。

22．（本小题满分14分）已知数列｛n a ｝满足112
a =，11210n n n a a a ++-+=，*
n N ∈． （1）求证：数列｛
1
1
n a -｝是等差数列； （2
）求证：
1
1(11).n
i i i a a =+-
<∑。