提高学生数学素养的有效途径——以习题教学为例
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(3) 通过追问拓展学科知识:一元 三次方程有求根公式吗？
(4) 通过追问获得较高观点：自然 数的个数比偶数的个数多吗？向量为什 么不能比较大小？
对于例题2这个题目,有没有其他思 路可以解答？通过分析解法发现，最后 考察不等式e"-ln(2+*)>0,因此联想到 解法2(数形结合).
解法2：利用数形结合，当a=2时画 出函数/(*)=e*,g(%)=ln(%+2 )的大致图 像和第(1)问的直线y=x+l,容易发现 f(x)=e在点(0/(0))处的切线方程也为 y=x+l.因此，当x e (-2,+oo)时 x+l>g(x),两个等号不能同时成立,于 是得到结论.此解法需要学生的数学抽 象(放缩、特殊化)和直观想象(数形结 合、导数几何意义)等素养.
第(1)问面向全体学生，难度较低， 学生只要具有一般的逻辑推理素养(导 数的概念和几何意义)、数学运算素养 (导数公式和求导法则)即可.
第(2)问的解法(解法1)： 数学建模、数学抽象：第一步，令 h(x')=f(x)-g(x)=e'-］n(a+x) ,x e. (-a, +8).只需证明/i(%)窗>0; 逻辑推理、数据分析:第二步,求导
解法3:如果思考这个问题的背景， 可以借助课后习题中的两个重要不等
式，简洁自然，其背景为函数心)=e"在x=
0处的展开式 e*=l+x+ —+ — + ••• + —+
2! 3!
n!
R”(”)和函数/'(%)=lnx在”=1处的展开式
血=3-1)-…+(-1严・
"% ° +Rn(久)，于是得到e^ln(%+2).又 n
高中阶段的数学学习会为学生未 来的发展打下坚实的基础，在日常教学 过程中，教师要关注基本知识、基本方 法的渗透，抓住共性抽象本质,培养学 生提出问题和解决问题的能九
例如，学习有关“存在和任意”问题 是函数与导数中常见的典型问题，这类 问题不仅体现了数学语言的美,而且对 学生转化与化归、推理论证能力的提升 有很大的帮助，我们可以根据学生的学 习情况和教学目标选择或编制恰当的 题组，不断优化学生用导数解决这类问 题的知识结构.
>教学实践
数学教学通讯
投稿邮箱:sxjk@
提高学生数学素养的有效途径
----以习题教学为例
吴献超 浙江省嘉兴市第一中学314001
[摘要]数学知识可能用得少，但是数学素养时时影响着我们.数学核心素养是数学课程目标的集中体现， 是学生个人终身发展和社会发展必需的关键能力和思维晶质.数学学习是离不开习题的，做题是提 高学生数学素养的一种有效途径.文章通过分析核心素养内涵，利用精选、设计题组以及一题多解、 多题一解等方式,充分发挥习题的作用，提高学生的核心素养.
本题主要考查的核心素养:逻辑推 理、分析问题：
⑴数学建模:构造函数卩(%)=e Jr, 转化为函数最值问题；
(2) 数学运算:利用导数研究函数, 求函数最值，以及分离参变量；
(3) 数据分析:两边夹、最值估计. 学生核心素养的养成不是一蹴而 就的，需要教师在平时的教学活动中不 断渗透，充分利用习题的教学手段，通过 多角度地考察、分析，让学生通过可教的 内容，不断内化，全面发展.
(4) 若对任意的%2三[0,2],存在坷e
[0,2],使得/'(坷)=g(%2)成立,求a的取值 范围；
⑸若对任意的如e [0,2],总存在%2 e [0,2],使得/Gi)《(珀)成立，求a的取值 范围；
⑹若对任意的坷e [0,2]，如e [0,2], 都有/•(”。《(切成立，求a的取值范围；
在完成例题2的基础上，我们应该和 学生一起反思(知识点、思路、做法、技 巧等)，可以采用追问法，不断拓宽视野， 培养学生的数学素养.实际上很多内容 都可以用追问法,并且有很多益处,如：
(1) 通过追问形成正确认识:指数 函数中为什么要规定a>0?频率的极限 是概率吗？
(2) 通过追问获得深层理解：为什 么必能作为除数？为什么赫除后加减?
