解线性代数方程组的直接方法

n1n n
( n 1) n 1

a x b (n)
(n)
nn n
n
x b a = ( n )
n
n
(n) nn
n
x b a x a ( (i)
i
i
(i) )
(i)
ij j
ii
j i 1
i n 1 , n 2 , L , 1
例1：用消去法解方程组

x1 x2 x3 6; 4x2 x3 5;
. (k 2,3,L , n)
a11 L D1=a11 0, Di M O
ai1 L 证：详细归纳法证(略）。
a1i M0 aii
(i 2,3,L , k).
证：详细归纳法证(略）。
a1(11)
a (1) 12
a(2) 22
L L
L L
A(1) A(k )
O




LL LL
a(k) kk
L
LL
a(k) kk
L
D2

a (1) 11
(1)
a12
(1) ( 2)
a a (2)
11 22
a22
D3

a a a (1) (2) (3) 11 22 33
a (1) 11
L
Dk
O
a (1) 1k
M

a a (1) (2) 11 22
L
a(k kk
)
;
11 1
12 2
13 3
1n n
1

a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
22 2
23 3
2n n
2
a x a x b (3) L (3) (3)
33 3
3n n
3

LL

a x b (n)
(n)
nn n
n
系数矩阵与常数项：
(1)
11
12
A a 其中 = ( 2 ) 0
( 2 )
22

a(1 ) 1n
b(1 ) 1
(2)
(2)
a b b ， = 2n
(2)
2

0 a a ( 2 )
(2)
n2
nn
b( 2 ) n
这里 a a m a ( 2 )
(1)
ij
ij
(1) i1 1 j
m a a (1)
(1)
a(k) kk
a (1) 1n
a(2) 2n


a(k kn
)

L

a(k nn
)

二、 Gauss消去法乘法计算量 消去第一列的 n-1 个系数要计算n*(n-1） 个乘法。
二 n 2 (n-1)*( n2 )
总计 ∑n ( k 2 k) n ( n2 1)

L
11 1
12 2
1n n
1

b x L 22 2
b2nxng 2

L

bnn xn g n
称消元过程。逐次计算出xn , xn1,L , x1称回代过程。
一、Gauss 消去法计算过程
统一记号： aij → a(ij1) , bi → b(i1)
A b A a b ( b ,L , b ) 原方程 (1)X (1) : (1) [ (1)] , (1) (1)
m


21
1
L m
1
0
31
1

LL
m n1 0 0 L


m a a
(1) (1)

i1
i1
11
i 2,3,L ,n

1
A L A b L b 记：
(3)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1


0
1
L m 0
2
32 L
1 L

(2) r1 r3 r3 , r2 r3 r3
定理：如果A为n阶非奇异矩阵 矩阵A的顺序主
子式Di 0(i 1, 2,L , k). 约化的主元素ai(ii) 0
(i 1, 2,L , k).
且
aa1k((11kk))

D1; Dk
/
Dk
1
a a a ( a a ) (k1) ij
( k)
( k)
( k)
( k)
ij
kj
ik
kk
b b b ( a a ) (k1) i
( k)
( k)
( k)
( k)
i
k
ik
kk
a(k) 0 k 1 i n ik k 1, 2, , n 1
k 1≤ i,j n
23 3
2n
2
a x a b (3) L (3) (3)
33 3
3n
3

M

a x a b (3) L (3) (3)
n3 3
nn
n
若 a(333) ≠0，则此消去过程可依次进行下去。
第 n 1 步消去过程后，得到等价三角方程组。
A b (n)x (n)
a x a x a x a x b (1) (1) (1) L (1) (1)
22 2
23 3
2n n
2
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
32 2
33 3
3n n
3

LL

a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
n2 2
n3 3
nn n
n
A b 得到新同解方程组： （2）x （2）
a a (1)
§2. Gauss 消去法
a x a x a x b

L

11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b 对n阶线性方程组：
21

1
L
22 2

2n n
2

L
a x a x a x b

n1

1
L
n2 2

nn n
n
转化为等价的（同解）的三角形方程组。
b x b x b x g
LU形式
A L L L A A (1)
L 1 1
1
2
1
(n) L (n) LU
n 1
L L L L L 1 1
1
1
2
n 1
1
m21 1 m31 0 1
L
1
1
01
= m21 1
0 m22 1
m m 31
1 22
1
m21
1


m m 1
n1
n2
例2：对于例1，由增广矩阵表示消元过程有
k 1
3
除法
∑n1 k n(n 1 )
k 1
2
回代总计算量 n(n 1) 2
总乘除法共
n3
3

