上海浦东区2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

浦东新区2012学年度第二学期期末质量抽测
高一数学试卷答案及评分细则
一、填空题（本大题共12道题目，满分36分.只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）
注：答案等价表示均对
1．若函数的反函数为，则.【答案】()
21f x x 1()f x 1(2)f 322．若对数函数图像过点，则其解析式是____ .【答案】()y f x (4,2)2()
log f x x 3．若角满足，则角在第________象限. 【答案】二或四sin cos
04．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S= .【答案】2
325
3
5．若，，则= ．【答案】,23
sin 5sin 224
25
6. 化简：.【答案】1 cos(2)cot()tan()
______sin()cot(3)
πθπθθππθπθ7. 函数在区间上的最小值是______．【答案】22log 611y x x 1,22log 3
8．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于
，则这个三角形底角等于_____________（用反三角函7
25数值表示）.【答案】3
arcsin 5
9．方程的解是_________.【答案】，239log log 320x
x 13x 239x 10. 方程的解集是_____.sin cos2x
x 【答案】(1)2,Z 62n x
x n x n n 或11．函数
3cos 6sin 2)(2x x x f 的最大值为______.【答案】912．若sin(2)cos(2)y x x 为奇函数，则最小正数的值为 .【答案】3
4
二、选择题（本大题共4道题目，每题3分，满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.
13．“”是“”成立的（ A ）
24x k k Z tan 1x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分条件
D.既不充分也不必要条件
14. 下列命题：
①第一象限的角是锐角. ②正切函数在定义域内是增函数.
③.
3
arcsin 32正确的个数是（ A ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
15. 在△ABC 中，角、均为锐角，且,sin cos B A 则△ABC 的形状是（ C ）
A B A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C.钝角三角形 D. 等腰三角形
16．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ B ）
,2A. B. C. D. 2cos y x 2sin y x cos 1
3x
y cot y x
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.注：其他解法相应给分
17.（本题满分10分）已知，，且，，求的4
sin 55
cos 13,2,2sin(
)值.
【解答】因为且，所以.…………3分
4
sin 5,223
cos 1sin 5因为且，所以. …………………6分
5
cos 13,2212
sin 1cos 13从而有.……10分
sin()sin cos cos sin 4531251351316
6518.（本题满分10分）如图，在一个半径为的半圆形铁板
r 中有一个内接矩形ABCD ，矩形的边AB 在半圆的直径上，顶点C 、D 在半圆
上，O 为圆心.令，用表示四边形ABCD 的面积S ，并
BOC 求这个
矩形面积S 的最大值.
【解答】
………………………………………………………４分sin ,2cos BC r AB r ∴ ……………………………………………６分22cos
sin sin 2S AB BC r r r 当时，，∴。

…………………………………………10分4sin 2sin 122max
S r 19．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）已知△ABC 的周长为)12(4，且sin sin 2sin B C A ．
（1）求边长a 的值；
（2）若3sin ABC S A 大大大A 大大大
（结果用反三角函数值表示）．【解答】 (1)根据正弦定理，sin sin 2sinA B C
可化为2b c a ．……3分联立方程组4(21)
2a b c
b c a ，解得4a ．
所以，边长
4a ．…………………………………………………………………5分(2)∵，
3sin ABC S A ∴1
sin 3sin 62
bc A A bc 大．…………………………………………………………7分　又由(1)可知，42b
c ，　∴22222()21cos 223b c a b
c bc a A bc bc ．…………………………………9分因此，所求角A 的大小是1
arccos 3．………………………………………………………
10分20. （本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）已知函数
4()log (41)x f x （1）判断的单调性，说明理由.
()f x （2）解方程
.1(2)()f x f x 解（1），所以，所以定义域是。

………………………………1分410x 0x
(0,)在上单调增。

()f x (0,)证法一、：设，则
120x x 121244()
()log (41)log (41)x x f x f x 12441log 41x x 又∵，∴，120x x 12144x x 1204141
x x
∴，即1241
141x x 1
2441
log 0
41x x ∴，在上单调增。

…………………………………………5分12()()f x f x ()f x (0,)证法二：∵在上都是增函数，…………………………………………2分
4log y x (0,)在上是增函数且………………………………4分41x y (0,)410x y ∴在上也是增函数。

………………………………5分
4()log (41)x f x (0,)（2），………………………………………………………………7分
14()log (41)x
f x ，即1(2)()f x f x 204141
x x ，解得（舍去）或，
24420x x 41x 42x ∴………………………………………………………………………………9分
41
log 22x 经检验，是方程的根。

…………………………………………………………10分
1
2x 21. （本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分，）
已知函数.
2
()2cos sin()3sin sin cos 3πf x x x x x x (1)求的最小正周期；
()f x (2)求的最小值及取得最小值时相应的值；
()f x x (3)说明的图像如何由函数的图像变换而来.
()f x 2sin y x 解：2()2cos sin()3sin sin cos 3π
f x x x x x x
22cos sin 3cos 3sin sin cos x x x x x x
……………………………………………3分
sin 23cos22sin(2)3π
x x x （1）由上可知，得最小正周期为；…………………………………………4分
()f x T π（2）当，即时，取最小值为－2；……8分
2232ππx k π512π
x k πk Z 大()f x （3）将函数的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，横
2sin y x 3π
坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像。

…………………………12分
1
2()f x。