例题4 :已知函^lf(x)=2ax1-3ax2+l,
g(x)=,其中 <z<0. 42
⑴若存在砖[0,2],使得/'3°)=0, 求a的取值范围；
(2) 若存在附 e [0,2] ,x2e [0,2]使 得/'(%i)=g(”2)成立，求01的取值范围；
(3) 若存在%] e [0,2] ,x2 e [0,2]使 得/'(%i)>g(%2)成立，求a的取值范围；
理素养.
为了更好地提高学生的数据分析
能力，也可以再设计例题2的第(3)问:已
知e 7
4
5
<0,e 5
>0,
当任意xw(-a,+
7
9
8),且/(*) 3=g(*)恒成立时，估算实数a
最大值的近似值(精确到0.1). 从解法角度思考:这个问题可以考
查学生拓展水平的数学建模素养:先把
fM Mg(%)转化为人(臥』［/3)*)］肿
2024年6冃(下旬)< 心素养
高中数学教学难以绕过核心素养 这一重要问题，没有核心素养，教学就 缺了灵魂.核心素养这么重要,如何去 操作落实,是摆在我们一线教师面前的 现实问题.林崇德教授给出了这样的指 导意见:“核心素养具有可教、可学的外 显部分,同时也存在无声、无形但可感、 可知的内隐部分.前者能够在特定的情 境下通过一定的方式表现出来,因此能 够有效地进行定量测评习题教学是数 学核心素养的一种有效途径，但是很多 时候教师和学生都会走入一个误区,搞 题海战术，盲目做题，收效甚微.如何进 行习题教学是广大教师必须面临的问 题.教师精心设计和引导学生完成数学 题目，会更有效地提高学生素养，学会 用数学的眼光看问题，用数学思维思考 问题，用数学的语言表达问题.
求函数最值，以及分离参变量. 题目结束还可以问学生:你学到了
什么？还想继续研究什么？建立和应用 题组的过程就是一个学习的过程,这是 一个在做中思、做中学、做中突破难点 的积极思考的过程.
卩关注三维目标，精心选取和 设计习题，促进学生综合素养形成
习题设计和选编要符合启发式和 循序渐进的要求，不但要注意培养、训练 “知识与技能”，还要注意“方法与过程”, 加强学生对数学情境、过程分析、解题 规律的总结,达到举一反三、融会贯通 的目的，更要注意“情感态度与价值观” 的训练，调动学生的积极性与自主性，让 师生交流反思,拓宽思路，最大限度地 发挥习题的作用.
导数的几何意义以及函数不等式 证明题：
例题2:已知函数/(%)=e*,g(a:) = ln(%+a).
(1) 当a=2时，求曲线y=g(x)在点 (-l,g(-l))处的切线方程；
(2) 当aW2,% e (-a,+®)时，证明：
问题分析:本题的背景是函数/(%)= e*在%=0处和函数f(x)=lnx在x=l处的 泰勒展开式.
卩结束语
高中阶段的数学素养主要包括数 学抽象、宜观想象、逻辑推理、数学运 算、数学建模、数据分析等，这些核心素 养既独立,又相互交融,形成一个有机 的整体.这一时期的数学教学要满足学 生数学学习乃至未来发展的需要.习题 教学是提高学生核心素养的一种非常 有效的手段,教师在日常的教学中要关 注基础知识、三维目标，精选、设计题 组,通过反思和追问，对题目进行一题 多解、多题一解，充分发挥习题的作用， 提高学生的核心素养.
0，然后构造卩(兀)二e"*-%,求实数a最大值 的近似值；培养学生拓展水平的数据分
析素养:分析数据e方4 -兰A <0,eR5 -丄< >0,
7
9
>0,从而利用两边
夹思想估值. 从题目背景角度思考:有关a常数,
£1是超越方程旷=%的唯_实根，BPe_n= £1,上面分析的方法就是这样做的.
从联想的角度思考:C是s(x)=e-的 不动点，联想到2012年和2014年安徽高 考数列压轴题背景,也是不动点的问题.