n
2

1 3
n
(n 30,为9890)
三、 Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
A L A b L b 记：
(2)
(1) ,
1
(2)
(1)
1
其中
1
m a a
(2) (2)

i2
i2
22
i 3,4,L ,n

0 mn2 0 L 1
A L L A b L L b (3)
(1) ,
21
(3)
(1) 21
L L 与 -1
i
i
1


0
1

M
1

Li

i+1 行

0

M
L
m 1 i 1,i M MO
1 1 1 6 1 1 1 6
A | b 0
4
1 5 0
4
1
5

2 2 1 1 0 4 1 11
1 1 1 6
0 4 1
5

0 0 2 6
由mik

a(k ) ik
a(k ) kk
(i k 1,L , n)
如n 30,需2.381035次乘法。可见其在理论上是绝对正确，
但在n较大时，在实际计算中确实不可行的。
解线性方程组的两类方法：
直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不 计舍入误差!)
迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）
如果线性方程组的系数行列式不为零，即det( A) 0, 则该方程组有唯一解。由克莱姆(cramer)法则，其解为
xi

det( Ai ) det( A)
(i 1, 2,L , n)
这种方法需要计算n 1个n阶行列式并作 n次除法，而每个
n阶行列式计算需作(n 1) n!次乘法，计算量十分惊人。
程—同解！第一方程不动！
上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数 和常数项全得到新值：
a x a x a x a x b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n n
1

a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)

0
mni
1
i列
1


0
1

M O

L-1 i

M
i+1行 0

1

m1 i 1,i

M
M O
0
mni
1
i列
A L L L A (n)
n 1
L
n2
(1) 1
b L L L b (n)
n 1
L
n 2
(1) 1
i1
i1
11
b b b m i, j ( 2 ) (1) (1)
i
i
1
i1
2,3, L ,n
第二步消元： 若
a ≠ (2) 22
0
，对除第一行第一列外
的子阵作上计算：
a a a (1)
(1)
(1)
11
12
13
0 a a ( 2 )
(2)
22
23
A = ( 3 ) 0
a 0
( 3 )
解线性代数方程组的直接方法 §1.引言
n 阶线性方程组：
a x a x a x b

L

11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b

21

1
L
22 2

2n n
2

L
a x a x a x b

n1

1
L
n2 2

nn n
n
矩阵表示记为 AX b
这里 a A [ ]ij nn , X (x1 , L , xn )T ,b (b1 , L ,bn )T
i
i
2
i2
3,4, L ,n
得到同解方程组 A( 3) x = b( 3)
a x a x a x a b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n
1

a x a x a b (2) (2) L (2) (2)
22 2
回代过程算法
a x a x a x b (1) L (1) L (1) (1)
11 1
1i i
1n n
1

LL

a x a x b (i) L L (i) (i)
ii i
in n
i
LL

a x a x b (n1)

n1n1 n1
( n 1)
m21 0, m31 2, m32 1, 故有
1 0 0 1 1 1 A 0 1 0 0 4 1 LU .
2 1 1 0 0 2
§3. 高斯主元素消去法
在高斯法消元过程中可能出现ak(kk) 0的情况，这时消去法 将无法进行；即使主元素ak(kk) 0但很小，用其作除数，也会 导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。
ij
1
(1) T n
若
a(1) 11
≠
0
:
( 第二行
)
（第一行）
a( 1 ) 21
a1(11)→(新第二行 )
(第三行 ) (第一行 ) a(311) a1(11)→ (新第三行 )

(第n行)
（第一行）
a( 1 n1
)
a( 1 ) 11
→
( 新第n行
)
相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方
2x1 2x2 x3 1.
解：用增广矩阵表示求解过程
1 1 1 6 1 1 1 6
A | b 0
4
1 5 0
4
1
5

2 2 1 1 0 4 1 11
1 1 1 6
0 4
1
5

0 0 2 6
33

0Hale Waihona Puke a 0 ( 3 )
n3
a(1 ) 1n
a( 2 ) 2n
a( 3 ) 3n
b ， (3) =
b( 1 ) 1
b( 2 ) 2
b( 3 ) 3


a( 3 ) nn
b( 3 ) n
ai(j3) ai(j2) mi2 a(22j) mi2 ai(22) a(222)
b b b m i, j ( 3 ) ( 2 ) ( 2 )
a a a (1)
(1)
(1) L
11
12
13
A(n)
0

0

M
a(2) 22 0 M
a(2) 23
a (3) 33 M
L L
0 0 0 L
a(1)
1n
(2)
a2n
(3)
a b 3n
M

，
(n)
a(n)
nn
b (1)
1
(2)
b
2
(3)
b

3
M

b (n)
n