本题主要考查的核心素养: ⑴数学抽象:将存在、恒成立问题 抽象出来，题组化； (2)数学建模、逻辑推理：构造函 数,转化为函数最值问题,进而转化为
作者简介:吴献超(1983-),硕士研究生，一级教师，主要从事高中数学教学和研究工作. 44 > 2021年6冃(下旬)
删勰5
集合问题； (3)数学运算:利用导数研究函数,
M 3)=齐丄并判断正负号(不易完成)， x+a
不易得到函数/»(%)的单调性； 宜观想象、数学运算:第三步，作出
函Sy=e*, y=ln (x+a)的图像不难发现兰ln(a+%) me"-ln(2+%),转化为证明誉ln(2+x)>0.
本题需要学生有较高水平的数学 素养.
卩利用一题多解和一题多 变，培养学生的思维能力，提高习 题教学的有效性
当aW2,rc e (-a,+8)时，％+2Ma+%>0，结 合y=lnx是增函数,ln(%+2) >ln(a+2)(a= 2时取等号),即e*>ln(a+2).
在习题讲解过程中,三种解法对比， 令人思路开阔，可以引导学生关注基本 知识，多角度分析、联想，启发学生找出 更多思维途径,获得最佳解题方法,使 学生获得较高水平数学运算和数学推
(7) 若对任意给定的%oe [0,2],在 [0,2]上总存在两个不同的如(i=l,2),使 得/'(珂)=g3o)成立，求a的取值范围；
(8) 若对任意给定的如w [0,2],在 [0,2]上总存在两个不同的兔(i=l,2),使 得/■(%])期(如)W/32)成立，求°的取值 范围.
这道题是关于两个比较简单的含参 三次函数和次函数的擁和 问题，解决的方案如下(具体简答过程略):
现在的教学目标内容应该包含“四 基”:基本知识、基本技能、基本思想和基 本经历.实践教学经验告诉我们:习题是 有价值的,它的主要功能在于知识的联 系与区分、丰富与拓展、整合与提升，只 有经历上述过程,学生的数学知识结构 才能完善和内化,才能更好地提高学生 的核心素养.
卩关注基本知识，精建题组, 建构与优化基础知识结构
(4) 通过追问获得较高观点：自然 数的个数比偶数的个数多吗？向量为什 么不能比较大小？
对于例题2这个题目,有没有其他思 路可以解答？通过分析解法发现，最后 考察不等式e"-ln(2+*)>0,因此联想到 解法2(数形结合).
解法2：利用数形结合，当a=2时画 出函数/(*)=e*,g(%)=ln(%+2 )的大致图 像和第(1)问的直线y=x+l,容易发现 f(x)=e在点(0/(0))处的切线方程也为 y=x+l.因此，当x e (-2,+oo)时 x+l>g(x),两个等号不能同时成立,于 是得到结论.此解法需要学生的数学抽 象(放缩、特殊化)和直观想象(数形结 合、导数几何意义)等素养.
第(1)问面向全体学生，难度较低， 学生只要具有一般的逻辑推理素养(导 数的概念和几何意义)、数学运算素养 (导数公式和求导法则)即可.
第(2)问的解法(解法1)： 数学建模、数学抽象：第一步，令 h(x')=f(x)-g(x)=e'-］n(a+x) ,x e. (-a, +8).只需证明/i(%)窗>0; 逻辑推理、数据分析:第二步,求导
解法3:如果思考这个问题的背景， 可以借助课后习题中的两个重要不等
式，简洁自然，其背景为函数心)=e"在x=
0处的展开式 e*=l+x+ —+ — + ••• + —+
2! 3!
n!
R”(”)和函数/'(%)=lnx在”=1处的展开式
血=3-1)-…+(-1严・
"% ° +Rn(久)，于是得到e^ln(%+2).又 n
高中阶段的数学学习会为学生未 来的发展打下坚实的基础，在日常教学 过程中，教师要关注基本知识、基本方 法的渗透，抓住共性抽象本质,培养学 生提出问题和解决问题的能九
例如，学习有关“存在和任意”问题 是函数与导数中常见的典型问题，这类 问题不仅体现了数学语言的美,而且对 学生转化与化归、推理论证能力的提升 有很大的帮助，我们可以根据学生的学 习情况和教学目标选择或编制恰当的 题组，不断优化学生用导数解决这类问 题的知识结构.
>教学实践
数学教学通讯
投稿邮箱:sxjk@
提高学生数学素养的有效途径
----以习题教学为例
吴献超 浙江省嘉兴市第一中学314001
[摘要]数学知识可能用得少，但是数学素养时时影响着我们.数学核心素养是数学课程目标的集中体现， 是学生个人终身发展和社会发展必需的关键能力和思维晶质.数学学习是离不开习题的，做题是提 高学生数学素养的一种有效途径.文章通过分析核心素养内涵，利用精选、设计题组以及一题多解、 多题一解等方式,充分发挥习题的作用，提高学生的核心素养.
本题主要考查的核心素养:逻辑推 理、分析问题：
⑴数学建模:构造函数卩(%)=e Jr, 转化为函数最值问题；
(2) 数学运算:利用导数研究函数, 求函数最值，以及分离参变量；
(3) 数据分析:两边夹、最值估计. 学生核心素养的养成不是一蹴而 就的，需要教师在平时的教学活动中不 断渗透，充分利用习题的教学手段，通过 多角度地考察、分析，让学生通过可教的 内容，不断内化，全面发展.
(4) 若对任意的%2三[0,2],存在坷e
[0,2],使得/'(坷)=g(%2)成立,求a的取值 范围；
⑸若对任意的如e [0,2],总存在%2 e [0,2],使得/Gi)《(珀)成立，求a的取值 范围；
⑹若对任意的坷e [0,2]，如e [0,2], 都有/•(”。《(切成立，求a的取值范围；
在完成例题2的基础上，我们应该和 学生一起反思(知识点、思路、做法、技 巧等)，可以采用追问法，不断拓宽视野， 培养学生的数学素养.实际上很多内容 都可以用追问法,并且有很多益处,如：
(1) 通过追问形成正确认识:指数 函数中为什么要规定a>0?频率的极限 是概率吗？
(2) 通过追问获得深层理解：为什 么必能作为除数？为什么赫除后加减?
例题4 :已知函^lf(x)=2ax1-3ax2+l,
g(x)=,其中 <z<0. 42
⑴若存在砖[0,2],使得/'3°)=0, 求a的取值范围；
(2) 若存在附 e [0,2] ,x2e [0,2]使 得/'(%i)=g(”2)成立，求01的取值范围；
(3) 若存在%] e [0,2] ,x2 e [0,2]使 得/'(%i)>g(%2)成立，求a的取值范围；
理素养.
为了更好地提高学生的数据分析
能力，也可以再设计例题2的第(3)问:已
知e 7
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当任意xw(-a,+
7
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8),且/(*) 3=g(*)恒成立时，估算实数a
最大值的近似值(精确到0.1). 从解法角度思考:这个问题可以考
查学生拓展水平的数学建模素养:先把
fM Mg(%)转化为人(臥』［/3)*)］肿
2024年6冃(下旬)< 心素养
高中数学教学难以绕过核心素养 这一重要问题，没有核心素养，教学就 缺了灵魂.核心素养这么重要,如何去 操作落实,是摆在我们一线教师面前的 现实问题.林崇德教授给出了这样的指 导意见:“核心素养具有可教、可学的外 显部分,同时也存在无声、无形但可感、 可知的内隐部分.前者能够在特定的情 境下通过一定的方式表现出来,因此能 够有效地进行定量测评习题教学是数 学核心素养的一种有效途径，但是很多 时候教师和学生都会走入一个误区,搞 题海战术，盲目做题，收效甚微.如何进 行习题教学是广大教师必须面临的问 题.教师精心设计和引导学生完成数学 题目，会更有效地提高学生素养，学会 用数学的眼光看问题，用数学思维思考 问题，用数学的语言表达问题.
求函数最值，以及分离参变量. 题目结束还可以问学生:你学到了
什么？还想继续研究什么？建立和应用 题组的过程就是一个学习的过程,这是 一个在做中思、做中学、做中突破难点 的积极思考的过程.
卩关注三维目标，精心选取和 设计习题，促进学生综合素养形成
习题设计和选编要符合启发式和 循序渐进的要求，不但要注意培养、训练 “知识与技能”，还要注意“方法与过程”, 加强学生对数学情境、过程分析、解题 规律的总结,达到举一反三、融会贯通 的目的，更要注意“情感态度与价值观” 的训练，调动学生的积极性与自主性，让 师生交流反思,拓宽思路，最大限度地 发挥习题的作用.
导数的几何意义以及函数不等式 证明题：
例题2:已知函数/(%)=e*,g(a:) = ln(%+a).
(1) 当a=2时，求曲线y=g(x)在点 (-l,g(-l))处的切线方程；
(2) 当aW2,% e (-a,+®)时，证明：
问题分析:本题的背景是函数/(%)= e*在%=0处和函数f(x)=lnx在x=l处的 泰勒展开式.
卩结束语
高中阶段的数学素养主要包括数 学抽象、宜观想象、逻辑推理、数学运 算、数学建模、数据分析等，这些核心素 养既独立,又相互交融,形成一个有机 的整体.这一时期的数学教学要满足学 生数学学习乃至未来发展的需要.习题 教学是提高学生核心素养的一种非常 有效的手段,教师在日常的教学中要关 注基础知识、三维目标，精选、设计题 组,通过反思和追问，对题目进行一题 多解、多题一解，充分发挥习题的作用， 提高学生的核心素养.
0，然后构造卩(兀)二e"*-%,求实数a最大值 的近似值；培养学生拓展水平的数据分
析素养:分析数据e方4 -兰A <0,eR5 -丄< >0,
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>0,从而利用两边
夹思想估值. 从题目背景角度思考:有关a常数,
£1是超越方程旷=%的唯_实根，BPe_n= £1,上面分析的方法就是这样做的.
从联想的角度思考:C是s(x)=e-的 不动点，联想到2012年和2014年安徽高 考数列压轴题背景,也是不动点的问题.
本题主要考查的核心素养: ⑴数学抽象:将存在、恒成立问题 抽象出来，题组化； (2)数学建模、逻辑推理：构造函 数,转化为函数最值问题,进而转化为
作者简介:吴献超(1983-),硕士研究生，一级教师，主要从事高中数学教学和研究工作. 44 > 2021年6冃(下旬)
删勰5
集合问题； (3)数学运算:利用导数研究函数,
M 3)=齐丄并判断正负号(不易完成)， x+a
不易得到函数/»(%)的单调性； 宜观想象、数学运算:第三步，作出
函Sy=e*, y=ln (x+a)的图像不难发现兰ln(a+%) me"-ln(2+%),转化为证明誉ln(2+x)>0.
本题需要学生有较高水平的数学 素养.
卩利用一题多解和一题多 变，培养学生的思维能力，提高习 题教学的有效性
当aW2,rc e (-a,+8)时，％+2Ma+%>0，结 合y=lnx是增函数,ln(%+2) >ln(a+2)(a= 2时取等号),即e*>ln(a+2).
在习题讲解过程中,三种解法对比， 令人思路开阔，可以引导学生关注基本 知识，多角度分析、联想，启发学生找出 更多思维途径,获得最佳解题方法,使 学生获得较高水平数学运算和数学推
(7) 若对任意给定的%oe [0,2],在 [0,2]上总存在两个不同的如(i=l,2),使 得/'(珂)=g3o)成立，求a的取值范围；
(8) 若对任意给定的如w [0,2],在 [0,2]上总存在两个不同的兔(i=l,2),使 得/■(%])期(如)W/32)成立，求°的取值 范围.
这道题是关于两个比较简单的含参 三次函数和次函数的擁和 问题，解决的方案如下(具体简答过程略):
现在的教学目标内容应该包含“四 基”:基本知识、基本技能、基本思想和基 本经历.实践教学经验告诉我们:习题是 有价值的,它的主要功能在于知识的联 系与区分、丰富与拓展、整合与提升，只 有经历上述过程,学生的数学知识结构 才能完善和内化,才能更好地提高学生 的核心素养.
卩关注基本知识，精建题组, 建构与优化基础知识结构